Как измерить погрешность: Точность и погрешность измерений

Содержание

Секреты вычисления погрешности | Rstat

Есть две различных ситуации, когда необходимо вычислить погрешность измерений сенсоров подсчета посетителей. Ситуация первая — тестирование оборудования. Ситуация вторая — постоянные вычисления погрешности для выявления сбоев и их причин: счетчик сломался, изменились параметры входной группы, сотрудники предпринимают оппортунистические действия и др.

Ниже мы расскажем, какую формулу в каком случае стоит выбирать и почему именно так. Rstat – это правильный подход к подсчету посетителей!

Вычисление погрешности при тестировании оборудования:
ручной подсчет VS данные сенсора

Когда проводится тест оборудования, то сравнивают результаты ручного подсчета с данными сенсора. При ручном подсчете отдельно отмечаются вошедшие и вышедшие посетители. Чаще всего, тест проводится в течение часа.

Данные ручного подсчета – это истинное значение. Поэтому для расчета погрешности сенсора используется стандартная формула, где эталонное значение – это данные ручного подсчета, следовательно, погрешность будет считаться относительно истинного:

Пример:

Вошло (ручной подсчет): 101 человек

Вошло (сенсор): 98 человек

Погрешность:

Это означает, что погрешность измерений входящих посетителей составила 3 процента, минус говорит о том, что сенсор недосчитывает посетителей. Погрешность измерений выходящих посетителей рассчитывается точно также.

Повседневная оценка погрешности подсчета:
вошедшие посетители VS вышедшие посетители

Подсчет посетителей ведется в двух направлениях: входящие и выходящие. Если речь не идет о круглосуточном графике работы, то в конце дня количество вошедших должно быть таким же, как и количество вышедших. Но так происходит далеко не всегда. Поэтому важно контролировать уровень погрешности: для разных типов оборудования допускаются разные верхние границы нормы. У горизонтальных инфракрасных сенсоров эта цифра не должна превышать 10%, у вертикальных сенсоров норма зависит от типа применяемой технологии, но в целом они обеспечивают 95-98% точности.

Но как считать погрешность правильно?

В своей работе чаще всего мы сталкиваемся с тем, что количество вошедших посетителей принимается за эталонное (истинно верное) значение. Но ведь это не так: сенсор ошибается в обоих направлениях подсчета, как на вход, так и на выход! Значит, ни одна из цифр не может являться эталоном, относительно которого можно посчитать погрешность. Поэтому и формула расчета погрешности обязана учитывать реальное положение дел.

То есть:

Именно поэтому в результате подсчета вход и выход не совпадает, хотя должно быть «вход истинный = выход истинный».

Абсолютная погрешность двух величин при сложении и вычитании суммируется. Учтём это при работе с уравнением:

Так как в конце рабочего дня в магазине (торговом центре) должно быть 0 посетителей, то есть Вход истинный = Выход истинный, мы их сокращаем и получаем новое уравнение:

Рассчитаем относительную погрешность.

Напоминаем, что относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к результату измерения.

Разность «Вход измеренный — Выход измеренный» дала нам суммарную величину абсолютной погрешности двух измерений: вошло и вышло.

Значит, зная абсолютную погрешность суммы, мы можем посчитать относительную погрешность суммы:

Пример:

По данным сенсоров подсчета в магазин вошло 150 человек, вышло 153 человека.

Это означает, что погрешность измерений посещаемости сенсором составляет 1%.

Rstat никогда не скрывает от клиентов данных по погрешности. В облаке retailstat.ru можно свободно просматривать эту информацию:

Погрешности экспериментальных результатов • Физика элементарных частиц • LHC на «Элементах»

Какие бывают погрешности

Любое число, которое выдает нам эксперимент, это результат измерения. Измерение производится прибором, и это либо непосредственные показания прибора, либо результат обработки этих показаний. И в том, и в другом случае полученный результат измерения неидеален, он содержит погрешности. И потому любой грамотный физик должен не только предъявить численный результат измерения, но и обязан указать все сопутствующие погрешности. Не будет преувеличением сказать, что численный экспериментальный результат, предъявленный без указания каких-либо погрешностей, бессмыслен.

В физике элементарных частиц к указанию погрешностей относятся исключительно ответственно. Экспериментаторы не только сообщают погрешности, но и разделяют их на разные группы. Три основных погрешности, которые встречаются чаще всего, это статистическая, систематическая и теоретическая (или модельная) погрешности. Цель такого разделения — дать четкое понимание того, что именно ограничивает точность этого конкретного измерения, а значит, за счет чего эту точность можно улучшить в будущем.

Статистическая погрешность связана с разбросом значений, которые выдает эксперимент после каждой попытки измерить величину.

(Подробнее о статистической погрешности)

Систематическая погрешность характеризует несовершенство самого измерительного инструмента или методики обработки данных, а точнее, недостаточное знание того, насколько «сбоит» инструмент или методика.

(Подробнее о систематической погрешности)

Теоретическая/модельная погрешность — это неопределенность результата измерения, которая возникла потому, что методика обработки данных была сложная и в чем-то опиралась на теоретические предположения или результаты моделирования, которые тоже несовершенны. Впрочем, иногда эту погрешность считают просто разновидностью систематических погрешностей.

(Подробнее о погрешности теории и моделирования)

Наконец, в отдельный класс, видимо, можно отнести возможные человеческие ошибки, прежде всего психологического свойства (предвзятость при анализе данных, ленность при проверке того, как результаты зависят от методики анализа). Строго говоря, они не являются погрешностью измерения, поскольку могут и должны быть устранены. Зачастую это избавление от человеческих ошибок может быть вполне формализовано. Так называемый дважды слепой эксперимент в биомедицинских науках — один тому пример. В физике частиц есть похожие приемы (см. заметку Что означает «слепой анализ» при поиске новых частиц?).

Что означает погрешность

Стандартный вид записи измеренной величины с погрешностью знаком всем. Например, результат взвешивания какого-то предмета может быть 100 ± 5 грамм. Это означает, что мы не знаем абсолютно точно массу, она может быть и 101 грамм, и 96 грамм, а может быть и все 108 грамм. Но уж точно не 60 и не 160 грамм. Мы говорим лишь, сколько нам показывают весы, и из каких-то соображений определяем тот примерный разброс, который измерение вполне могло бы дать.

Тут надо подчеркнуть две вещи. Во-первых, в бытовой ситуации значение 100 ± 5 грамм часто интерпретируется так, словно истинная масса гарантированно лежит в этом диапазоне и ни в коей мере не может быть 94 или 106 грамм. Научная запись подразумевает не это. Она означает, что истинная масса скорее всего лежит в этом интервале, но в принципе может случиться и так, что она немножко выходит за его пределы. Это становится наиболее четко, когда речь идет о статистических погрешностях; см. подробности на страничке Что такое «сигма»?.

Во-вторых, надо четко понимать, что погрешности — это не ошибки эксперимента. Наоборот, они являются показателем качества эксперимента. Погрешности характеризуют объективный уровень несовершенства прибора или неидеальности методики обработки. Их нельзя полностью устранить, но зато можно сказать, в каких рамках результату можно доверять.

Некоторые дополнительные тонкости, связанные с тем, что именно означают погрешности, описаны на странице Тонкости анализа данных.

Как записывают погрешности

Указанный выше способ записи не уточняет, что это за погрешность перед нами. В физике элементарных частиц при предъявлении результатов источники погрешностей принято уточнять. В результате запись результата может иногда принять пугающий своей сложностью вид. Таких выражений не надо бояться, просто нужно внимательно посмотреть, что там указано.

В самом простом случае экспериментально измеренное число записывается так: результат и две погрешности одна за другой:

μ = 1,33 ± 0,14 ± 0,15.

Тут вначале всегда идет статистическая, а за ней — систематическая погрешность. Если же измерение не прямое, а в чем-то опирается на теорию, которая тоже не идеально точна, то следом за ними приписывается теоретическая погрешность, например:

μ = 1,33 ± 0,14 ± 0,15 ± 0,11.

Иногда для пущей понятности явно указывают, что есть что, и тогда погрешностей может быть даже больше. Это делается вовсе не для того, чтобы запутать читателя, а с простой целью: упростить в будущем расчет уточенного результата, если какой-то один из источников погрешностей будет уменьшен. Вот пример из статьи arXiv:1205.0934 коллаборации LHCb:

Означает эта длинная строка следующее. Тут записана измеренная детектором вероятность выписанного распада B_s-мезона, которая равна [1,83 ± четыре вида погрешностей] · 10^–5. В перечислении погрешностей вначале идет статистическая погрешность, потом систематическая погрешность, затем погрешность, связанная с плохим знанием некоторой величины f_s/f_d (неважно, что это такое), и наконец, погрешность, связанная с плохим знанием вероятности распада B⁰-мезона (потому что измерение B_s-распада косвенно опирается на B⁰-распад).

Нередки также случаи, когда погрешности в сторону увеличения и уменьшения разные. Тогда это тоже указывается явно (пример из статьи hep-ex/0403004):

И наконец, совсем экзотический случай: когда величина настолько плохо определена, что погрешность пишут не к самому числу, а к показателю степени. Например, 10^12 ± 2 означает, что величина вполне может лежать где-то между 10 миллиардами и 100 триллионами. В этом случае обычно нет большого смысла разделять погрешности на разные типы.

Величина со всеми явно указанными погрешностями часто не очень удобна для работы, например при сравнении теории и эксперимента. В этом случае погрешности суммируют. Эти слова ни в коем случае нельзя воспринимать как простое сложение! Как правило, речь идет о сложении в квадратах: если все три типа погрешностей обозначить как Δx_stat., Δx_sys., Δx_theor., то глобальная погрешность обычно вычисляется по формуле

Стоит еще добавить, что в других разделах физики нередко используют иную запись: вместо символа «±» погрешность просто помещают в скобках. Тогда ее понимают так: это погрешность, выраженная в единицах последней значащей цифры. Например, 100(5) означает 100 ± 5, а 1,230(15) означает 1,230 ± 0,015. В этом случае принципиально важно писать правильное число нулей в результате измерения, ведь запись 1,23(15) уже будет означать вдесятеро большую погрешность: 1,23 ± 0,15.

Как изображают погрешности

Когда экспериментально измеренные значения наносятся на график, погрешности тоже приходится указывать. Это обычно делают в виде «усов», как на рисунке слева. Такие «усы» с засечками относятся к глобальной погрешности. Если же хочется разделить статистические и систематические погрешности, то делают так, как показано на рисунке справа. Здесь засечки показывают только статистические погрешности, а полные усы во всю длину отвечают глобальным погрешностям. Другой вариант: выделение полных погрешностей цветом, как это показано, например, на рисунке с данными ATLAS по хиггсовскому бозону.

Наконец, когда экспериментальная точка имеет отдельные погрешности по обеим осям, то их тоже наносят, и результат выглядит в виде крестика.

Расчет погрешности в процентах

Как рассчитать погрешность в процентах

Погрешность в процентах представляет собой простой для понимания показатель допустимой погрешности. Это позволяет узнать, насколько велика ошибка. Например, 3-процентная ошибка означает, что измеренное значение очень близко к фактическому значению. С другой стороны, 50-процентная маржа означает, что ваши измерения далеки от реального значения. Если вы получите 50-процентную ошибку, вам, вероятно, придется сменить измерительный прибор.

Почему мы вычисляем процентную ошибку?

Существует много причин для расчета процентных ошибок. Инженеры используют его для определения точности измерительного прибора. В финансовом секторе статистики и аналитики данных полагаются на него, чтобы проверить, движется ли набор данных в правильном направлении. Вне рабочего пространства мы используем процентные ошибки для множества повседневных задач. Например, если вы печете торт, а рецепт требует четырех с половиной чайных ложек сахара, вы можете просто округлить. Вы можете побаловать себя сладкоежкой, добавив пять чайных ложек или выбрать четыре ложки. Любой вариант будет иметь погрешность около 10% и все равно приведет к вкусным результатам.

Примечание. Если измеренное значение совпадает с фактическим значением, процентная ошибка равна нулю.

Как рассчитать процентную ошибку

Расчет процентной ошибки намного проще, чем расчет стандартного отклонения. Вам нужно всего лишь выполнить несколько быстрых шагов.

Вычесть фактическое значение из оценочного значения
Разделить результаты шага 1 на реальное значение
Умножьте результат на 100, чтобы найти общий процент

Все это суммируется по формуле:

Чтобы увидеть, как работает вычисление, давайте рассмотрим небольшой пример.

При измерении планировки бассейна ландшафтный дизайнер случайно записал 8м. Какова процентная ошибка, если фактическая длина равна 10 м?

Чтобы решить это, мы будем использовать формулу:

Процентная ошибка = ((Расчетное число – Фактическое число)/ Фактическое число) x 100

Шаг 1. Вычтите фактическое значение из расчетного значения.

8 м – 10 м = -2 м

Шаг 2. Разделите результат на фактическое значение

-2 м/10 м = -0,2

Шаг 3. Чтобы найти процентную ошибку, умножьте результат на 100

-0,2 x 100 = -20 %

Процентная ошибка измерения составила -20 %

Процентная ошибка = 8 – 10/10 x 100 = -2/10 x 100 = -20 %.

В чем разница между процентной ошибкой, абсолютной ошибкой и относительной ошибкой?

Абсолютная ошибка — это просто абсолютное значение (записанное как |x|) между экспериментальным значением и фактическим значением (разница между ними без учета отрицательного знака). Он обеспечивает величину разницы между обеими цифрами. ** Для сравнения, относительная ошибка относится к отношению между абсолютной ошибкой и фактическим значением. Вы можете рассчитать его, разделив абсолютную ошибку и фактическое значение. Например, если абсолютная ошибка равна 2, а фактическое значение равно 6, относительная ошибка составляет 2/6, то есть 0,3333… Когда относительная ошибка преобразуется в проценты, она становится процентной ошибкой.

Итого:

Абсолютная ошибка = |Экспериментальное измерение – Фактическое измерение|
Относительная погрешность = абсолютная погрешность/фактическое измерение
Погрешность в процентах = относительная погрешность в десятичной форме x 100. Записывается по формуле: |4 — 6| = 2. Другой пример: |7-4| = 3.

Ошибка в процентах – формула, расчет и примеры решения
Как следует из названия, процентная ошибка — это разница между точным или известным значением чего-либо и его приблизительным или измеренным значением в процентном выражении. В научных экспериментах он используется для сообщения о разнице между экспериментальным значением и его истинным или точным значением. Он рассчитывается как процент от точного значения. В качестве примера из реальной жизни, если вы посмотрите на автомат с жевательной резинкой и подсчитаете, сколько там шариков жевательной резинки, а затем подсчитаете количество шариков жевательной резинки, тогда вы сможете измерить процент ошибки, которую вы сделали. в вашем предположении.
Процентная ошибка позволяет увидеть, насколько вы далеки от точного значения в оценке ценности чего-либо. Эти ошибки могут возникать из-за неточности оборудования, измерений (человеческий фактор или ошибка инструмента) или некоторых корректировок, внесенных в методы расчета (округление и т. д.). Существует простая и понятная формула для расчета этой процентной ошибки, которая приведена ниже:
Процентная ошибка = (Приблизительное или экспериментальное значение — Точное или известное значение/Точное или известное значение)∗100
Если процентная ошибка близка к 0, то ваше приближение очень близко к фактическому или истинному значению. Эта формула очень важна для определения точности ваших расчетов. Для большинства приложений процентная ошибка представляется как положительное число, но для некоторых наук, таких как химия, принято выражать его как отрицательное число, поскольку положительное значение в химии указывало бы на потенциальную проблему с экспериментом или реакциями, которые не учитываются.
Как рассчитать процент?
Для расчета процентной ошибки в любом эксперименте или наблюдении необходимо выполнить следующие шаги:
Вы получаете значение «ошибки», вычитая одно значение из другого. Если вы не сохраняете знак, то порядок не имеет значения, но если вы сохраняете отрицательный знак, вы получаете значение «ошибки», вычитая точное значение из измеренного значения.
Затем вы делите это значение «ошибки» на известное или точное значение (не измеренное или экспериментальное значение).
Это деление даст вам десятичное число. Умножьте это десятичное значение на 100, чтобы преобразовать его в процентное значение.
Наконец, вы должны добавить обозначение % перед вычисленным значением, чтобы сообщить о своей процентной ошибке.
Решенные примеры погрешности в процентах
У нас есть несколько различных примеров по расчету погрешностей в процентах, чтобы углубиться в концепцию и получить больше ясности:
1. Организаторы подсчитали, что на концерте будет 90 человек но на самом деле на концерт пришло 120 человек. Рассчитайте процент ошибки в догадке организаторов.
Формула для процентной ошибки =
\[\frac{\text{Расчетное или приблизительное значение — известное или точное значение}}{\text{известное или точное значение}}\ast\] 100
Подставляя вышеуказанные значения мы получили; % ошибки = \[\frac{\mid 90-120\mid }{120}\ast 100 = \frac{30}{120}\ast100\] = 25%
2. Оле Рёмер был датским астрономом, который наблюдал что в зависимости от расстояния Юпитера от Земли периоды спутников Юпитера, казалось, колебались. Спутникам требовалось больше времени, чтобы появиться из-за планеты, если Юпитер находился дальше от Земли, чем в противном случае. Он связал это со скоростью света и дал приблизительное значение 220 000 км/с для скорости света. Принятое значение скорости света в настоящее время равно 29.9800 км/с. Какова процентная ошибка наблюдения Ремера?
% ошибка = \[\frac{\mid2,20,000-299,800 \mid}{299,800}\ast \] 100 = 26,62%
Метод нахождения процентной ошибки
Найти процентную ошибку довольно просто. Студенты должны знать несколько важных вещей для нахождения процентной ошибки. Они должны знать оценочное значение и исходное значение, чтобы найти процентную ошибку.
Во-первых, они должны найти разницу между расчетным значением и первоначальным значением. Значение может быть отрицательным или положительным. Учащиеся могут игнорировать отрицательный знак. Они должны вычесть исходное значение из расчетного значения.
Найдя разницу, учащиеся должны разделить разницу на исходное значение и умножить на сто, чтобы получить процентное значение. Это способ найти процент ошибки для любого эксперимента.
Весьма полезно для студентов разных специальностей. Поэтому учащиеся должны понимать формулу и метод расчета процентной ошибки. Vedantu предоставляет наилучшую информацию о процентной ошибке. Студенты могут посетить веб-сайт Vedantu, чтобы получить необходимое определение, формулу и примеры, связанные с процентной ошибкой. Это может помочь студентам хорошо подготовиться к экзаменам.
Решенные примеры для процентной ошибки
Здесь приведены несколько решенных примеров, которые могут помочь учащимся понять тип вопросов, задаваемых на экзамене, связанных с процентной ошибкой, а также понять метод нахождения процентной ошибки.
1. Мужчина установил прилавок и думал, что ежедневно прилавок будет посещать 100 человек, но каждый день приходило только 80 человек. Вычислите процент ошибки.
Решения: Учащиеся должны применить формулу:
Расчетное значение: 100
Оригинальное значение: 80
% Ошибка = расчетное значение- исходное значение
Оригинальное значение
100-80
80
x 100 = 100 /4 = 25%
9
¼ x 100 = 100 /4 = 25%
Преимущества поиска процентных ошибок
Нахождение процентных ошибок дает множество преимуществ. Ниже приведены некоторые преимущества поиска процентных ошибок:
Процентная ошибка важна для определения точности. Точность означает степень близости измеренного значения к его исходному значению. Процентная ошибка рассчитывается путем деления разницы расчетного значения и исходного значения на исходное значение и умножения на 100.
Наиболее важным преимуществом определения процентной ошибки является определение того, насколько вы близки к истинному значению. Процентная ошибка может быть как незначительной, так и очень высокой в зависимости от ваших наблюдений. Таким образом, если процентная ошибка очень мала, ею можно пренебречь, но если процентная ошибка высока, вам придется снова вычислять или измерять вещи, чтобы получить абсолютное значение.
Несколько обработанных примеров:
1. Подсчитано, что расстояние до Луны в конкретный день составляет 235 755 миль. Но фактическое расстояние составляет 250 655 миль. Вычислите процент ошибки.
Ответ. Процент ошибки можно рассчитать как:
235 755 — 250 655/250 655 = 0,059 x 100 = 5,9%
2. Джон планировал поход с друзьями. Он оценил высоту пешеходной тропы в 215 футов на милю. Но когда он пошел со своими друзьями, он обнаружил, что фактическая высота тропы составляет 230 футов / милю. Какова была погрешность в процентах в расчетах Джона?
Ответ. \[\frac{215-230}{230} =\frac{15}{230}\] = 0,065 x 100 = 6,5%
3. Школа организовала праздник, открытый для всех. Учителя и студенты подсчитали, что каждый день его будут посещать 1000 человек. Но фактическое количество людей, посетивших фестиваль, составило 1050 человек. Подсчитайте процент ошибки.

Ответ. \[\frac{1000-1050}{1050} =\frac{50}{1050}\] = 0,047 x 100 = 4,7%
4. Мужчина хотел подготовить квадратный газон перед своим домом. Он оценил его площадь в 450 квадратных метров. Но когда он начал копать для сада, фактическая площадь, которую нужно было покрыть, составляла 470 квадратных метров. Вычислите процент ошибки.
Ответ. \[\frac{450-470}{470} =\frac{20}{470}\] = 0,042 x 100 = 4,2%
Заключение
Процентная ошибка – это разница между измеренным значением и точным значением любого количество под наблюдением. Он рассчитывается как процент от точного или известного значения. Его значение можно рассчитать по формуле:
\[\frac{\text{Расчетное или приблизительное значение — известное или точное значение}}{\text{известное или точное значение}}\ast\] 100

Знак ошибки в процентах не учитывается в большинстве приложений за исключением химии и некоторых других наук, где принято сохранять знак минус. Процентная ошибка — это тип вычисления ошибки. Несколько других типов вычислений распространенных ошибок — это относительная ошибка и абсолютная ошибка.
Когда мы делаем анализ, мы можем делать ошибки. Процентные ошибки помогают нам определить наши ошибки, когда мы что-то измеряем.