Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Точки разрыва функции
Решение пределов:
Построение графика функции методом дифференциального исчисления
Экстремум функции двух переменных
Вычисление интегралов
см. также Вычисление приближенно с помощью дифференциала
Определение. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение в этой точке можно представить в виде ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, где A – константа, а α(∆x) – бесконечно малая при ∆x → 0.
Требование дифференцируемости функции в точке эквивалентно существованию производной в этой точке, причем A=f’(x0).
Пусть f(x) дифференцируема в точке x0 и f ‘(x0)≠0, тогда ∆y=f’(x0)∆x + α∆x, где α= α(∆x) →0 при ∆x→0.
то есть ∆y~f’(x0)∆x. Следовательно, f’(x0)∆x представляет собой главную и вместе с тем линейную относительно ∆x часть приращения ∆y (линейная – значит содержащая ∆x в первой степени). Это слагаемое называют дифференциалом функции y=f(x) в точке x0 и обозначают dy(x0) или df(x0). Итак, для произвольных значений x
dy=f′(x)∆x. (1)
Полагают dx=∆x, тогда
dy=f′(x)dx. (2)
Пример. Найти производные и дифференциалы данных функций.
а) y=4tg2x
Решение:
дифференциал:
б)
Решение:
дифференциал:
y=arcsin2(lnx)
Решение:
дифференциал:
г)
Решение:
=
дифференциал:
Пример.
Для функции y=x3 найти выражение для ∆y и dy при некоторых значениях x и ∆x.
Решение. ∆y = (x+∆x)3 – x3 = x3 + 3x2∆x +3x∆x2 + ∆x3 – x3 = 3x2∆x+3x∆x2+∆x3; dy=3x2∆x (взяли главную линейную относительно ∆x часть ∆y). В данном случае α(∆x)∆x = 3x∆x2 + ∆x3.
AC Вторая производная
Мотивирующие вопросы
Как производная функции говорит нам, возрастает или убывает функция на интервале?
Что мы можем узнать, взяв производную от производной ( второй производной) функции \(f\text{?}\)
Что значит сказать, что функция вогнута вверх или вогнута вниз? Как эти характеристики связаны с некоторыми свойствами производной функции?
В каких единицах измеряется вторая производная? Как они помогают нам понять скорость изменения скорости изменения?
Для данной дифференцируемой функции \(y= f(x)\text{,}\) мы знаем, что ее производная \(y = f'(x)\text{,}\) является родственной функцией, выход которой \(x=a\) сообщает нам наклон касательной к \(y = f(x)\) в точке \((a,f(a))\text{.
}\) То есть высоты на графике производной сообщают нам значения наклонов на графике исходной функции.
В точке, где \(f'(x)\) положительно, наклон касательной к \(f\) положителен. Следовательно, на интервале, где \(f'(x)\) положительно, функция \(f\) возрастает (или возрастает). Точно так же, если \(f'(x)\) отрицательно на интервале, график \(f\) убывает (или падает).
Производная от \(f\) говорит нам не только о том, возрастает или убывает функция \(f\) на интервале, но также о том, как функция \(f\) возрастает или убывает. Посмотрите на две касательные линии, показанные на рисунке 1.6.1. Мы видим, что вблизи точки \(A\) значение \(f'(x)\) положительно и относительно близко к нулю, а вблизи этой точки график медленно растет. Напротив, вблизи точки \(B\text{,}\) производная отрицательна и относительно велика по модулю, а \(f\) быстро убывает вблизи \(B\text{.}\)
Рисунок 1.6.1. Две касательные линии на графике.Помимо вопроса о том, является ли значение производной функции положительным или отрицательным, а также большим или малым, мы также можем спросить: «Как изменяется производная?»
Поскольку производная \(y = f'(x)\text{,}\) сама по себе является функцией, мы можем взять ее производную — производную от производной — и спросить: «Что говорит производная от производной нам о том, как ведет себя исходная функция?» Начнем с исследования движущегося объекта.
Предварительный просмотр 1.6.1.
Положение автомобиля, движущегося по прямой дороге в момент времени \(t\) в минутах, определяется функцией \(y = s(t)\), изображенной на рисунке 1.6.2. Функция положения автомобиля измеряется в тысячах футов. Например, точка \((2,4)\) на графике указывает на то, что за 2 минуты автомобиль проехал 4000 футов.
Рисунок 1.6.2. График \(y = s(t)\text{,}\) положения автомобиля (измеряемого в тысячах футов от его начального местоположения) в момент времени \(t\) в минутах.Обыденным языком опишите поведение автомобиля на указанном интервале времени. В частности, следует тщательно обсудить, что происходит на каждом из временных интервалов \([0,1]\text{,}\) \([1,2]\text{,}\) \([2,3 ]\text{,}\) \([3,4]\text{,}\) и \([4,5]\text{,}\) плюс общий комментарий о том, что машина делает на интервале \([0,12]\текст{.}\)
На левых осях, представленных на рисунке 1.6.3, нарисуйте аккуратный и точный график \(y = s'(t)\text{.
}\)Что означает функция \(y = s'(t)\) в контексте данной задачи? Что мы можем сказать о поведении автомобиля, когда \(s'(t)\) положительно? когда \(s'(t)\) равно нулю? когда \(s'(t)\) отрицательно?
Переименуйте функцию, которую вы нарисовали в (b), так, чтобы она называлась \(y = v(t)\text{.}\) Опишите поведение \(v\) словами, используя такие фразы, как «\(v\) возрастает на интервале \(\ldots\)» и «\(v\) постоянно на интервале \(\ldots\text{.}\)»
Нарисуйте график функции \(y = v'(t)\) на правой оси, представленной на рисунке 1.6.3. Напишите хотя бы одно предложение, чтобы объяснить, как поведение \(v'(t)\) связано с графиком \(y=v(t)\text{.}\)
}\)Подраздел 1.6.1 Увеличение или уменьшение
До сих пор мы интуитивно использовали слова , увеличивающие , и , уменьшающие , для описания графика функции. Здесь мы определим эти термины более формально.
Определение 1.6.4.
Для данной функции \(f(x)\), определенной на интервале \((a,b)\text{,}\), мы говорим, что \(f\) возрастает на \((a,b)\ ) при условии, что для всех \(x\text{,}\) \(y\) в интервале \((a,b)\text{,}\) if \(x \lt y\text{,} \) тогда \(f(x) \lt f(y)\text{.}\) Аналогично, мы говорим, что \(f\) убывает на \((a,b)\) при условии, что для всех \(x\text{,}\) \(y\) в интервале \((a,b)\text{,}\) если \(x \lt y\text{,}\), то \(f (x) \gt f(y)\text{.}\)
Проще говоря, возрастающая функция — это функция, возрастающая по мере движения слева направо по графику, а убывающая функция — функция, уменьшающаяся по мере увеличения входного значения. Если у функции есть производная, то знак производной говорит нам, является ли функция возрастающей или убывающей.
Пусть \(f\) — функция, дифференцируемая на отрезке \((a,b)\text{.}\) Можно показать, что если \(f'(x) > 0\) для каждый \(x\) такой, что \(a \lt x \lt b\text{,}\), то \(f\) возрастает на \((a,b)\text{;}\) аналогично, если \(f'(x) \lt 0\) на \((a,b)\text{,}\), то \(f\) убывает на \((a,b)\text{.
}\)
Например, функция, изображенная на рис. 1.6.5, возрастает на всем интервале \(-2 \lt x \lt 0\text{,}\) и убывает на интервале \(0 \lt x \lt 2\ text{.}\) Обратите внимание, что значение \(x = 0\) не включено ни в один из интервалов, поскольку в этом месте функция меняется с возрастающей на убывающую.
Подраздел 1.6.2 Вторая производная
Теперь мы привыкли исследовать поведение функции, исследуя ее производную. Производная функции \(f\) — это новая функция, заданная правилом
\begin{уравнение*} f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{.} \end{уравнение*}
Поскольку \(f’\) сама по себе является функцией, для нас вполне возможно рассмотреть производную производной, которая является новой функцией \(y = [f'(x)]’\text{.}\ ) Назовем полученную функцию вторую производную от \(y = f(x)\text{,}\) и обозначим вторую производную через \(y = f»(x)\text{.
}\). Следовательно, иногда мы будем называть \(f’\) «первая производная» от \(f\text{,}\), а не просто «производная» от \(f\text{.}\)
Определение 1.6.6.
Вторая производная определяется предельным определением производной первой производной. То есть
\begin{уравнение*} f»(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}\text{.} \end{уравнение*}
Смысл функции производной остается в силе, поэтому, когда мы вычисляем \(y = f»(x)\text{,}\), эта новая функция измеряет наклоны касательных к кривой \(y = f'( x)\text{,}\), а также мгновенную скорость изменения \(y = f'(x)\text{.}\) Другими словами, так же, как первая производная измеряет скорость, с которой исходная функция изменяется, вторая производная измеряет скорость изменения первой производной. Вторая производная поможет нам понять, как меняется сама скорость изменения исходной функции.
Подраздел 1.6.3 Вогнутость
В дополнение к вопросу о том, возрастает или убывает функция, естественно также спросить о том, как функция возрастает или убывает.
На самой левой кривой на рисунке 1.6.7 нарисуйте последовательность касательных линий к кривой. По мере того, как мы движемся слева направо, наклон этих касательных линий будет увеличиваться. Следовательно, скорость изменения изображенной функции увеличивается, и это объясняет, почему мы говорим, что эта функция увеличивается с возрастающей скоростью .
Для крайнего правого графика на рисунке 1.6.7 обратите внимание, что по мере увеличения \(x\) функция увеличивается, но наклоны касательных линий уменьшаются. Эта функция увеличивается с убывающей скоростью .
Аналогичные варианты относятся к уменьшению функции. Здесь мы должны быть особенно осторожны с нашим языком, потому что убывающие функции предполагают отрицательный наклон. Отрицательные числа представляют интересное противоречие между обычным языком и математическим языком. Например, может возникнуть соблазн сказать, что «\(-100\) больше, чем \(-2\текст{.}\)». Но мы должны помнить, что «больше чем» описывает, как числа лежат на числовой прямой: \(x \gt y\) при условии, что \(x\) лежит справа от \(y\text{.}\). Конечно, \(-100\) меньше, чем \(-2\text{ .}\) Неформально может быть полезно сказать, что «\(-100\) более отрицательно, чем \(-2\text{.}\)». Когда значения функции отрицательны, и эти значения становятся более отрицательными по мере вход увеличивается, функция должна быть убывающей.
Теперь рассмотрим три графика, показанные на рисунке 1.6.8. Ясно, что средний график изображает функцию, уменьшающуюся с постоянной скоростью. Теперь на первой кривой нарисуйте последовательность касательных линий. Мы видим, что наклоны этих линий становятся все менее и менее отрицательными по мере нашего движения слева направо. Это означает, что значения первой производной, хотя и отрицательные, увеличиваются, поэтому мы говорим, что самая левая кривая равна 9.0011 уменьшается с возрастающей скоростью .
Остается рассмотреть только крайнюю правую кривую на рис. 1.6.8. Для этой функции наклоны касательных линий отрицательны на всем изображенном интервале, но по мере движения слева направо наклоны становятся все более и более отрицательными. Следовательно, наклон кривой уменьшается, и мы говорим, что функция убывает с убывающей скоростью .
Теперь мы вводим понятие вогнутости , которое обеспечивает более простой язык для описания этих поведений.
x\text{,}\), мы говорим, что кривая 9{x}\text{,}\) мы говорим, что функция вогнута вниз . Вогнутость связана как с первой, так и со второй производной функции.
На рис. 1.6.9 мы видим две функции и последовательность касательных линий к каждой из них. На левом графике, где функция вогнута, обратите внимание, что касательные линии всегда лежат ниже самой кривой, а наклоны касательных линий увеличиваются по мере движения слева направо. Другими словами, функция \(f\) является вогнутой на показанном интервале, потому что ее производная \(f’\text{,}\) возрастает на этом интервале. Аналогично, на правом графике на рисунке 1.6.9, где показанная функция вогнута вниз, мы видим, что касательные линии всегда лежат выше кривой, а наклоны касательных линий уменьшаются по мере нашего движения слева направо. Тот факт, что его производная \(f’\text{,}\) убывает, делает \(f\) вогнутой вниз на интервале.
Рисунок 1.6.9. Слева — вогнутая вверх функция; справа, вогнутый вниз. Мы формулируем эти самые последние наблюдения формально, поскольку определения терминов вогнуты вверх, и вогнуты вниз 9.
0012 .
Определение 1.6.10.
Пусть \(f\) — дифференцируемая функция на отрезке \((a,b)\text{.}\). Тогда \(f\) вогнута вверх на \((a,b)\), если и только если \(f’\) возрастает на \((a,b)\text{;}\) \(f\) вогнут вниз на \((a,b)\) тогда и только тогда, когда \(f’\) убывает на \((a,b)\text{.}\)
Мероприятие 1.6.2.
Положение автомобиля, движущегося по прямой дороге в момент времени \(t\) в минутах, определяется функцией \(y = s(t)\), изображенной на рисунке 1.6.11. Функция положения автомобиля измеряется в тысячах футов. Помните, что вы работали с этой функцией и рисовали графики \(y = v(t) = s'(t)\) и \(y = v'(t)\) в предварительном просмотре 1.6.1.
Рисунок 1.6.11. График \(y = s(t)\text{,}\) положения автомобиля (измеряемого в тысячах футов от его начального местоположения) в момент времени \(t\) в минутах.На каких интервалах функция положения \(y = s(t)\) возрастает? уменьшается? Почему?
На каких интервалах функция скорости \(y = v(t) = s'(t)\) возрастает? уменьшается? ни один? Почему?
Ускорение определяется как мгновенная скорость изменения скорости, поскольку ускорение объекта измеряет скорость изменения скорости объекта.
Скажем, функция ускорения автомобиля называется \(a(t)\text{.}\) Как \(a(t)\) вычисляется из \(v(t)\text{?}\) Как \( a(t)\) вычисляется из \(s(t)\text{?}\) Объясните.Что вы можете сказать о \(s»\) всякий раз, когда \(s’\) возрастает? Почему?
Используя только слова возрастающее , убывающее , постоянное , вогнутое вверх , вогнутое вниз и линейное , завершите следующие предложения. Для функции положения \(s\) со скоростью \(v\) и ускорением \(a\text{,}\)
на интервале, где \(v\) положительно, \(s\) равно .
на интервале, где \(v\) отрицательно, \(s\) равно .
на интервале, где \(v\) равно нулю, \(s\) равно .
на интервале, где \(a\) положителен, \(v\) равен .
на интервале, где \(a\) отрицательно, \(v\) равно .
на интервале, где \(a\) равно нулю, \(v\) равно .
на интервале, где \(a\) положителен, \(s\) равен .
на интервале, где \(a\) отрицательно, \(s\) равно .
на интервале, где \(a\) равно нулю, \(s\) равно .
Скажем, функция ускорения автомобиля называется \(a(t)\text{.}\) Как \(a(t)\) вычисляется из \(v(t)\text{?}\) Как \( a(t)\) вычисляется из \(s(t)\text{?}\) Объясните.
Изучение контекста положения, скорости и ускорения — отличный способ понять, как функция, ее первая и вторая производные связаны друг с другом. В упражнении 1.6.2 мы можем заменить \(s\text{,}\) \(v\text{,}\) и \(a\) на произвольную функцию \(f\) и ее производные \(f ‘\) и \(f»\text{,}\) и, по существу, все те же самые наблюдения. В частности, обратите внимание, что следующие условия эквивалентны: на интервале, где график \(f\) вогнут вверх, \(f’\) возрастает, а \(f»\) положителен. Точно так же на интервале, где график \(f\) вогнут вниз, \(f’\) убывает, а \(f»\) отрицательна.
Мероприятие 1.6.3.
Картофель помещают в печь, измеряют температуру картофеля \(F\) (в градусах по Фаренгейту) в различные моменты времени и записывают в следующую таблицу. Время \(t\) измеряется в минутах. В упражнении 1.
5.2 мы вычислили приближения к \(F'(30)\) и \(F'(60)\), используя центральные разности. Эти значения представлены во второй таблице ниже вместе с несколькими другими, рассчитанными таким же образом.
Таблица 1.6.12. Выберите значения \(F(t)\text{.}\)
| \(т\) | \(Ф(т)\) |
| \(0\) | \(70\) |
| \(15\) | \(180.5\) |
| \(30\) | \(251\) |
| \(45\) | \(296\) |
| \(60\) | \(324,5\) |
| \(75\) | \(342,8\) |
| \(90\) | \(354,5\) |
Таблица 1.6.13. Выберите значения \(F'(t)\text{.}\)
| \(т\) | \(Ф'(т)\) |
| \(0\) | нет данных |
| \(15\) | \(6.03\) |
| \(30\) | \(3,85\) |
| \(45\) | \(2,45\) |
| \(60\) | \(1,56\) |
| \(75\) | \(1. 00\) |
| \(90\) | нет данных |
В каких единицах выражены значения \(F'(t)\text{?}\)
Используйте центральную разность для оценки значения \(F»(30)\text{.}\)
Что означает значение \(F»(30)\), которое вы вычислили в (b), в зависимости от температуры картофеля? Напишите несколько аккуратных предложений, в которых с соответствующими единицами обсуждаются значения \(F(30)\text{,}\) \(F'(30)\text{,}\) и \(F»(30) \text{,}\) и объясните общее поведение температуры картофеля в этот момент времени.
В целом температура картофеля увеличивается с возрастающей скоростью, с постоянной скоростью или с убывающей скоростью? Почему?
Мероприятие 1.6.4.
Это упражнение основано на нашем опыте и понимании того, как набросать график \(f’\) по графику \(f\text{.}\)
На рисунке 1.6.14, учитывая соответствующие графики двух разных функций \(f\text{,}\), нарисуйте соответствующий график \(f’\) на первых осях ниже, а затем нарисуйте \(f» \) на втором наборе осей.
Кроме того, для каждого напишите несколько аккуратных предложений в духе предложений из упражнения 1.6.2, которые связывают поведение \(f\text{,}\) \(f’\text{,}\) и \(f »\text{.}\) Например, напишите что-то вроде
\(f’\) находится на интервале , что связано с тем, что \(f\) находится на том же интервале , а \(f»\) находится на интервале.
, но, конечно, с заполненными пробелами. Всюду рассматривайте масштаб сетки для графика \(f\) как \(1 \times 1\text{,}\) и примите горизонтальный масштаб сетки для графика \(f’\) идентичен графику для \(f\text{.}\) Если вам нужно отрегулировать вертикальный масштаб по осям для графика \(f’\) или \(f »\text{,}\) вы должны пометить это соответствующим образом.
Рисунок 1.6.14. Две заданные функции \(f\text{,}\) с осями для построения графиков \(f’\) и \(f»\) ниже.Подраздел 1.6.4 Резюме
Дифференцируемая функция \(f\) возрастает на отрезке, если ее первая производная положительна, и убывает, когда ее первая производная отрицательна.
Взяв производную от производной функции \(f\text{,}\), мы получим вторую производную, \(f»\text{.}\) Вторая производная измеряет мгновенную скорость изменения первой производной. Знак второй производной говорит нам, увеличивается или уменьшается наклон касательной к \(f\). 9х\текст{.}\)
Единицы второй производной — это «единицы выпуска на единицу ввода на единицу ввода». Они говорят нам, как значение производной функции изменяется в ответ на изменения входных данных. Другими словами, вторая производная сообщает нам скорость изменения скорости изменения исходной функции.
Упражнения 1.6.5 Упражнения
1. Сравнение значений \(f, f’, f»\).
Рассмотрим функцию \(f(x)\), показанную ниже.
Для этой функции следующие ненулевые величины положительны или отрицательны?
\(f(3)\) равно
положительный
отрицательный
\(f'(3)\) равно
положительный
отрицательный
\(f»(3)\) равно
положительный
отрицательный
(Поскольку это задача с несколькими вариантами ответов, она не покажет, какие части задачи верны, а какие нет, когда вы отправляете ее.
)
2. Знаки величин \(f, f’, f»\).
Ровно в двух отмеченных точках на рисунке ниже, который показывает функцию \(f\text{,}\), производная \(f’\) равна нулю; вторая производная \(f»\) не равна нулю ни в одной из отмеченных точек. Выберите правильные знаки для каждого из \(f\text{,}\) \(f’\) и \(f»\) в каждой отмеченной точке.
| Точка | А | Б | С | Д | Е |
| \(ж\) |
|
|
|
|
|
| \(ж’\) |
|
|
|
|
|
| \(ж»\) |
|
|
|
|
|
3.
Ускорение от скорости.Предположим, что разгоняющийся автомобиль разгоняется с 0 до 64,1 миль в час за пять секунд. Его скорость указана в следующей таблице в пересчете из миль в час в футы в секунду, так что все измерения времени даны в секундах. (Примечание: 1 миля в час равна 22/15 футам/сек.) Найдите среднее ускорение автомобиля в течение первых двух секунд.
| \(т\) (с) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| \(v(t)\) (фут/с) | 0,00 | 32,05 | 55,55 | 72,64 | 85,45 | 94.00 |
среднее ускорение за первую секунду =
среднее ускорение за вторую секунду =
4. Скорость изменения стоимости акций.
Пусть \(P(t)\) представляет собой цену акции корпорации в момент времени \(t\text{.}\) Что каждое из следующих утверждений говорит нам о знаках первого и второго производные от \(P(t)\text{?}\)
(a) Цена акции падает все медленнее и медленнее.
Первая производная \(P(t)\) равна
положительная
ноль
отрицательный
Вторая производная \(P(t)\) равна
положительная
ноль
отрицательный
(b) Цена акции близка к минимуму.
Первая производная \(P(t)\) равна
положительная
ноль
отрицательный
Вторая производная \(P(t)\) равна
положительная
ноль
отрицательный
5. Интерпретация графика \(f’\).
График \(f’\) (, а не \(f\)) приведен ниже.
(Обратите внимание, что это график \(f’\text{,}\), а не график \(f\text{.}\))
При каком из отмеченных значений \(x\)
A. \(f(x)\) наибольшее? \(x =\)
B. \(f(x)\) наименьшее? \(x =\)
C.
\(f'(x)\) наибольшее? \(x =\)
D. \(f'(x)\) наименьшее? \(x =\)
E. \(f»(x)\) наибольшее? \(x =\)
F. \(f»(x)\) наименьшее? \(х =\)
6.
Предположим, что \(y = f(x)\) — дважды дифференцируемая функция такая, что \(f»\) непрерывна, для которой известна следующая информация: \(f(2) = -3\text{ ,}\) \(f'(2) = 1,5\текст{,}\) \(f»(2) = -0,25\текст{.}\)
Является ли \(f\) возрастающим или убывающим вблизи \(x = 2\text{?}\) Является ли \(f\) вогнутым вверх или вогнутым вниз вблизи \(x = 2\text{?}\)
Ожидаете ли вы, что \(f(2.1)\) будет больше, чем \(-3\text{,}\), равно \(-3\text{,}\) или меньше, чем \(-3\text {?}\) Почему?
Ожидаете ли вы, что \(f'(2.1)\) будет больше, чем \(1.5\text{,}\), равно \(1.5\text{,}\) или меньше, чем \(1.5\text{? }\) Почему?
Нарисуйте график \(y = f(x)\) вблизи \((2,f(2))\) и включите график касательной.
7.
Для некоторой функции \(y = g(x)\text{,}\) ее производная задается функцией, изображенной на рисунке 1.6.15.
Рисунок 1.6.15. График \(y = g'(x)\text{.}\)Каков приблизительный наклон касательной к \(y = g(x)\) в точке \((2, г(2))\текст{?}\)
Сколько вещественных решений может быть у уравнения \(g(x) = 0\text{?}\) Обоснуйте свой вывод полностью и тщательно, объяснив, что вы знаете о том, как график \(g\) должен вести себя на основе заданного графика \(g’\text{.}\)
Сколько раз на интервале \(-3 \lt x \lt 3\text{,}\) изменяется вогнутость \(g\)? Почему?
Используйте предоставленный график для оценки значения \(g»(2)\text{.}\)
8.
Высота банджи-джампера \(h\) (в футах) в момент времени \(t\) (в секундах) частично указана в таблице:
| \(т\) | \(0.0\) | \(0,5\) | \(1.0\) | \(1,5\) | \(2. 0\) | \(2,5\) | \(3.0\) | \(3,5\) | \(4.0\) | \(4,5\) | \(5.0\) |
| \(ч(т)\) | \(200\) | \(184.2\) | \(159.9\) | \(131.9\) | \(104.7\) | \(81.8\) | \(65,5\) | \(56.8\) | \(55,5\) | \(60.4\) | \(69.8\) |
| \(т\) | \(5,5\) | \(6.0\) | \(6,5\) | \(7.0\) | \(7,5\) | \(8.0\) | \(8,5\) | \(9.0\) | \(9,5\) | \(10.0\) |
| \(ч(т)\) | \(81.6\) | \(93,7\) | \(104.4\) | \(112.6\) | \(117.7\) | \(119.4\) | \(118.2\) | \(114.8\) | \(110.0\) | \(104.7\) |
Используйте полученные данные для оценки \(h'(4.5)\text{,}\) \(h'(5)\text{,}\) и \(h'(5.
5)\text{.} \) В какой момент времени банджи-джампер поднимается быстрее всего?Используйте данные и вашу работу в (а) для оценки \(h»(5)\text{.}\)
Какое физическое свойство банджи-джампера измеряет значение \(h»(5)\)? Каковы его единицы?
Исходя из данных, на каких примерных интервалах времени функция \(y = h(t)\) вогнута вниз? Что происходит со скоростью банджи-джампера в эти промежутки времени?
5)\text{.} \) В какой момент времени банджи-джампер поднимается быстрее всего?9.
Для каждой последующей подсказки нарисуйте возможный график функции на интервале \(-3 \lt x \lt 3\), который удовлетворяет указанным свойствам.
\(y = f(x)\) такое, что \(f\) возрастает на \(-3 \lt x \lt 3\text{,}\) вогнуто вверх на \(-3 \lt x \lt 0\text{,}\) и вогнут вниз на \(0 \lt x \lt 3\text{.}\)
\(y = g(x)\) такое, что \(g\) возрастает на \(-3 \lt x \lt 3\text{,}\) вогнуто вниз на \(-3 \lt x \ lt 0\text{,}\) и вогнут на \(0 \lt x \lt 3\text{.}\)
\(y = h(x)\) такое, что \(h\) убывает на \(-3 \lt x \lt 3\text{,}\) вогнуто вверх на \(-3 \lt x \ lt -1\text{,}\) не вогнут вверх и не вогнут вниз на \(-1 \lt x \lt 1\text{,}\) и не вогнут вниз на \(1 \lt x \lt 3\text{ .
}\)\(y = p(x)\) такое, что \(p\) убывает и вогнуто вниз на \(-3 \lt x \lt 0\) и возрастает и вогнуто вниз на \(0 \lt x \lt 3\текст{.}\)
}\)DH/D9215/01-06 – Двойной дифференциальный предохранительный клапан с резьбой 2,00 x 18 UNS на Drytech Incorporated
Дыхательный клапан TA770-R имеет отдельные настройки для сброса давления и вакуума. Он имеет скорость потока от 10,0 до 25,0 станд. футов в минуту при давлении на 1,5 фунта на кв. дюйм выше настройки клапана, что делает его пригодным для больших контейнеров и аналогичных применений объемом до 208 кубических футов. Стандартные настройки находятся в диапазоне от 0,5 до 5,0 фунтов на квадратный дюйм.
Чем ниже значение, тем выше скорость потока.
Дыхательный клапан TA770 защищен от несанкционированного доступа и не требует обслуживания в полевых условиях. Во всем используются коррозионностойкие материалы. Уплотнение клапана изготовлено из силиконовой резины. Сферическое седло клапана имеет тефлоновое покрытие для легкого отрыва даже после длительного хранения.
Кнопка ручного спуска используется для выравнивания перепадов давления или вакуума, чтобы облегчить открывание контейнера. Кнопка утоплена в крышке, чтобы защитить ее от повреждений и исключить возможность того, что соседний контейнер может нажать на кнопку и непреднамеренно привести к тому, что клапан останется открытым. Уникальной особенностью нажимной кнопки является легкая пружина под крышкой, отделяющая кнопку от вакуумного штока, которую необходимо преодолеть, прежде чем кнопка откроет клапан.
Клапан TA770 предлагается двух типов: «Крекинг» и «Повторное уплотнение». Крекинговые клапаны оцениваются по давлению срабатывания (давление, при котором клапан открывается достаточно для потока 1 кубический сантиметр в минуту) и скорости потока на 0,5–2,0 фунта на квадратный дюйм выше давления срабатывания.
Клапаны повторного закрытия оцениваются по давлению повторного закрытия (давлению, при котором клапан гарантированно закроется после того, как он открылся с трещиной) и расходу на 1,5 фунта на квадратный дюйм выше давления повторного закрытия.
К каждому клапану прилагается прокладка, шайба и шестигранная гайка для монтажа. Также доступно экранирование RFI/EMI. Пожалуйста, свяжитесь с нами для получения дополнительной информации.
Информация о запросе Сравнить товары
0 PSID
куб. футов в минуту при 2,5 PSID
куб. футов в минуту при 3,0 PSID
0 PSID