Как влияет относительная погрешность измерения при измерении: Как влияет относительная погрешность измерения при измерении физических величин?

Управление погрешностью измерений физической величины в микропроцессорном датчике Текст научной статьи по специальности «Физика»

Никишин Владимир Владимирович — e-mail: [email protected]; кафедра технической экспертизы и управления качеством; к.т.н.; доцент.

Eliseeva Maria Alexsandrovna — Sevastopol National University; e-mail: [email protected]; 33, Universitetskaya street, Sevastopol, 299053, Russia; phone: +78692713041; the department technical expertise and quality management; postgraduate student.

Nikishin Vladimir Vladimirovich — e-mail: [email protected]; the department technical expertise and quality management; cand. of eng. sc.; associate professor.

УДК 681.3.01

С.И. Клевцов, Е.В. Удод

УПРАВЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЬЮ ИЗМЕРЕНИЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ В МИКРОПРОЦЕССОРНОМ ДАТЧИКЕ

Повышение точности измерений физической величины за счет схемотехнических или алгоритмических методов практически всегда приводит к увеличению стоимости датчика, часто, весьма значительному. При этом не всегда необходимость достижения высоких показателей точности технически и экономически обоснована. Для управления погрешностью измерений, в том числе достижения низких ее значений, предлагается использовать метод построения пространственной мультисегментной характеристики преобразования на основе линейных и нелинейных пространственных элементов. На основе анализа особенностей метода рассматриваются версии построения характеристики преобразования, определяющие пути оптимизации погрешности измерений. Модель пространственной характеристики преобразования, формируемая на основе ранее упомянутого метода, максимально адаптирована к особенностям конфигурации функции преобразования первичного измерительного преобразователя, фактически повторяя ее пространственную форму с учетом нелинейности, дрейфа нуля, влияния внешних факторов, включая температуру. Это обеспечивает низкую погрешность вычисления физической величины и ее адаптацию для потребностей конкретной задачи измерений. Исследование эффективности метода мультисегментной аппроксимации характеристики преобразования для управления погрешностью и повышения точности измерений физических величин проводилась на основе экспериментальное данных, полученных в процессе градуировки при различных значениях температуры термоанемометрических измерителей скорости потока жидкости. Полученные результаты показывают, что максимальная приведенная погрешность измерения скорости потока жидкости с помощью термоанемометра с использованием мультисегментной пространственной характеристики преобразования не превышает ~ 0,45 % при произвольной температуре, зафиксированной при проведении измерений. Анализ возможных путей оптимизации погрешностей измерения также проводился с использованием данных испытаний тензометрических датчиков давления. При использовании нелинейного пространственного элемента погрешность измерений датчика давления не превысила ~ 0,3 % в заданном диапазоне температур.

Управление погрешностью; термоанемометрический измеритель; датчик давления; пространственная мультисегментная характеристика преобразования.

S.I. Klevtsov, E.V. Udod

IMPROVE ACCURACY MEASUREMENT OF PHYSICAL QUANTITIES USING THE MODEL MULTI-SEGMENT SPATIAL CHARACTERISTICS CONVERSION IN SMART SENSORS

Improving the accuracy of measurements of the physical quantity due to hardware or algorithmic methods almost always leads to an increase in the cost of the sensor, often quite significant. It is not always necessary to achieve high levels of accuracy of technically and economically

justified. Existing mathematical and algorithmic methods for improving the accuracy of measurements Smart Sensors are ineffective in solving the problem of management error because it does not allow the use of different functional relationships to the approximation of arbitrary functions of individual elements of a real transformation in the space of its domain. The task of control the measurement error in the model of multi-segment space conversion characteristic is achieved through the combined use of linear and nonlinear spatial elements, as well as change the size and placement of the segments in the space conversion function definition of the primary device. To control the measurement error, including achieving low values it is proposed to use a method of constructing a multisegment spatial conversion characteristics based on linear and nonlinear spatial elements. On the basis of analysis of the features of the method are considered version build conversion characteristic defining ways to optimize the measurement error. The model of the spatial characteristics of the transformation that is formed on the basis of the previously mentioned method, the most adapted to the characteristics of the configuration of the conversion function transducer actually repeating its spatial form based on linearity, zero drift, the effect of external factors, including temperature. It provides a low error of calculation ofphysical size and its adaptation to the needs of specific measurement tasks. Research of efficiency of multi-segment approximation method to control the characteristics of conversion error and improve the accuracy of measurements of physical quantities was based on experimental data obtained in the process of calibration at different temperatures hot-wire flow meter of liquid. These results indicate that the maximum percentage error measure flow rate of fluid through a multi-segment thermal anemometer using spatial characteristics to be less than ~ 0.45 % at an arbitrary temperature, fixed during measurements. Analysis of possible ways to optimize the measurement errors are also performed using test data strain gauge pressure sensors. When using non-linear spatial element of the pressure sensor measurement error does not exceed about 0.3 % in a predetermined temperature range.

Control the measurement error; thermoanemometric a measuring instrument; pressure sensor; the spatial multisegment characteristic of transformation.

Введение. Спрос на высокоточные приборы измерения медленно меняющихся физических величин растет в связи с развитием сферы услуг и промышленного производства, с развитием различных отраслей страны. Область применения датчиков физических величин достаточно широка — системы автоматического контроля, регулирования и управления сложными техническими объектами и технологическими процессами, где необходимо обеспечение непрерывного измерения различных величин [1-4]. В последние годы уделяется большое внимание производству микропроцессорных датчиков с повышенными точностными характеристиками [1, 3, 4]. Часто более точное измерение физической величины, например, давления позволяет сократить убытки при расчете газа или нефти в нефтегазовой промышленности, повысить качество продукции металлургической и химической промышленности [1, 2].

Повышение точности и достоверности определения значений физических величин представляет собой одну из важных задач совершенствования математических и алгоритмических методов обработки данных в микропроцессорных датчиках [1, 3-6]. Используемые методы и алгоритмы должны обеспечивать учет влияния различных дестабилизирующих факторов на результаты измерений, таких как, например, температура [1, 3, 4].

Достижение низкой погрешности измерения физической величины в микропроцессорном датчике базируется на использовании модели его характеристики преобразования, адаптированной к особенностям поведения функции преобразования первичного преобразователя [1, 4, 6, 7]. Для микропроцессорного датчика необходимо построить такую модель характеристики преобразования, которая бы повторяла пространственную форму реальной характеристики настолько точно, насколько это необходимо, исходя из потребностей решаемых датчиком задач.

Для обработки сигналов, поступающих с чувствительного элемента, в микропроцессорном датчике физических величин используются различные модели его характеристики преобразования, которые базируются на пространственном представлении функции преобразования первичного преобразователя [7-18].

Наиболее простой моделью характеристики датчика, широко используемой для градуировки датчика, является кусочно-линейная пространственная аппроксимация [8-12]. Сложные модели обеспечивают большую точность измерений, однако платой за это повышение является увеличение стоимости градуировки в связи с большим объемом необходимых исходных данных, что ограничивает их широкое применение [13-18].

Однако, повышение точности измерений физической величины за счет схемотехнических или алгоритмических методов практически всегда приводит к увеличению стоимости датчика, часто, весьма значительному. При этом не всегда необходимость достижения очень высоких показателей точности обоснована с технических и экономических позиций.

В связи с этим актуальна проблема управления точностью измерения физической величины в микропроцессорном датчике для достижения погрешности, определяемой текущими целями решаемой задачи.

Однако возможности управления погрешностью измерений в перечисленных выше моделях ограничены, поскольку для них характерно использование единого представления характеристики для всей области изменения полезного сигнала и внешних факторов [1, 4, 10].

Постановка задачи. В данной работе рассматривается подход к управлению погрешностью на основе использования модели пространственной мультисег-ментной характеристики преобразования микропроцессорного датчика, на основе которого возможно достижение заданной точности измерений, достаточной для решаемой датчиком задачи в рамках конкретной области применения.

При этом, снижается стоимость градуировки датчика, стоимость измерений и достигается погрешность измерения физической величины не выше предельно допустимой, обеспечивающая в полном объеме функции датчика в составе технического объекта.

В работе анализируются полученные результаты и даются рекомендации по использованию подхода.

Использование модели пространственной мультисегментной характеристики преобразования для управления погрешностью измерений. Для снижения и управления погрешностью определения физических величин предлагается использовать метод мультисегментной аппроксимации характеристики преобразования микропроцессорного датчика [19, 20, 21].

В рамках предлагаемого метода реальная характеристика преобразования заменяется системой локальных поверхностей так, чтобы они в совокупности повторяли ее пространственную конфигурацию. Тип аппроксимирующей локальной поверхности определяется многими факторами, такими как, например, точностные характеристики, объем и полнота исходных данных, требуемая скорость вычислений и другими.

В основе метода лежат следующие основные положения [1, 4, 20, 21]:

Модель пространственной характеристики преобразования должна быть максимально адаптирована к особенностям конфигурации функции преобразования первичного измерительного преобразователя. В этом случае характеристика фактически повторяет пространственную форму функции преобразования с учетом нелинейности, дрейфа нуля, влияния внешних факторов, например, температуры, преобразований сигналов в аналоговом интерфейсе датчика.

Пространственная аппроксимация характеристики датчика должна удовлетворять заданным требованиям, основными из которых являются достижения заданной погрешности аппроксимации во всех диапазонах измерения физической величины и изменения внешних воздействующих факторов, а также требования к

допустимому уровню сложности вычислений. Погрешность аппроксимации пространственной градуировочной характеристики может корректироваться в зависимости от решаемых датчиком задач.

Пространственная аппроксимация характеристики преобразования представляет собой систему локальных линейных и (или) нелинейных пространственных элементов, — сегментов.

Функции, описывающие пространственную форму сегментов, могут быть различными и существенно отличаться по типу, например, часть сегментов описывается линейными выражениями, а часть — нелинейными (полиномом). Тип функциональной зависимости определяется многими факторами, такими как, достижение заданной погрешности аппроксимации, объем и полнота исходных данных, требуемая скорость вычислений и другими.

Сшивка сегментов на границе раздела их областей определения не производится, что значительно снижает сложность алгоритма. Пространственная конфигурация краев сегментов на границах областей их определения должна обеспечивать достижение заданной погрешности аппроксимации характеристики преобразования при выборе любого из сегментов в процессе проведения измерений. То есть отдельные сегменты характеристики могут перекрывать друг друга без ухода погрешности за пределы заданной допустимой зоны

Исследование эффективности модели для управления погрешностью измерений. Исследование эффективности метода мультисегментной аппроксимации характеристики преобразования по снижению и управлению погрешностью измерений проводилась на основе экспериментальное данных, полученных в процессе градуировки термоанемометрических измерителей (ТА) скорости потока жидкости и датчиков давления при различных значениях температуры.

В первом случае испытания проводились для двух однотипных термоанемометрических измерителей скорости потока жидкости (№1 и №2) в диапазонах скоростей потоков (ориентировочно) от 1,46 м/с до 11,5 м/с для первого образца и от 1,79 м/с до 15,00 м/с для другого образца при 4-х значениях температуры для первого образца (Т ~ 23-25°С, ~ 30°С, ~ 38-39°С, ~ 45-47°С) и 6-ти значениях температуры для второго образца (Т ~ 21-23°С, ~ 25°С, ~ 30-31°С ~ 35-36°С, ~ 40-41°С, ~ 45-47°С ).

Использование метода мультисегментной аппроксимации характеристики преобразования на основе моделей линейных или нелинейных пространственных элементов для вычислений значений скорости потока жидкости проводилось с учетом температуры.

Представленные данные испытаний характеризуются значительной нелинейностью при задаваемой температуре, которая изменялась в небольшом диапазоне величин относительно некоторого среднего значения. Диапазон отклонений температуры (разница между верхним и нижним значениями при задаваемом значении температуры) достигали значений в 1-2°С.

Нелинейность наблюдается на всем диапазоне изменения скорости потока жидкости.

Зависимость электрического сигнала канала измерения скорости потока Uta ТА от температуры также имеет нелинейный характер. При увеличении температуры для одних и тех же значениях скорости потока выходной сигнал Uta уменьшается, что на графиках (рис. 1, 2) выглядит как «сползание» характеристики, то есть сдвиг в область более низких значений измеряемого электрического сигнала.

Кроме того, реальная характеристика преобразования ТА представляет вогнутую поверхность в системе параметров VxUtaxT, которая имеет особенность, -это вогнутая поверхность относительно области определения UtaxT , границы поверхности не параллельны относительно оси 0Т (рис. 3).

Рис. 1. Изменение сигнала ТА №1 в зависимости от скорости потока жидкости

при различных температурах

Рис. 2. Изменение сигнала ТА №2 в зависимости от скорости потока жидкости

при различных температурах

Рис. 3. Характеристика преобразования ТА №1 в пространстве Ухи(ахТ, построенная по результатам испытаний

Пространственную мультисегментную характеристику преобразования (МСХП) для ТА формировали на основе данных испытаний следующим образом: ♦ по параметру иа значения выбирались для каждой задаваемой температуры из ряда значений через один, начиная со значения, соответствующего наименьшей скорости потока жидкости;

♦ не выбранные для построения градуировочной характеристики значения использовались для оценки точности измерений скорости потока жидкости с помощью МСХП.

Количество сегментов по оси температур ОТ — 3, по оси 0иа — 3, т.е. всего девять сегментов.

Коэффициенты аппроксимации МСХД определяли методом наименьших квадратов для каждого сегмента с использованием экспериментальных точек, принадлежащих области определения сегмента.

На рис. 4, 5 представлены графики абсолютной величины приведенной погрешности (в процентах к диапазону измеряемой скорости движения жидкости) вычисления значений скорости движения жидкости для ТА №1 и ТА №2 с использованием нелинейных пространственных элементов МСХП при задаваемых температурах.

Следует отметить, что погрешность аппроксимации в данном случае значительно ниже 0,01 %, что позволяет не учитывать ее при измерениях.

та (В)

Рис.

Е<)25 2

| 0.2 К 0.15-

с 0 ‘Г

0(15 ?.4

Рис. 5. Графики изменения абсолютного значения приведенной погрешности вычисления скорости потока жидкости с помощью мультисегментной характеристики преобразования ТА №2

На рис. 6, 7 представлены в пространстве параметров УхЦахТ графики абсолютной величины приведенной погрешности (в процентах к диапазону измеряемой скорости движения жидкости) вычисления значений скорости движения жидкости для ТА №1 и ТА №2 с использованием нелинейных пространственных элементов МСХП при задаваемых температурах.

Рис. 6. График изменения абсолютного значения приведенной погрешности вычисления скорости потока жидкости с помощью мультисегментной характеристики преобразования ТА №1 в пространстве параметров УхП^хТ

I На (В)

Рис. 7. График изменения абсолютного значения приведенной погрешности вычисления скорости потока жидкости с помощью мультисегментной характеристики преобразования ТА №2 в пространстве параметров Ух~ишхТ

Таким образом, погрешность измерения скорости потока жидкости с помощью термоанемометра с использованием мультисегментной пространственной характеристики преобразования позволяет получить результат с максимальной приведенной погрешность ~ 0,45 % при произвольной температуре, зафиксированной при проведении измерений.

Оценка эффективности метода для решения задачи управления погрешностью осуществлялась на основе градуировочных испытаний датчиков давления. Учитывая особенности метода мультисегментной пространственной характеристики преобразования, можно определить способы управления погрешностью измерений контролируемой физической величины.

На точность измерения давления с помощью метода мультисегментной аппроксимации ПГХ непосредственно влияет выбор размеров пространственных элементов в области определения Р*Т.

Для оценки влияния размеров пространственных элементов на погрешность вычисления значений давления с использованием рассматриваемых моделей воспользуемся данными градуировочных температурных испытаний чувствительного элемента тензорезисторного типа.

Испытания проводились по следующей схеме:

♦ температура изменялась от -40 оС до +80 оС с шагом 5 оС, давление от 0 до 600 КПа с шагом 60 КПа;

♦ при каждом фиксированном значении температуры давление изменялось от нижнего значения до верхнего предела и обратно. Количество циклов изменений давления при заданной температуре — 4. Таким образом, фиксировался гистерезис реальной функции преобразования чувствительного элемента.

Рассмотрим влияние размеров линейных и нелинейных пространственных элементов отдельно по оси давлений и оси температур.

Для оценки влияния размеров ЛПЭ и НПЭ по давлению вычисление давления проводилось с использованием пространственной градуировочной характеристики, построенной на базисе экспериментальных точек с шагом по температуре 5оС для двух вариантов шага по давлению, — 300 кПа и 120 кПа.

Графики максимальных значений относительных приведённых погрешностей вычислений значений давления при использовании ЛПЭ и НПЭ для различных температур для шага по давлению 120 КПа и 300 КПа, приведены соответственно на рис. 8, 9.

Из анализа рисунков следует, что уменьшение величины локального пространственного элемента по давлению в 2,5 раза привело к снижению погрешности вычислений значений давления в 1,7-1,8 раза, в результате чего максимальная погрешность определения давления при использовании ЛПЭ составила 0,12 %, а НПЭ — 0,1 %.

«« 60 [211 [«(I 2-Ю 300 «II 480 540 600

Даолсшю (КПл)

Рис. 8. Максимальные значения относительной приведённой погрешности вычислений значений давления при использовании ЛПЭ

Рис. 9. Максимальные значения относительной приведённой погрешности вычислений значений давления при использовании НПЭ

Для оценки влияния размеров ЛПЭ и НПЭ по температуре вычисление давления проводилось с использованием пространственной градуировочной характеристики, построенной на базисе экспериментальных точек с шагом по давлению 60 кПа для трех вариантов шага по температуре, — 20 оС, 15 оС и 10 оС.

Для оценки влияния на точность вычисления давления размеров локальных пространственных элементов по температуре приведём на рис. 10, 11 максимальные значения относительных приведённых погрешностей вычислений значений давления при использовании ЛПЭ и НПЭ соответственно.

Рис. 10. Максимальные значения относительной приведённой погрешности вычислений значений давления при использовании ЛПЭ для различных температур

Рис. 11. Максимальные значения относительной приведённой погрешности вычислений значений давления при использовании НПЭ для различных температур

Из анализа рисунков следует, что уменьшение размера локального пространственного элемента по температуре сильно влияет на точность вычислений значений давления. Так при уменьшении размеров локальных пространственных элементов с 20 оС до 10 оС, происходит снижение погрешности вычислений значений давления в 1,7-1,8 раза, при уменьшении с 10 оС до 5 оС даже при больших размерах локальных пространственных элементов по давлению приводит к снижении погрешность примерно в 4 раза.

0.77

0

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Температура (°Г)

Кроме того, результаты моделирования показывают, что уменьшение размеров пространственных элементов по температуре более существенно снижают погрешность вычислений, чем изменение размеров пространственных элементов по давлению.

Выводы. Анализ показывает, что использование модели мультисегментной пространственной характеристики преобразования позволяет достичь очень низких погрешностей измерений за счет высокой точности аппроксимации реальной функции преобразования первичного измерительного преобразователя с одновременным учетом влияния на измерения внешних и внутренних дестабилизирующих факторов во всем диапазоне их изменений.

Расчет скорости потока жидкости с помощью термоанемометра с использованием данной модели в наилучшем случае позволил получить результат с максимальной приведенной погрешность ~ 0,45 % при произвольной температуре, зафиксированной при проведении измерений [3]. Для измерения давления в наилучшем случае максимальная приведенная погрешность составляет ~ 0,1 % [1, 4, 20, 21]. Подобная точность измерений трудно достижима при использовании известных моделей функций преобразования, поскольку погрешности аппроксимации только термометров в термоанемометре изменяются в диапазоне 1,8-3,1 % [3]. А, например, погрешность аппроксимации для датчика давления в случае мультисегментной модели может составлять величину в диапазоне 0,01-0,03 [1, 4, 20, 21], что позволяет не учитывать эту погрешность при расчетах.

Существующие математические и алгоритмические методы повышения точности измерений в микропроцессорных датчиках малоэффективны при решении задачи управления погрешностью, поскольку не позволяют применять различные функциональные зависимости к аппроксимации произвольных отдельных элементов реальной функции преобразования в пространстве ее области определения [7-18].

Анализ результатов моделирования показал, что задача управления погрешностью измерений в рамках модели мультисегментной пространственной характеристики преобразования решается с помощью комплексного использования линейных и нелинейных пространственных элементов, а также изменения размеров и размещения сегментов в пространстве определения функции преобразования первичного преобразователя. При этом необходимо учитывать, что погрешность вычислений значений давления с компенсацией температурного влияния на основе линейного пространственного элемента менее чувствительна к погрешности исходных данных, чем модель на основе параболического пространственного элемента, но при погрешностях менее 0,5 % точность вычислений значений давления при использовании НПЭ будет выше, чем при использовании ЛПЭ за счёт более низкой методической погрешности.

Отношение погрешности вычислений значений давления к погрешности исходных данных при одинаковых абсолютных значениях погрешности на канале давления и температуры при использовании ЛПЭ и НПЭ примерно равно 1,5-1,6. Чувствительность модели ПГХ при использовании ЛПЭ к погрешности на канале температуры ниже, чем чувствительность к погрешности на канале температуры при использовании НПЭ.

В заключении можно отметить, что использование метода мультисегмент-ных пространственных характеристик преобразования в микропроцессорных датчиках может обеспечить не только высокую точность измерений в широком диапазоне изменения измеряемых физических величин и внешних влияющих факторов, но и эффективное управление погрешностью измерений при оптимизации затрат на калибровку. Полученные результаты могут быть полезны при создании программно-алгоритмического обеспечения микропроцессорных датчиков физических величин.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Научно-технические, технологические и практические основы конструирования датчи-ковой аппаратуры для измерений физических величин в 5-ти т. Т. 1. Датчиковая аппаратура давлений: монография. — М.: ГОУ ВПО МГУЛ, 2010. — 579 с.

2. Васильев Н.К. Учет природного газа на объектах магистральных газопроводов. — Л.: Недра, 1990. — 128 с.

3. Пьявченко О.Н., Зори А.А., Клевцов С.И., Кузнецов Д.Н. Информационно-измерительные системы определения параметров газожидкостных потоков: монография. — Таганрог: Изд-во ЮФУ, 2013. — 244 с.

4. Пьявченко О.Н., Клевцов С.И., Мокров Е.А., Панич А.Е., Пьявченко А.О., Удод Е.В., Федоров А.Г. Прецизионные интеллектуальные тензометрические датчики давления. Методы, модели, алгоритмы и архитектуры / Под ред. О.Н. Пьявченко. — Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2009. — 152 с.

5. Anton Bakker, Johan Huijsing High-Accuracy CMOS Smart Temperature Sensors — Springer Science & Business Media, 2013 — 121 с. — URL: https://books.google.ru/books ?id=ZhjTBwAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=ru#v=onepage&q&f=false

6. Spiridonov E.I., Markov A.V. Calibration productivity increase of pressure measuring devices under high accuracy requirements // The Third International Conference on Problem of PHYSICAL METROLOGY. Abstracts. Saint Petersburg, Russia 15-19 June, 1998. — P. 144.

7. Клевцов С.И., Линьков В.С., Веретельников Ю.А., Кузьминов В.Г. Погрешности вычисления давления в интеллектуальном датчике при матрично-полиномиальной аппроксимации его градуировочной характеристики // Известия ТРТУ. — 2004. — № 2 (37). — С. 30-48.

8. Бобровников Н.Р., Яркин С.В., Гридин Ю.Н., Стрыгин В.Д., Чертов Е.Д. Математическое обеспечение микропроцессорных преобразователей аналоговых пневматических сигналов // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. — 2002. — № 2. — С. 36-39.

9. Мухатаев Н.А. Алгоритм линеаризации и температурной компенсации характеристик преобразователей // Материалы третьей научно-практической конференции «Перспективные системы и задачи управления». — Т. 2. — Таганрог, ТТИ ЮФУ. — 2008. — С. 74-76.

10. Клевцов С.И. Модели и методы построения прецизионных градуировочных характеристик интеллектуальных датчиков давления // Известия ТРТУ. — 2007. — № 3 (75). — С. 110-118.

11. Гутников В.С. Тенденции развития электронных измерительных преобразователей для датчиков // Приборы и системы управления. — 1990. — № 10. — С. 32-35.

12. Gorbunov S. F., Tsypin B.V. Linearization of calibration characteristics of capacitance pressure sensors // Measurement Techniques. — 2011. — Vol. 53, No. 10. — P.1113-1117.

13. Bluemm C. Weiss R. Weigel R. Brenk D. Correcting nonlinearity and temperature influence of sensors through B-spline modeling // Industrial Electronics (ISIE). 2010. IEEE International Symposium. 4-7 July 2010. — P. 3356-3361.

14. Patra J.C. Chakraborty G. Meher P.K. Neural-Network-Based Robust Linearization and Compensation Technique for Sensors Under Nonlinear Environmental Influences // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers. — 2008. — Vol. 55, Issue 5. — P.1316-1327.

15. Bartkovjak J., Karovicova M. Approximation by Rational Functions // Measurement Science Review. — 2001. — Vol. 1, No. 1. — P. 63-65.

16. Hillea P., Hohlera R., Stracka H. A Linearisation and Compensation Method for Integrated Sensors // Sensors and Actuators A: Physical. — 1994. — Vol. 44, Issue 2. — P. 95-102

17. Попов А.Е., Лазуков А.В. Использование двухпараметрических математических моделей для аппроксимации функций преобразования давления // Вестник ЮУрГУ. Серия Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. — 2008. — Вып. 7, № 3. — С. 38-40.

18. Шапонич Д., Жигич А. Коррекция пьезорезистивного датчика давления с использованием микроконтроллера // Приборы и техника эксперимента. — 2001. — № 1. — С. 54-60.

19. Клевцов С.И., Удод Е.В. Пространственная плоскостная модель градуировочной характеристики интеллектуального датчика давления // Известия ЮФУ. Технические науки.

— 2005. — Т. 45, № 1. — С. 99-107.

20. Клевцов CM. Мультисегментная пространственная аппроксимация градуировочной характеристики микропроцессорного датчика // Метрология. — 2011. — № 7. — С. 26-36.

21. Клевцов С.И. Формирование мультисегментной модели градуировочной характеристики интеллектуального датчика // Известия ЮФУ. Технические науки. — 2008. — № 11 (88).

— С. 8-11.

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор П.Г. Михайлов.

Клевцов Сергей Иванович — Южный федеральный университет; e-mail: [email protected]; 347900, г. Таганрог, ул. Петровская, 81; тел.: 88634328025; к.т.н.; доцент.

Удод Евгений Васильевич — e-mail: [email protected]; к.т.н.; доцент.

Klevtsov Sergey Ivanovich — Southern Federal University; e-mail: [email protected]; 81, Petrovsky, Taganrog, 347900, Russia; phone: +78634328025; cand. of eng. sc; associate professor.

Udod Eugene Vasilyevich — e-mail: [email protected]; cand. of eng. sc; associate professor.

УДК 519.6:004.383

М.И. Ледовской, Е.С. Синютин

АЛГОРИТМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПОРОЖДАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрена задача создания энергоэффективного алгоритма для вычисления элементарных функций в беспроводных сенсорных системах, где энергопотребление обеспечивается за счет накопления энергии из окружающей среды. В основу алгоритма положен таблично-алгоритмический метод вычисления функций и способ определения поправки путем интегрирования порождающих уравнений, описывающих поведение функции между ближайшим табличным и заданным значением аргумента. Предложена оригинальная реализация способа интегрирования порождающих уравнений. Процесс интегрирования развертывается по двоичным разрядам аргумента, а также используется переменный шаг, равный весу текущего разряда аргумента. На примере функций sin(x), cos(x) исследована возможность использования подходящих методов интегрирования: методов Эйлера 1-го и 2-го порядка, метода Рун-ге-Кутта 4-го порядка, из которых выбран метод Эйлера 2-го порядка. Получена зависимость методической погрешности алгоритма от порядка метода интегрирования и номера разряда аргумента. Определен шаг таблицы значений функций для рассмотренных методов интегрирования. Приведено сравнение предлагаемого алгоритма с методом линейной интерполяции и алгоритмом CORDIC. По сравнению с алгоритмом CORDIC число выполняемых циклов в среднем уменьшается в два раза. По сравнению с методом линейной интерполяции в несколько раз уменьшается количество табличных значений функций. Например, для функции cos(x) количество табличных значений уменьшается в 16раз. При этом набор операций алгоритма ограничивается простыми операциями сложения (вычитания) и сдвига. Приведены результаты экспериментального анализа методической, инструментальной и полной погрешности алгоритма в системе MATLAB. В условиях ограниченной разрядности микроконтроллера и вычислений с фиксированной точкой погрешность алгоритма принимает допустимые значения, соизмеримые с погрешностью округления данных. Результаты настоящей статьи могут найти применение при разработке алгоритмического и программного обеспечения для беспроводных сенсорных модулей на базе микроконтроллеров, а также других видов встраиваемых систем с низким энергопотреблением.

Встраиваемые системы; вычисление функций; таблично-алгоритмический метод; алгоритм CORDIC; алгоритм численного интегрирования.

M.I. Ledovskoy, E.S. Sinyutin

ALGORITHM OF INTEGRATION OF THE GENERATING EQUATIONS FOR THE CALCULATION OF ELEMENTARY FUNCTIONS

In the present paper the task of creation of algorithm with low consumption of energy for a calculation of elementary functions in wireless touch systems where energy consumption is ensured at the expense of accumulation of energy from environment is considered. In an algorithm basis the tabular-algorithmic method of functions evaluation and a mode of definition of the correction is supposed by a path of integration of the generating equations describing behavior of

Изменения и оценка погрешностей измерений

ИЗМЕРЕНИЯ И ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ

ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.

1. ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ.

1.1 ЧТО ЗНАЧИТ – ИЗМЕРИТЬ ВЕЛИЧИНУ?

От других наук физика отличается тем, что при изучении свойств материи и её изменений вводятся физические величины, которые можно измерять и выражать числами. Для обозначения при письме каждой физической величины используется символ – буква алфавита. Благодаря этому ход явлений и связи явлений выражаются математическими соотношениями (формулами) между введенными величинами. Самые важные соотношения между величинами называются законами природы.

ИЗМЕРИТЬ ФИЗИЧЕСКУЮ ВЕЛИЧИНУ – это значит с использованием технических средств (средств измерения) найти опытным путем значение физической величины, а также степень её приближения к истинному значению, которое в принципе неизвестно.

Для измерения физической величины необходимо ввести единицу величины и определить способ, при помощи которого можно сравнивать численные значения данной физической величины у разных тел или в различных процессах.

1.2. ЕДИНИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.

Общепринятой в настоящее время является Международная система единиц (СИ). Она строится на семи основных единицах:

— единица длины – метр.

— единица массы – килограмм.

— единица времени – секунда.

— единица силы электрического тока – Ампер.

— единица температуры – Кельвин.

— единица силы света – кандела.

— единица количества вещества – моль.

Для обеспечения единства физических измерений созданы международные эталоны каждой из основных единиц СИ.

ЗНАЧЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ – это произведение отвлеченного числа на принятую для данной физической величины единицу измерения.

ПРИМЕР. Масса тела 5 кг.

Физический смысл данного выражения можно раскрыть двояко.

а) Это означает следующее:

— «5 кг» – это значение массы тела.

— «5» – отвлеченное число, показывающее, во сколько раз масса данного тела больше массы эталона, у которого масса тела 1 кг

б) Иначе:

— «5» — числовое значение физической величины.

— «кг» — единица массы.

2. ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.

2.1. ТОЧНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.

Истинное значение измеряемой величины определить невозможно прежде всего потому, что ограничено воспроизведение эталона единицы физической величины, т.е. сам эталон не абсолютен. Например, точность изготовления эталона массы составляет 2 · 10 – 9 кг. Скорость света, являющаяся основой для создания эталонов метра и секунды, также измерена с некоторой погрешностью. По последним данным, истинное значение скорости находится с точностью: С = (299 792 458 ± 1, 2) м /с.

Истинное значение измеряемой величины неизвестно и не может быть найдено в конкретном сколь угодно точном эксперименте.

Нельзя определить и абсолютную погрешность измерения в виде алгебраической разности:

∆ абсолют. Х = Х изм. – Х где Х – истинное значение,

Х изм. – результат измерения.

Физическая величина измеряется в единицах физической величины, записывается с наименованием.

2.2. ГРАНИЦА АБСОЛЮТНОЙ И ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ.

В каждом измерении, в принципе, возможно определить так называемую границу абсолютной погрешности. Если при выполнении опыта его результат получен Х изм., то можно представить его графически в виде интервала (рис.1).

Рис. 1

Соответствующая запись такова:

Х изм — ∆ Х < Х изм < Х изм — ∆ Х

Х = Х изм ± ∆ Х

Граница абсолютной погрешности – это половина 

длины интервала 2 ∆Х, достоверно содержащего

истинное значение измеряемой величины.

Граница абсолютной погрешности всегда положительное число.

Граница абсолютной погрешности не в полной мере характеризует измерение.

ПРИМЕР. Измерили размеры крышки стола, получили:

— длина крышки (100 ± 1) см

— толщина крышки (2 ± 1) см

Граница абсолютной погрешности измерения в этих двух случаях одинакова (1 см), но интуитивно угадываем, что в первом случае качество измерения выше.

Качество измерения характеризуется понятием границы относительной погрешности.

Границей относительной погрешности называется отношение границы абсолютной погрешности к значению измеряемой величины. Выражается числом без наименования или в процентах:

                                                ∆ Х                      ∆Х

ξ = ——- или ξ = ——- · 100 %

                                              Х изм               Х изм

2.3. ВИДЫ ИЗМЕРЕНИЙ.

Способ определения значения измеряемой физической величины и граница абсолютной погрешности зависят от вида измерений. Измерения могут быть прямыми, косвенными и совместными.

Измерения, в которых результат находится непосредственно в процессе считывания со шкалы прибора, называются прямыми.

Измерения, в которых результат определяется на основе расчетов, называют косвенными.

Измерения двух или нескольких неодноимённых величин, производимые одновременно с целью нахождения функциональной зависимости между ними, называют совместными.

2.4. МЕРЫ.

Кроме измерительных приборов, используют так называемые меры.

Мера – это тело или устройство, служащее для воспроизведения одного или нескольких известных значений данной величины.

Меры бывают однозначные и многозначные.

К однозначным мерам относятся гири и наборы гирь, наборы грузов по механике, наборы сопротивлений наборы конденсаторов.

К многозначным мерам относятся линейки, измерительные цилиндры, мензурки, амперметры, вольтметры.

Номинальное значение меры – значение данной физической величины, обозначенное на мере или её футляре (от латинского «nominalis» – именной). Например, на каждой гире обозначено её номинальное значение в килограммах, граммах или миллиграммах.

3. ТРЕБОВАНИЯ К ЗАПИСЯМ ПРИ ОБРАБОТКЕ ИЗМЕРЕНИЙ.

Процесс измерения сопровождается вычислениями. Правильная организация вычислений связана с учетом абсолютных и относительных погрешностей. Принципиальная особенность вычислений состоит в том, что приходится работать с приближенными числами.

3.1. ВЕРНАЯ ЦИФРА.

В физике пользуются понятием «верная цифра» в узком смысле: цифра п-го разряда называется верной, если абсолютная погрешность не превосходит половины единицы этого разряда.

ПРИМЕР. Если по таблице плотностей для газа азота плотность равна 1,25 кг/м 3, то цифра 5 в разряде сотых верная. Следовательно, граница погрешности числа 1,25 равна 0,005 кг/м 3. Также построена подпрограмма по округлению чисел микрокалькулятора.

3.2. ЗНАЧАЩАЯ ЦИФРА.

Значащими цифрами называются все верные цифры в записи числа, кроме нулей, стоящих перед первой, отличной от нуля, цифрой.

ПРИМЕР. В числе 0, 00060 = 6,0 · 10 – 4     две значащие цифры.

Число значащих цифр и десятичных знаков связано с относительными и абсолютными погрешностями. Число десятичных знаков определяет абсолютную погрешность приближенного числа. Количество значащих цифр определяет относительную погрешность числа.

ПРИМЕР. Число Х = 25,6 записано верными цифрами. Это значит, что

Х = 25,60 ± 0,05.

                                                                         0,05

Следовательно, относительная погрешность ξ х = ———-

                                                                         25,60

Относительная погрешность не зависит от положения запятой.

3.3. ЗАПИСЬ РЕЗУЛЬТАТА ВЫЧИСЛЕНИЯ.

Результат измерений и расчетов не должен записываться с бόльшим числом десятичных знаков, чем их имеется в абсолютной погрешности.

ПРИМЕР. При вычислении скорости тела, брошенного под углом к горизонту, получили с помощью микрокалькулятора результат 0,560325035 м/с. Это означает, что скорость измерена с погрешностью 0,0000000005 м/с = 5 · 10 – 10 м/с и это абсурдно, т.к. реальная погрешность значительно выше. Чтобы не делать таких ошибок, при округлении числа цифры в разрядах за верными цифрами отбрасываются, т.к. они не являются верными.

В приведенном примере результат нужно записать (0,56 ± 0,**) м/с.

3.4. ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ ГРАНИЦЫ АБСОЛЮТНОЙ ПОГРЕШНОСТИ.

Чаще всего погрешность записывается с одной значащей цифрой. Первая слева цифра погрешности определяет сомнительную цифру результата. Вторая цифра погрешности обычно не вносит существенных изменений в результат.

При записи приближенного значения достаточно одной значащей цифры в погрешности, т.к. число записывается не более чем с одной сомнительной цифрой.

ПРИМЕР № 1. Было получено число (27,47 ± 0,18) м. Округляем погрешность до одной значащей цифры (∆ = 0,2 м), округляем приближенное значение до десятых и записываем результат следующим образом: (27,5 ± 0,2) м.

ПРИМЕР № 2. Вместо записи (5391 ± 28) м при округлении погрешности до одной значащей цифры с избытком получим (5391 ± 30) м. Это означает, что цифра десятков в числе 5391 сомнительна, а цифра единиц неверна. Правильная запись результата такова (5390 ± 30) м.

ПРИМЕР № 3. При записи (5398 ± 30) м верной будет запись (5400 ± 30) м.

ПРИМЕР №4. Можно отступить от основного правила округления погрешности с избытком до одной значащей цифры, если вторая цифра 5, её можно оставить и записать результат (73,48 ± 0.25) м.

Особое внимание следует обращать на использование нуля в качестве значащей цифры.

ПРИМЕР № 1. Запись (2,4 ± 0,08) м нарушает правило об одинаковом числе знаков в числе и его погрешности. Правильная запись такова (2,40 ± 0,08) м.

ПРИМЕР № 2. При измерении длины отрезка получен результат (72 ± 0,5) см. Если результат записать так 720 мм, то в числе 720 нуль значащий, а абсолютная погрешность равна 0,5 мм, тогда как в действительности погрешность измерения длины отрезка равна 0,5 см, т.е. в 10 раз больше. Таким образом, нуль в числе 720 не является значащим. Именно поэтому необходимо пользоваться стандартной формой записи числа с наименованием в системе СИ: 7,2 · 10 – 1 м.

При сложении приближенных значений границы абсолютных погрешностей складываются арифметически.

ПРИМЕР. По формуле Ф = а + в + с + … запишем: ∆Ф = ∆а + ∆в + ∆с + …

При арифметическом сложении погрешностей можно пренебречь малыми слагаемыми, которые не превышают (1/3 ÷ 1/4) от максимальных. Это правило называют правилом ничтожных погрешностей и его учет значительно упрощает вычислительную работу при оценке погрешностей.

: определение, формула, примеры

Определения статистики> Относительная ошибка

Содержание :

Относительная погрешность как показатель точности

Относительная погрешность (RE) — при использовании в качестве меры точности — это отношение абсолютной погрешности измерения к выполняемому измерению. Другими словами, этот тип ошибки связан с размером измеряемого объекта. RE выражается в процентах и ​​не имеет единиц измерения.

В качестве формулы это:

• Длина коврика составляет 3,215 метра. RE = 0,001 м / 3,215 м = 0,0003%.
• Ширина ковра измеряется в 4.075 метров. RE = 0,001 м / 4,075 м = 0,0002%.

Хотя абсолютная погрешность 0,001 м одинакова для каждого из них, относительная погрешность для ширины меньше.

Различных единиц

Относительная ошибка очень полезна, когда вы хотите иметь возможность сравнивать вещи, которые измеряются в разных единицах. Например, вы измеряете рост и вес собаки. Рост собаки составил 84 см с абсолютной погрешностью & pm; 3 см. Вес собаки 35 фунтов с абсолютной погрешностью & pm; 1 фунт.Что точнее?

Ответ можно найти, вычислив относительные ошибки для обоих:

• RE _высота = 3 см / 84 см = 0,04%
• RE _Вес = 1 фунт / 35 фунтов = 0,03%

Более точное измерение веса.

Относительная погрешность как мера точности

В девяти случаях из десяти RE является мерой точности, как в приведенных выше примерах. Однако этот же термин может (сбивающе с толку) также использоваться для описания точности; В частности, насколько точное измерение сравнивается с истинным значением.Вы можете найти RE _{с точностью} только в том случае, если знаете фактическое «истинное» измерение — это трудно сделать, если вы не измеряете по атомным часам. Формула:

Если вы не знаете «истинного» измерения, вы можете использовать первое определение — точность — в качестве замены.

Список литературы

Агрести А. (1990) Анализ категориальных данных. Джон Вили и сыновья, Нью-Йорк.
Гоник, Л. (1993). Мультяшный справочник по статистике. HarperPerennial.
Vogt, W.P. (2005). Словарь статистики и методологии: нетехническое руководство для социальных наук. МУДРЕЦ.
Wheelan, C. (2014). Голая статистика.W. W. Norton & Company

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .

АНАЛИЗ ОШИБОК:

АНАЛИЗ ОШИБОК:

1) Как ошибки складываются :

Независимые и коррелированные ошибки влияют на результирующую ошибку в расчете по-разному.Для Например, вы измерили одну сторону металлического квадрата и обнаружили, что быть 1,001 дюйм. Кроме того, вы обнаружите, что погрешность этого измерения составляет 0,001 дюйма. Чтобы найти площадь, умножаем ширину (W) и длину (L). Площадь тогда

Д x Ш = (1,001 дюйм) x (1,001 дюйм) = 1,002001 дюйм ² который округляется до 1,002 в ² . Это дает ошибку 0,002, если нам дано, что квадрат был точно сверхточная сторона 1 дюйм.

Это пример коррелированной ошибки (или не независимая ошибка), поскольку ошибки в L и W одинаковы. Ошибка в L коррелирует с ошибкой в W. Теперь предположим, что мы сделали самостоятельное определение ширины и длины отдельно с погрешностью 0,001 в каждом. В этом случае, когда два выполняются независимые измерения погрешности независимых или некоррелированный . Поэтому погрешность результата (площади) вычисляется иначе следующим образом (правило 1 ниже).Сначала найдите относительную погрешность (погрешность / количество) в каждом из количества, которые входят в расчет, относительная погрешность в ширине составляет 0,001 / 1,001 = 0,00099900. Результирующий относительная погрешность

Относительная ошибка в области =

Следовательно, абсолютная ошибка (относительная ошибка) x (количество) = 0,0014128 x 1,002001 = 0,001415627. который округляется до 0,001.

Следовательно, площадь равна 1,002 в ² 0.001in. ² .

Это показывает, что случайные относительные ошибки не просто добавляют арифметически, скорее, они объединяются правилом среднеквадратичной суммы (пифагорейское теорема). Подведем итоги некоторых правила, которые применяются к объединению ошибок при сложении (или вычитании), умножении (или разделение) различных количеств. Этот Тема также известна как распространение ошибок.

2. Распространение ошибки для особых случаев:

Пусть σ _x обозначает ошибку в величине x.Далее предположим, что две величины x и y и их ошибки σ _x и _{σ y равны измеряется независимо. В таком случае относительные и процентные ошибки определены как}

Относительная ошибка = σ _x / x, ошибка в процентах = 100 (σ _x / x)

0. Умножение или деление на постоянную .

Результирующая абсолютная ошибка также умножается или делится.

1. Умножение или деление, относительная ошибка .

2. Дополнение или вычитание : в этом случае абсолютные ошибки подчиняются пифагорову теорема. Если a и b постоянные,

Если имеется более двух измеренных величин, вы можете расширить выражения, указанные выше, добавив больше терминов под квадратным корнем знак.

3. Квадрат или куб измерения:

Относительная погрешность может быть рассчитано от

, где а — постоянная.

Пример 1:

Определите погрешность площади прямоугольника, если длина l = 1,5 0,1 см и ширина 0,420,03 см. Используя правило умножения,

Пример 2:

Площадь круга пропорциональна квадрату радиус.Если радиус определяется как r = 10,0 0,3 см, какова погрешность в районе?

ТРЕБУЕТСЯ КОРРЕКЦИЯ (см. Примечания к лекциям) !!

Следовательно,

Погрешности измерений — Chemistry LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

1. Введение
2. Систематические vs.Случайная ошибка

Все измерения имеют некоторую неопределенность независимо от точности и точности. Это вызвано двумя факторами: ограничениями измерительного прибора (систематическая ошибка) и навыками экспериментатора, проводящего измерения (случайная ошибка).

Введение

Градуированная бюретка на Рисунке 1 содержит определенное количество воды (с желтым красителем), которое необходимо измерить. Количество воды составляет от 19 до 20 мл согласно отмеченным линиям.Проверив, где находится дно мениска, по десяти меньшим линиям, количество воды составляет от 19,8 мл до 20 мл. Следующим шагом является оценка погрешности между 19,8 и 20 мл. Делая примерное предположение, уровень меньше 20 мл, но больше 19,8 мл. Затем мы сообщаем, что измеренное количество составляет примерно 19,9 мл. Градуированный цилиндр сам по себе может быть искажен так, что градуированные отметки будут содержать неточности, и показания будут немного отличаться от фактического объема имеющейся жидкости.

Рис. 1 : Мениск в бюретке с цветной водой. «20,00 мл» — правильное измерение глубины. Щелкните здесь, чтобы получить более полное описание использования бюретки, включая правильное чтение. Рисунок использован с разрешения Википедии.

Систематическая и случайная ошибка

На приведенной ниже диаграмме показано различие между систематическими и случайными ошибками.

Рисунок 2: Систематические и случайные ошибки.Рисунок использован с разрешения Дэвида ДиБиасе (штат Пенсильвания, США).

Систематические ошибки: Когда мы используем инструменты, предназначенные для измерения, мы предполагаем, что они правильные и точные, однако измерительные инструменты не всегда подходят. Фактически, у них есть естественные ошибки, которые называются систематическими ошибками . Систематические ошибки имеют тенденцию быть последовательными по величине и / или направлению. Если величина и направление ошибки известны, точность может быть улучшена с помощью аддитивных или пропорциональных поправок. Аддитивная коррекция включает добавление или вычитание постоянного поправочного коэффициента для каждого измерения; Пропорциональная коррекция включает в себя умножение измерения (-ий) на константу.

Случайная ошибка с: Иногда называемая человеческой ошибкой, случайная ошибка определяется навыками или способностью экспериментатора проводить эксперимент и считывать научные измерения. Эти ошибки случайны, поскольку полученные результаты могут быть слишком высокими или низкими. Часто случайная ошибка определяет точность эксперимента или ограничивает точность.Например, если бы мы измеряли время оборота стабильно вращающегося поворотного устройства, случайная ошибка была бы временем реакции. Время нашей реакции может меняться из-за задержки в запуске (недооценка фактического результата) или задержки в остановке (завышение фактического результата). В отличие от систематических ошибок случайные ошибки различаются по величине и направлению. Однако можно вычислить среднее значение набора измеренных положений, и это среднее значение, вероятно, будет более точным, чем большинство измерений.

5. Так как Том должен полагаться на прибор для измерения оптической плотности, а он обеспечивает постоянно разные измерения, это пример систематической ошибки.
6. Большая часть отклонений Клэр во времени, вероятно, может быть отнесена к случайным ошибкам, таким как усталость после нескольких кругов, непостоянство в форме плавания, небольшое отклонение от времени при запуске и остановке секундомера или бесчисленное множество других мелких факторов, которые изменяют время круга. В гораздо меньшей степени сам секундомер может иметь ошибки отсчета времени, приводящие к систематической ошибке.
7. Процентная погрешность исследователя составляет около 0,62%.
8. Это известно как ошибка множителя или коэффициента масштабирования.
9. Это называется ошибкой установки смещения или нуля.
10. Ошибка Сьюзен в процентах составляет -7,62%. Эта процентная погрешность отрицательна, потому что измеренное значение на ниже принятого значения на . В задаче 7 процент ошибки был положительным, потому что он был на выше, чем на , чем принятое значение.
11. Сначала необходимо взвесить сам стакан.После определения веса вы добавляете графит в стакан и взвешиваете его. Получив этот вес, вы вычитаете вес графита плюс стакан минус вес стакана.

Абсолютная и относительная ошибка: определение и формула — практический класс [видео 2021 года]

Считается, что инструменты измерения в определенной степени точны. Предположим, что измерительная лента, которую Дэн использовал для измерения своей новой половицы, была с точностью до 1 дюйма.Это означает, что существует 1-дюймовый диапазон или «окно» вокруг измерения, в котором действительно может быть найдено истинное значение. Судя по измеренному значению, это полдюйма с каждой стороны. Дэн измерил новую половицу на 36 дюймов в длину, но истинная длина могла быть от 35,5 до 36,5 дюймов. В этом случае половица была на самом деле на более длинном конце. Мы говорим, что размер 36 ± 0,5 дюйма.

Абсолютная ошибка

Есть два типа ошибок, на которые влияет точность измерительных инструментов.Абсолютная ошибка определяется как абсолютное значение (или величина) разницы между измеренным значением и истинным значением. Таким образом, пусть:

• e a = абсолютная ошибка
• x м = измеренное значение
• x t = истинное значение

Формула для вычисления абсолютной ошибки:

e a = | x м — x t |

Есть только одна загвоздка — мы обычно не знаем, каково истинное значение.В этом случае нам просто нужно подумать о точности измерительного инструмента. В качестве примера возьмем сантиметровую ленту Дэна. Он имеет точность до 1 дюйма, что означает, что истинное значение любого измерения может быть на полдюйма меньше или на полдюйма больше фактического измерения. Максимально возможная разница между измеренным значением и его истинным значением составляет полдюйма. Следовательно, абсолютная погрешность составляет 0,5 дюйма.

Относительная ошибка

Есть другой тип ошибки, на которую влияет точность измерительных инструментов.Относительная ошибка определяется как абсолютная ошибка относительно размера измерения. Все, что вам нужно сделать, это разделить абсолютную ошибку на измеренное значение. В дополнение к переменным let:

Тогда формула для вычисления относительной ошибки:

В ситуации Дэна абсолютная ошибка составляет 0,5 дюйма, и он измерил половицу на длине 36 дюймов, поэтому относительная погрешность составляет:

e r = 0,5 дюйма / 36 дюймов = 0,014 (округлено до ближайшей тысячной)

В относительной ошибке нет единиц измерения, поскольку они сокращаются во время вычисления.Относительная ошибка — это пропорция, поэтому мы также можем выразить ее в процентах, умножив относительную ошибку на 100%, например:

e r = 0,014 * 100% = 1,4%

Мы можем сказать, что абсолютная погрешность составляет 1,4% от измеренного значения.

Сравнение относительных ошибок

Относительная ошибка зависит как от абсолютной ошибки, так и от измеренного значения. Давайте посмотрим, что происходит, когда вы измеряете два объекта разных размеров одним и тем же измерительным инструментом.Скажем, Дэн использовал ту же рулетку, чтобы измерить ширину половицы на 6 дюймов. Абсолютная погрешность все еще составляет 0,5 дюйма. Что такое относительная ошибка? Это:

e r = 0,5 дюйма / 6 дюймов = 0,083 (округлено до тысячных долей)

Его также можно выразить в процентах следующим образом:

e r = 0,083 * 100% = 8,3%

Относительная погрешность больше, когда измеряемый размер мал.Это имеет смысл, потому что абсолютная погрешность в полдюйма имеет большое значение, когда вы измеряете что-то длиной всего 6 дюймов по сравнению с длиной 36 дюймов.

Что происходит с относительной погрешностью, когда вы выполняете одно и то же измерение с помощью двух разных измерительных инструментов? Давайте сравним измерительную ленту Дэна с точностью до 1 дюйма с линейкой с точностью до 0,5 дюйма (что означает, что абсолютная погрешность составляет 0,25 дюйма). В качестве примера мы будем использовать ширину паркетной доски. И измерительная лента, и линейка говорят, что длина половицы составляет 6 дюймов.Рассчитаем относительные погрешности:

• Измерительная лента : e r = 0,5 дюйма / 6 дюймов = 0,083 * 100% = 8,3%
• Линейка : e r = 0,25 дюйма / 6 дюймов = 0,042 * 100% = 4,2%

Относительная погрешность при использовании линейки меньше относительной погрешности при использовании измерительной ленты, поскольку абсолютная погрешность линейки меньше абсолютной погрешности измерительной ленты.

Итоги урока

Давайте рассмотрим. Абсолютная погрешность определяется как абсолютное значение разницы между измеренным значением и истинным значением измерения и обычно дается как максимально возможная погрешность с учетом степени точности измерительного инструмента. Абсолютная погрешность имеет те же единицы, что и измерения. Относительная ошибка определяется как абсолютная ошибка относительно размера измерения и зависит как от абсолютной ошибки, так и от измеренного значения. Относительная погрешность велика, когда измеренное значение мало или когда велика абсолютная погрешность.Относительная погрешность не имеет единиц.

F. Неопределенность в процентах :: Физика

Неопределенность измеренного значения также может быть представлена ​​в процентах или в виде простого отношения (относительная неопределенность). Процент неопределенности знаком. Вычисляется как:

Неопределенность в процентах можно интерпретировать как описание неопределенности, которая возникла бы, если бы измеренное значение было 100 единиц. Аналогичная величина — относительная неопределенность (или дробная неопределенность).Его проще вычислить, и его вычисляют по формуле:

Относительную неопределенность можно интерпретировать как описание неопределенности, которая возникла бы, если бы измеренное значение было всего лишь одной единицей. С этими двумя новыми представлениями о неопределенности мы должны быть осторожны в устной и письменной речи, чтобы наша аудитория понимала, какое из них используется. В следующем списке описывается допустимое использование.

• Абсолютная неопределенность: это простая неопределенность самого значения, как мы обсуждали ее до сих пор.Этот термин используется, когда нам нужно отличить эту неопределенность от относительной или процентной неопределенности. Если нет шанса на путаницу, мы все равно можем просто сказать «неопределенность», имея в виду абсолютную неопределенность. Абсолютная неопределенность имеет те же единицы, что и значение. Таким образом, это: 3,8 см ± 0,1 см.
• Относительная неопределенность: это простое отношение неопределенности к заявленному значению. Относительная погрешность как отношение одинаковых величин не имеет единиц измерения. На самом деле не существует специального символа или обозначения для относительной неопределенности, поэтому вы должны четко дать понять, когда вы сообщаете об относительной неопределенности.2,95 кг ± 0,043 (относительная погрешность)
• Процент погрешности: это просто относительная погрешность, умноженная на 100. Поскольку процентная погрешность также является отношением аналогичных величин, она также не имеет единиц измерения. К счастью, для процентной погрешности (%) существует специальное обозначение, поэтому ее легко распознать в письменном виде. 2,95 кг ± 4,3%
  Обратите внимание, что относительные погрешности и погрешности в процентах можно указывать в виде двух цифр. Это сделано для предотвращения ошибок округления при обратном преобразовании в абсолютную неопределенность.

Погрешность в процентах имеет большое значение при сравнении относительной точности различных измерений. Например, если мы ограничимся точностью до 0,1 процента, мы узнаем, что длина метровой палки — 1 мм, длина моста — 1 метр, длина моста — 1 метр, а расстояние до Солнца (93 миллиона миль) — не лучше 93 000 миль. . Таким образом, давая результат измерения, нужно иметь достаточно цифр, чтобы показать точность измерения, не больше и не меньше, и, кроме того, следует указывать A.D. или процентная погрешность. Для трех приведенных выше примеров следует написать:

1,000 ± 0,001 метра (или 1,000 метров ± 0,1%)
1000 ± 1 метр (или 1000 метров ± 0,1%)
(93,00 ± 0,09) x 10 ⁶ миль (или 93,00 x 10 ⁶ миль ± 0,1%)

Последнее обновление 19 ноября 2014 г.

Систематическая ошибка — обзор

Нарушение измеряемой системы в результате измерения является распространенным источником систематической ошибки.Если бы мы начали со стакана с горячей водой и хотели бы измерить ее температуру с помощью ртутного стеклянного термометра, тогда мы бы взяли термометр, который изначально должен был иметь комнатную температуру, и погрузили его в воду. Поступая таким образом, мы вводим относительно холодную массу (термометр) в горячую воду, и между водой и термометром происходит теплопередача. Эта теплопередача снизит температуру воды. Хотя снижение температуры в этом случае будет настолько незначительным, что его нельзя будет обнаружить из-за ограниченной разрешающей способности измерения такого термометра, эффект конечен и четко устанавливает принцип, согласно которому почти во всех ситуациях измерения процесс измерения нарушает работу системы. и изменяет значения измеряемых физических величин.

Особенно важным примером этого является диафрагма. Его помещают в трубу, по которой проходит жидкость, для измерения скорости потока, которая является функцией давления, измеряемого по обе стороны от диафрагмы. Эта процедура измерения вызывает постоянную потерю давления в текущей жидкости. Нарушение измеряемой системы часто может быть очень значительным.

Таким образом, как правило, процесс измерения всегда мешает измеряемой системе. Величина помехи варьируется от одной измерительной системы к другой и зависит, в частности, от типа инструмента, используемого для измерения.Способы минимизации помех в измеряемых системах являются важным аспектом при проектировании приборов. Однако для этого необходимо точное понимание механизмов нарушения работы системы.

Измерения в электрических цепях

При анализе нарушений в системе во время измерений в электрических цепях теорема Тевенина (см. Приложение 2) часто оказывается очень полезной. Например, рассмотрим схему, показанную на рис. 3.1a, в которой напряжение на резисторе R ₅ должно быть измерено вольтметром с сопротивлением R _m .Здесь R _m действует как шунтирующее сопротивление на R ₅ , уменьшая сопротивление между точками AB и тем самым нарушая цепь. Следовательно, напряжение E _m , измеренное измерителем, не является значением напряжения E _o , которое существовало до измерения. Степень нарушения можно оценить, рассчитав напряжение холостого хода E _o и сравнив его с E _m .

Рисунок 3.1. Анализ нагрузки цепи: (a) Схема, в которой необходимо измерить напряжение на R ₅ ; (б) Эквивалентная схема по теореме Тевенина; (c) Схема, используемая для нахождения эквивалентного одиночного сопротивления R _AB .

Теорема Тевенина позволяет заменить схему рис. 3.1a, состоящую из двух источников напряжения и пяти резисторов, эквивалентной схемой, содержащей одно сопротивление и один источник напряжения, как показано на рис. 3.1b. Для определения эквивалентного одиночного сопротивления цепи по теореме Тевенина все источники напряжения представлены только их внутренним сопротивлением, которое может быть приближено к нулю, как показано на рис. 3.1c. Анализ проводится путем расчета эквивалентных сопротивлений секций цепи и их наращивания до тех пор, пока не будет получено требуемое эквивалентное сопротивление всей цепи. Начиная с C и D , цепь слева от C и D состоит из последовательной пары сопротивлений ( R, , _1, и R, , ₂ ), параллельных R ₃ , а эквивалентное сопротивление можно записать как:

1RCD = 1R1 + R2 + 1R3orRCD = (R1 + R2) R3R1 + R2 + R3

Теперь перейдем к A и B, цепь слева состоит из пара последовательных сопротивлений ( R _CD и R ₄ ) параллельно с R ₅ .Сопротивление эквивалентной цепи R _AB , таким образом, можно записать как:

1RAB = 1RCD + R4 + 1R5orRAB = (R4 + RCD) R5R4 + RCD + R5

Подставляя для R _CD используя полученное ранее выражение, получаем:

(3.1) RAB = [(R1 + R2) R3R1 + R2 + R3 + R4] R5 (R1 + R2) R3R1 + R2 + R3 + R4 + R5

Определение I в качестве тока, протекающего в цепи при подключении к нему измерительного прибора, мы можем записать: I = EoRAB + Rm, а измеренное измерителем напряжение тогда будет выражено как Em = RmEoRAB + Rm.

При отсутствии измерительного прибора и его сопротивления R _m , напряжение на AB будет источником напряжения эквивалентной цепи, значение которого составляет E _o . Таким образом, результат измерения заключается в уменьшении напряжения на AB на соотношение, определяемое следующим образом:

(3.2) EmEo = RmRAB + Rm

Таким образом, очевидно, что по мере увеличения R _m отношение E _м / E _o приближается к единице, показывая, что стратегия проектирования должна заключаться в том, чтобы сделать R _м как можно более высоким, чтобы свести к минимуму нарушение измеряемого система.(Обратите внимание, что мы не вычисляли значение E _o , так как это не требуется при количественной оценке эффекта R _m .)

Пример 3.1

Предположим, что компоненты схемы, представленные на рис. 3.1а, имеют следующие значения: R ₁ = 400 Ом; R ₂ = 600 Ом; R ₃ = 1000 Ом, R ₄ = 500 Ом; R ₅ = 1000 Ом.Напряжение на AB измеряется вольтметром с внутренним сопротивлением 9500 Ом. Какая погрешность измерения вызвана сопротивлением измерительного прибора?

Решение

Продолжая, применяя теорему Тевенина, чтобы найти схему, эквивалентную схеме на рис. 3.1a, в форме, показанной на рис. 3.1b, и подставляя данные значения компонентов в уравнение для R _AB (Ур. 3.1), получаем:

RAB = [(10002/2000) +500] 1000 (10002/2000) + 500 + 1000 = 100022000 = 500 Ом

Из уравнения.(3.2) имеем:

EmEo = RmRAB + Rm

Погрешность измерения определяется как ( E _o — E _m ): Eo − Em = Eo

( 1 − RmRAB + Rm)

Подставляем значения: Eo − Em = Eo

(1−950010000) = 0,95Eo

Таким образом, погрешность измеренного значения составляет 5%.

Здесь интересно отметить ограничения, которые существуют, когда предпринимаются практические попытки достичь высокого внутреннего сопротивления в конструкции вольтметра с подвижной катушкой.Такой инструмент состоит из катушки с указателем, установленной в фиксированном магнитном поле. Когда ток течет через катушку, взаимодействие между генерируемым полем и фиксированным полем заставляет указатель, который он несет, поворачиваться пропорционально приложенному току (см. Главу 10 для получения дополнительной информации). Самый простой способ увеличить входной импеданс (сопротивление) измерителя — это либо увеличить количество витков в катушке, либо построить такое же количество витков катушки из материала с более высоким сопротивлением.Однако любое из этих решений уменьшает ток, протекающий в катушке, давая меньший магнитный момент и, таким образом, уменьшая чувствительность измерения прибора (то есть при заданном приложенном напряжении мы получаем меньшее отклонение стрелки). Эту проблему можно преодолеть, изменив жесткость пружины удерживающих пружин инструмента, так что для поворота стрелки на заданную величину требуется меньший крутящий момент. Однако это снижает жесткость инструмента, а также требует улучшенной конструкции шарнира для уменьшения трения.Это подчеркивает очень важный, но утомительный принцип в конструкции инструментов: любая попытка улучшить характеристики инструмента в одном отношении обычно снижает производительность в другом аспекте. Это неизбежный факт жизни с пассивными приборами, такими как упомянутый тип вольтметра, и часто является причиной использования альтернативных активных приборов, таких как цифровые вольтметры, где включение вспомогательного источника питания значительно улучшает производительность.

Подобные ошибки из-за загрузки системы также возникают, когда амперметр вставлен для измерения тока, протекающего в ответвлении цепи.Например, рассмотрим схему, показанную на рис. 3.2a, в которой ток, протекающий в ветви схемы, обозначенной A-B, измеряется амперметром с сопротивлением R _m . Здесь R _m действует как резистор последовательно с резистором R ₅ в ветви A-B, тем самым увеличивая сопротивление между точками AB и тем самым нарушая цепь. Следовательно, текущее значение I _m , измеренное счетчиком, не является значением текущего I _o , существовавшего до измерения.Степень нарушения может быть оценена путем расчета тока холостого хода I _или и сравнения его с I _m .

Рисунок 3.2. Анализ нагрузки цепи: а) цепь, в которой необходимо измерить ток, протекающий в ветви A-B цепи; (b) Схема, в которой все источники напряжения представлены их приблизительно нулевым сопротивлением; (c) Эквивалентная схема по теореме Тевенина.

Теорема Тевенина снова является полезным инструментом для анализа эффекта вставки амперметра.Чтобы применить теорему Тевенина, источники напряжения представлены просто их внутренним сопротивлением, которое может быть приближено к нулю, как показано на рис. 3.2b. Это позволяет заменить схему на рис. 3.2a, состоящую из двух источников напряжения и пяти резисторов, эквивалентной схемой, содержащей только два сопротивления и один источник напряжения, как показано на рис. 3.2c. Анализ проводится путем расчета эквивалентных сопротивлений секций цепи и их наращивания до тех пор, пока не будет получено требуемое эквивалентное сопротивление всей цепи.Начиная с C и D, цепь слева от C и D состоит из последовательной пары сопротивлений ( R ₁ и R ₂ ), параллельных R ₃ и эквивалентных сопротивление можно записать как:

1RCD = 1R1 + R2 + 1R3orRCD = (R1 + R2) R3R1 + R2 + R3

Ток, протекающий между A и B, можно просто вычислить по закону Ома как: I = ERCB + RCD

Когда амперметр не в цепи, R _CB = R ₄ + R ₅ и I = I ₀ , где I ₀ — нормальный (без нагрузки) текущий ток.

Следовательно,

I0 = ER4 + R5 + [(R1 + R2) R3R1 + R2 + R3] = E [R1 + R2 + R3] [R4 + R5] [R1 + R2 + R3] + [(R1 + R2 ) R3]

С амперметром в цепи, R _CB = R ₄ + R ₅ + R _м и I = I _м , где I _м — измеренный ток.

Следовательно,

Im = ER4 + R5 + Rm + [(R1 + R2) R3R1 + R2 + R3] = E [R1 + R2 + R3] [R4 + R5 + Rm] [R1 + R2 + R3] + [ (R1 + R2) R3]

Погрешность измерения определяется соотношением I _м / I ₀ .

(3.3) ImI0 = [R4 + R5] [R1 + R2 + R3] + [(R1 + R2) R3] [R4 + R5 + Rm] [R1 + R2 + R3] + [(R1 + R2) R3 ]

Пример 3.2

Предположим, что компоненты схемы, показанной на рис. 3.2a, имеют следующие значения: R ₁ = 250 Ом; R ₂ = 750 Ом; R ₃ = 1000 Ом, R ₄ = 500 Ом; R ₅ = 500 Ом. Ток между A и B измеряется амперметром с внутренним сопротивлением 50 Ом.Какая погрешность измерения вызвана сопротивлением измерительного прибора?

Решение

Подставив значения параметров в уравнение. (3.3):

ImI0 = [R4 + R5] [R1 + R2 + R3] + [(R1 + R2) R3] [R4 + R5 + Rm] [R1 + R2 + R3] + [(R1 + R2) R3] = [1000] [2000] + [1000 × 1000] [1050] [1000] + [1000 × 1000] = 30003100 = 0,968

Ошибка 1 — I _м / I ₀ = 1–0,968 = 0,032 или 3,2%.

Таким образом, погрешность измерения тока равна 3.2%.

Мостовые схемы для измерения значений сопротивления — еще один пример необходимости тщательного проектирования измерительной системы. Импеданс прибора, измеряющего выходное напряжение моста, должен быть очень большим по сравнению с сопротивлениями компонентов в мостовой схеме. В противном случае измерительный прибор нагружает цепь и потребляет ток от нее. Более подробно это обсуждается в главе 6.

Анализ ошибок (без исчисления)

Выбор выражения относительного ошибки «как есть» (в виде дробей) или в процентах. Я предпочитаю работать с ними как дроби в расчетах, избегая необходимости постоянно умножаем на 100.Зачем делать ненужную работу?

Но при выражении окончательных результатов часто имеет смысл выразите относительную неопределенность в процентах. Это легко сделать, просто умножьте относительную погрешность на 100. Это 0,2%.

3. Абсолютная или относительная форма; который использовать.

При выборе формы необходимо руководствоваться здравым смыслом и здравым смыслом. использовать для представления ошибки при заявлении результата . Рассмотрим измерение температуры с помощью термометра, который, как известно, надежен для ± 0.5 градусов Цельсия. Имеет ли смысл сказать, что это причины погрешность измерения температуры кипения воды 0,5% (100 градусов) но колоссальная погрешность в 10% при измерении холодной воды при температура 5 градусов? Конечно нет! [А что, если температуры были выражены в градусах Кельвина? Казалось бы снизить процент ошибок до незначительности!] Ошибки и расхождения, выраженные в процентах, не имеют смысла для некоторых типов измерений. Иногда это связано с характером измерительный прибор, иногда характер измеряемого само количество или способ его определения.

Бывают также случаи, когда абсолютные ошибки неуместны и поэтому ошибки должны быть выражены в относительной форме.

Иногда как абсолютная, так и относительная погрешность необходимо для полной характеристики погрешности измерителя. Для Например, если пластиковая измерительная линейка с возрастом равномерно сжимается, эффект может быть выражена в виде определяемой ошибки в процентах. Если половина миллиметра были стерты с нулевого конца палки, и это не было замечено или компенсировано, это лучше всего выразить как абсолютная определенная ошибка.Очевидно, обе ошибки могут присутствовать в конкретной метрической палке. Производитель вольтметра (или другой электросчетчик) обычно дает свои гарантированные пределы ошибка как постоянная определенная ошибка плюс `процент ‘ ошибка.

Как относительная, так и дробная формы ошибки могут появляться в промежуточные алгебраические шаги при выводе уравнений ошибок. [Этот обсуждается в разделе H ниже.] Это просто вычислительный артефакта, и не имеет отношения к вопросу о том, какая форма имеет смысл для сообщения размера и характера ошибки в данные и результаты.

G. ВАЖНОСТЬ ПОВТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Если вы ранее выполняли этот тип измерения, с тем же инструмента, и определили неопределенность этого конкретного измерительный инструмент и процесс, вы можете обратиться к своему опыту оценить неопределенность.В некоторых случаях вы можете знать из прошлого опыт, что измерение — шкала ограничена , что в том, что его неопределенность меньше, чем наименьшее приращение, которое вы можете прочитать на шкале прибора. Такое измерение даст то же значение точно для повторных измерений одной и той же величины. Если вы знаете (из непосредственного опыта), что это масштаб ограничено, затем укажите его неопределенность как наименьшее приращение, которое вы можно читать по шкале.

Студентам этого курса не обязательно становиться экспертами в области штрафов. детали статистической теории. Но они должны быть постоянно в курсе экспериментальных ошибок и сделайте все необходимое, чтобы выяснить насколько они влияют на результаты. Следует позаботиться о том, чтобы свести к минимуму ошибки. Размеры экспериментальных ошибок как в данных, так и в результатах должны определяться, когда это возможно, и количественно оцениваться выражая их как средние отклонения. [В некоторых случаях здравый смысл экспериментальное исследование может предоставить информацию об ошибках без использования сложной математики.]

Студент должен понимать, что полный рассказ об экспериментальном ошибки здесь не приводились, но будут выявлены позже. курсы и более продвинутые лабораторные работы.

H. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ОШИБОК

Мы проиллюстрируем, как распространяются ошибки, сначала обсудив, как найти количество ошибок в результатах по учитывая, как ошибки данных распространяются через простые математические операции. Сначала рассмотрим случай детерминированных ошибок : те которые знали знак. Таким образом мы обнаружим определенные полезные правила для распространения ошибок, тогда мы сможем изменить правила, применяемые к другим мерам погрешности, а также к неопределенным ошибки.

Здесь мы разрабатываем математические правила для «конечные разности», алгебра чисел, имеют относительно небольшие вариации. Конечная различия — это отклонения от «истинных значений», вызванные экспериментальные ошибки.

Этот метод основан на фундаментальном принципе. В любом расчете мы хотим знать, сколько ошибка в одной входной переменной повлияет на результат вывода. В сложных расчетах, таких как в метеорологическом прогнозировании погоды компьютеры позволяют нам делать это непосредственно с каждой из многих входных переменных, что-то никто бы никогда не попытался «вручную».Это метод «грубой силы», но он необходим. В этой лаборатории уравнения будут намного проще и обычно уступают место алгебре и нескольким простым правилам.

(A + a) и (B + b)

Результат сложения A и B для получения R выражается как уравнение: R = A + B. С явно включенными ошибками, это написано:

(А + а) + (В + б) = (А + В) + (а + б)

(R + r) = (A + B) + (a + b)

Мы заключаем, что определенная ошибка в сумме двух величин — это всего лишь сумма ошибок в этих количествах. Вы можете легко потренироваться сам случай, когда результат рассчитывается из разница двух величин. В этом случае определенная ошибка в результатом будет разница в ошибках. Обобщение:

• Правило сумм для детерминированных ошибок. Когда добавляются два количества, их детерминированные ошибки добавляют.
• Правило разницы для определенных ошибок. Когда вычитаются две величины, их определенные ошибки вычитаются.

(R + r) = (A + a) (B + b) = AB + aB + Ab + ab или: r = aB + Ab + ab

r		aB + bA		a		b
	=		=		+
R		AB		A		B

• Правило продукта для определенных ошибок.Когда две величины перемножаются, их относительных детерминированных ошибок доп.

		А +		А		(А + а) В		А (В + б)
			–				–
r		B + b		B		(B + b) B		B (B + b)
	=				=
R		A / B				A / B

	(A + a) B — A (B + b)		(а) Б — А (б)		а		б
=		≈		≈		–
	A (B + B)		AB		A		B

Приближение, сделанное на предпоследнем шаге, заключалось в пренебрежении b в знаменателе, который действителен, если относительные ошибки небольшой.Итак, результат:

Правило частного для определенных ошибок. Когда две величины разделены, относительная определенная ошибка частного — это относительная определенная ошибка числителя минус относительная определенная ошибка знаменателя.

Правило мощности для определенных ошибок. Когда количество Q возводится в степень, P, относительная определенная ошибка в результате P умноженная на относительная определенная ошибка в Q.Это также верно для отрицательных степени, то есть относительная определенная ошибка в квадратном корне из Q составляет половину относительной детерминированной ошибки в Q.

I. РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ОШИБОК

Когда нас интересуют только пределы ошибки (или максимальная погрешность) мы должны предположить «наихудшую» комбинацию знаков. В случае вычитание, A — B, происходит наихудшее отклонение ответа когда ошибки либо + a и -b, либо -a и + b. В любом случае, максимальная ошибка будет (a + b).

В случае отношения A / B наихудшее отклонение ответ возникает, когда ошибки имеют противоположный знак, либо + a, и -b или -a и + b. В любом случае максимальный размер родственника ошибка будет (a / A + b / B).

Результаты операций сложения и умножения таковы: так же, как прежде. Таким образом, максимально неопределенных ошибки распространяются по следующим правилам:

Правило сложения и вычитания для неопределенных ошибок.Абсолютно неопределенный ошибки доп.

Произведение и правило частного для неопределенных ошибок. Относительные неопределенные ошибки Добавлять.

Правило мощности для неопределенных ошибок. Когда количество Q возводится в степень, P, относительная ошибка в результате P умноженная на относительную ошибку в Q. Это также верно для отрицательных степеней, то есть относительной ошибки в квадратный корень из Q составляет половину относительной ошибки в Q.

Можно показать (но не здесь), что эти правила также применяются достаточно хорошо для ошибок, выраженных в виде средних отклонений. В одним из недостатков этого является то, что оценки ошибок, сделанные таким образом, все еще чрезмерно консервативны в том, что они не полностью учитывают склонность терминов ошибок, связанных с независимыми ошибками, к компенсировать друг друга.Однако это будет незначительное исправление небольшое значение в нашей работе в этом курсе.

Правила распространения ошибок могут быть получены для других математических операции по мере необходимости. Например, правила для ошибок в триггере функции могут быть получены с использованием триггерных идентификаторов, используя приближения: sin ß = ß и cos ß = 1, действительно, когда ß мало. Правила для экспонент могут быть выведены также.

Когда математические операции комбинируются, правила могут быть последовательно применяется к каждой операции, и уравнение может быть алгебраически полученный [12], который выражает ошибку в результате с точки зрения ошибок в данных.Такое уравнение всегда можно составить в стандартную форму , в которой каждый источник ошибок появляется в единственный срок. Пусть x представляет ошибку в x, y ошибку в y и т. Д. Тогда ошибка r в любом результате R, вычисленная любой комбинацией даны математические операции над значениями данных X, Y, Z и т. д. по:

r = (c _x ) x + (c _y ) y + (c _z ) z … и т. д.

r / R = {C _x } (x / X + {C _y } (y / Y) + {C _z } (z / Z)… так далее.

Если это уравнение ошибки было получено из определенная ошибка правила, относительные ошибки в приведенных выше могут иметь + или — приметы. Коэффициенты также могут иметь знаки + или -, поэтому члены сами могут иметь знаки + или -. Следовательно, возможно условия, чтобы компенсировать друг друга.

Если это уравнение ошибки было получено из неопределенного значения ошибка правила, содержащиеся в нем меры погрешности по своей сути положительны.Коэффициенты также окажутся положительными, поэтому члены не могут компенсировать друг друга.

Удобно знать, что уравнение неопределенной ошибки может можно получить непосредственно из уравнения детерминированной ошибки, просто выбирая наихудший случай, т. е. принимая абсолютное значение каждый семестр. Это заставляет все термины быть положительными. Этот шаг сделано только после , уравнение с определенными ошибками полностью выведен в стандартном виде.

Уравнение ошибок в стандартной форме — один из самых полезных инструментов. для экспериментального дизайна и анализа. Он должен быть выведен (в алгебраическая форма) еще до начала эксперимента, как руководство к экспериментальная стратегия. Он может показать, какие источники ошибок преобладают, и которые незначительны, тем самым экономя время, которое можно потратить возня с неважными соображениями. Это может подсказать, как влияние источников ошибок может быть минимизировано соответствующим выбором размеров переменных.Он может сказать вам, насколько хорошо инструмент, необходимый для достижения желаемой точности в полученные результаты.

Учащийся, который пренебрегает выводом и использованием этого уравнения, может потратить весь лабораторный период с использованием инструментов, стратегии или ценностей недостаточно для требований эксперимента. И он может закончить вверх без малейшего представления почему результаты не такие хороши, какими должны были быть.

Заключительный комментарий для тех, кто хочет использовать стандартные отклонения в качестве неопределенные меры погрешности: поскольку стандартное отклонение получено из среднего квадратов отклонений , уравнение (7) необходимо изменить — каждый член уравнения (обе стороны) должен в квадрате:

(r / R) = (C _x ) ² (x / X) + (C _y ) ² (y / Y) + (C _z ) ² (z / Z)

J. ПРИМЕРЫ

s = 2 ± 0,005 метра. Это 0,25%.
t = 4,2 ± 0,2 секунды. Это 4,8%.

 

Мы будем использовать заглавные буквы для измеряемых величин, строчные буквы для их ошибок.Решите уравнение для получения результата: a. А = 2С / Т ² . Его уравнение неопределенной ошибки:

 

а т с
- = 2 - + -
А Т С
 
 

Пример 2: Результат рассчитывается по формуле R = (G + H) / Z, значения данных:

G = 20 ± 0,5
H = 16 ± 0,5
Z = 106 ± 1,0

Символ ± указывает на неопределенность этих ошибок. Расчет R требует как сложения, так и деления, и дает значение R = 3.40. Для расчета погрешности требуется как правило сложения и умножения, применяемые последовательно, в том же порядке, что и операции, выполняемые при вычислении самого R.

Правило сложения гласит, что абсолютные ошибки в G и H складываются, поэтому погрешность в числителе 1,0 / 36 = 0,28.

Правило деления требует, чтобы мы использовали относительно (дробные ошибки). Относительная погрешность числителя равна 1,0 / 36 = 0,028.Относительная погрешность знаменателя равна 1,0 / 106 = 0,0094. Относительная погрешность в знаменателе добавляется к числителю, чтобы получить 0,0374, что является относительной погрешностью в р.

Если требуется абсолютная ошибка в R, это (0,0374) R = 0,0136. Результат с ошибкой может быть выражен как:

Пример 3: Напишите уравнение с определенным значением ошибки например 1.

Мы выполняем те же действия, но представляем ошибки символически.Пусть N представляет числитель, N = G + H. Определенная ошибка в N тогда g + h. Относительная погрешность числителя (g + h) / N. Относительная погрешность знаменателя равна z / Z. Относительная ошибка в R тогда:

 


р г + ч з г з
- = ————— - - = ——— + ——— - -
R G + H Z G + H G + H Z


r G g H h z
- = ——— - + ——— - - -
R G + H G G + H H Z

 
 

Пример 4: Выведите уравнение неопределенной ошибки для этого та же формула, R = (G + H) / Z.

Вот где окупается наша предыдущая работа. Посмотрите на уравнение детерминированной ошибки из примера 3 и перепишите его. для наихудшего случая знаков сроков. Это эквивалентно превращению всех терминов в стандарта сформировать уравнение положительное:

 


r G g H h z
- = ——— - + ——— - + -
R G + H G G + H H Z

 
 

Ввод значений:

 


г 20 0,5 16 0,5 1
- = ————— ——— + ———————— +——
Р 20 + 16 20 20 + 16 16 106


г 20 0,5 16 0,5 1
- = —— ——— + —— ——— + ———
36 20 36 16 106 рэнд


р
- = 0,555 (0,025) + 0,5 (0,031) + 0,0094
р


р
- = 0,014 + 0,014 + 0,0094 = 0,0374
р

 
 

Пример 6: Результат R вычисляется по формуле R = (G + H) / Z, с теми же значениями данных, что и в предыдущем примере.После завершения эксперимента обнаруживается, что значение Z было на 0,05 слишком мало из-за систематической ошибки измерительный инструмент. Результат был получен путем усреднения больших объемов данных, и задача пересчета поправки к каждому значению устрашающе. Но это не обязательно Используйте эту информацию, чтобы исправить результат.

Посмотрите на определенное уравнение ошибки :

 


r G g H h z
- = ——— - + ——— - - -
R G + H G G + H H Z

 
 

r / R = — (z / Z) = — (- 0,05 / 106)

Итак: r = (0,05 / 106) (0,338) = 0,0001594

Пример 7: Необходимо получить плотность длинного медного стержня. Его длина измеряется метровой палкой, диаметр — микрометром. штангенциркуль и его масса с электронными весами.

L = 60,0 ± 0.1 см (0,17%)
D = 0,632 ± 0,002 см (0,32%) [Таким образом, ошибка в D  2  составляет 0,64%]
m = 16,2 ± 0,1 г (0,006%)

 

плотность = 8,606 ± 0,07 г / см ³

Справочник дает 8.87 г / см ³ как плотность меди. Экспериментальное расхождение составляет 0,26, что указывает на то, что что-то не так. Студент, взявший эти данные, возможно, ошибся при измерении. Может быть, это была не чистая медь, а медный сплав. Если это ошибка при измерении, измерение диаметра является наиболее эффективным. скорее всего подозреваю.

К. ЦЕЛИ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Эксперименты в лаборатории первокурсников делятся на несколько категорий. В каждом случай ниже, мы указываем, за что должен отвечать студент быть.

1. Для измерения фундаментальной физической величины.

Студент разрабатывает экспериментальную стратегию для получения максимальной точный результат на имеющемся оборудовании.Студент должен понимать работу оборудования и исследовать присущих эксперименту неопределенностей достаточно полно, чтобы утверждать пределы погрешности данных и результатов с уверенностью, что «истинные» ценности (если бы они были известны) не лежали бы за пределами заявленные пределы погрешности.

2. Подтвердить или проверить известный закон или принцип.

В этом случае недостаточно сказать «Закон был (или не был) проверено.»Экспериментатор должен указать, какой погрешностью ограничивает проверка выполняется, и для каких ограничений диапазона данных, условия эксперимента и т. д. Слишком легко сделать чрезмерные обобщения. Студент в лаборатории для первокурсников не проверяет закон, скажем, F = ma, для — все возможных случаев, в которых может применяться этот закон. В ученик вероятно, исследовал закон в более ограниченном случае гравитационная сила у поверхности земли, действующая на небольшой масса, падающая с расстояния одного-двух метров.Студент следует указать эти ограничения. Не следует широко утверждать «проверили закон Ньютона». Еще хуже было бы заявить чтобы «доказать закон Ньютона».

3. Исследовать явление, чтобы сформулировать закон или отношение, которое лучше всего его описывает.

Здесь недостаточно найти закон, который «работает», но показать, что найденный вами закон лучше отражает данные, чем другие законы, которые вы можете проверить.Например, у вас может быть график экспериментальные данные, которые «выглядят» как некоторая степень x. Вы найдете мощность, которая кажется подходящей. Другой студент говорит, что это «похоже» на экспоненциальная функция от x. Экспоненциальная кривая испытана и кажется подходить. Итак, какое соотношение «правильное» или «лучшее»? Вы можете быть в состоянии чтобы показать, что один из них лучше соответствует данным. Один может быть более физически значимым в контексте более крупного картина установленных законов и теории физики.Но может быть так ни один из них не является явно лучшим представлением данных. В в этом случае вам следует изменить эксперимент таким образом, чтобы он может окончательно решить между двумя конкурирующими гипотезами.

Читатель вашего отчета очень внимательно рассмотрит «результаты». и выводы «, в котором представлены ваши претензии по результат эксперимента. Читатель также будет смотреть, вы обосновали свои претензии конкретной ссылкой на данные вы взяли в эксперименте.Ваши претензии должны быть подтверждены данные и должны быть разумными (в пределах ограничений эксперимент). Это проверка вашего понимания эксперимента, вашего суждения при оценке результатов, и вашего умение общаться.

L. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ I. МЕРЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

1. Пределы погрешности.

Попытка указать весь диапазон, в котором все замеры будут врать.На практике один указывает диапазон в пределах в которых лежат измеренные значения.

2. Среднее отклонение.

Среднее отклонение набора измерений от его среднее значение находится путем суммирования отклонений n измерений, затем разделив сумму на (n-1). Эта мера описывает «разброс» набора измерений.

Когда кто-то хочет сделать выводы о том, насколько далеко оценочное среднее может отклоняться от «истинного» среднего значения родительского распределения, используйте среднее отклонение от среднего значения .К вычислите его, сложите отклонения n измерений, затем разделите эту сумму на n (n-1) ^1/2 . Эта мера выражает качество вашей оценки среднего. Это мера, которую мы неопределенность назовем (или ошибкой) в среднем.

Это последнее определение автоматически включает два математических исправления, необходимые для того, чтобы сделать выводы о родителях распределение из конечной выборки данных, и одно для исправления Дело в том, что вы использовали только малый образец .

3. Стандартное отклонение.

Стандартное отклонение стало «стандартным» методом для выражая неуверенность, потому что это подтверждается развитая математическая модель. К сожалению, это только уместно, когда экспериментатор (а) имеет большие выборки данных, и (б) знает, что распределение данных действительно гауссово, или почти гауссовский. Поэтому его редко используют в лаборатории для первокурсников. оправдано — что-то вроде того, как кувалдой раскололи грецкий орех.

ПРИЛОЖЕНИЕ II. РАСЧЕТЫ С ПОМОЩЬЮ СТАНДАРТНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ

• При добавлении независимо измеренных величин или вычтенный, стандартное отклонение результата — это квадратный корень из суммы квадратов стандартных отклонений величин.
• При перемножении независимо измеренных величин или разделенное, относительное (дробное или процентное) стандартное отклонение результата — квадратный корень из суммы квадратов относительные стандартные отклонения величин.

При использовании стандартных отклонений правила сложения средних отклонения модифицируются следующим образом: вместо простого суммирования меры ошибок, вы возводите их в квадрат, суммируете квадраты и затем берете квадратный корень из суммы.Это называется «квадратурным суммированием».

Стандартные отклонения лучше? Слишком много элементарных лаборатория в руководствах подчеркивается, что стандартное отклонение является единственным стандартным способом экспресс меры погрешности. Однако из стандартных статистическая теория, согласно которой при очень небольшом количестве измерений сами оценки ошибок будут иметь низкую точность. Неопределенность из оценка ошибки, сделанная из n частей данных, составляет

100
	процентов
[2 (n-1)] 1/2

Таким образом, нам пришлось бы усреднить 51 независимое значение, чтобы получить ошибку 10%. в определении ошибки.Нам потребуется 5000 измерений чтобы получить погрешность, оцените до 1%. Если бы было всего 10 измерений сделано, погрешность стандартного отклонения составляет около 24%. Вот почему мы постоянно подчеркивали, что оценки ошибок 1 или 2 значащих цифр достаточно, когда выборки данных небольшие.

Это лишь одна из причин, почему использование стандартного отклонения в элементарная лаборатория редко бывает оправданной. Как часто нужно принимать больше, чем несколько измерений каждой величины? Можно ли вообще взять достаточно измерений, чтобы определить характер ошибки распределение? Это гауссово или что-то еще? Обычно один не знает.Если он не близок к гауссовскому, весь аппарат обычных правил статистической ошибки для стандартного отклонения должны быть модифицированным. Но правила максимальной погрешности, пределов погрешности и средняя ошибка достаточно консервативна и надежна, чтобы все еще можно надежно использовать даже для небольших образцов.

Однако, когда три или более разных количества вносят вклад в В результате более реалистичная мера ошибки получается при использовании метод «сложения в квадратуре», описанный в начале этого раздел.

Точно так же, как это плохой тон — отображать более значимые цифры, чем оправдано, или претендовать на большее значение для результатов, чем подтверждено экспериментом, поэтому использовать статистические методы и меры погрешности для выражения результатов когда данные не подтверждают эти меры погрешности или математические правила, используемые для их получения. Это подразумевает большее качество значение для результатов, чем может иметь место, и граничит с научное мошенничество.

ПРИЛОЖЕНИЕ III. ВАЖНОСТЬ НЕЗАВИСИМОСТИ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ОШИБОК

Студент хочет вычислить уравнение ошибки для эффективного сопротивления R, из двух резисторов X и Y, в параллели. Уравнение для параллельных резисторов:

 

          1 1 1
          - = - + -
          R X Y
 
 

 

                XY
          R = —————
              X + Y
 
 

 

          г х у х + у
          - = - + - - —————
          R X Y X + Y
 
 

Почему? Уравнение11 имеет X и Y в числителе и знаменатель. Следовательно, числитель и знаменатель не являются независимый . Правило частного недействительно, если числитель и знаменатель не независимы.

Чтобы избежать этой ошибки, делайте все, что необходимо для алгебры. переставьте исходное уравнение так, чтобы применение правил никогда не потребует объединение ошибок для независимых величин. Фактически, форма уравнения 10 является идеальной отправной точкой для всех его операций (+ и /) связаны с независимыми величинами.

Чтобы сделать это правильно, начните с уравнения. 10 (в которых каждый количество появляется только один раз, и нет никаких сомнений в том, что каждый операция независимая). Относительная ошибка в 1 / X определяется правило частного (0 — x / X), которое просто -x / X. Ошибка в 1 / X составляет следовательно (-x / X) (1 / X) = -x / X ² . Точно так же ошибка в y — это -y / Y ² , а в r — -r / R ² . Наконец, используя правило сложения ошибок, результат:

 

                                                   2 2
     r x y r R x R r R x R y
     —— = —— + ——, или - = - - + - -, или r = - - + - -
 
 

 

          г Y x X y
          - = ——— - + ——— -
 
 

УПРАЖНЕНИЯ

В следующих ситуациях учитывайте здравый смысл. физические принципы, чтобы определить, какой из них наиболее осмысленный способ описания ошибки: как абсолютное ошибка или дробная ошибка, неопределенная ошибка или определенная ошибка, точная мера или точный один.Подтвердите свои ответы, изложив свои доводы.

(2) Острие ножей механических весов (используемых для взвешивания объекты) затупились.

(3) Регулировочный винт быстрого / медленного действия в прецизионном механическом секундомере. неправильно настроен.

(4) Опоры конического подшипника в механическом электрическом вольтметр ослабли, так что стрелка подшипника очень свободно ограниченный.

(5) Влияние (небольшое) сопротивления воздуха на измерение ускорение свободного падения в эксперименте с падающим телом.

(6) (a) Влияние неконтролируемой и неизмеряемой лаборатории температура на тонком механическом инструменте, который делает измерения ежедневно в течение многих месяцев. (б) Влияние температуры на приборе, если эксперимент длился 60 секунд.

(7) Влияние сопротивления воздуха на период маятника.

(8) Влияние очень нечистого спирта, используемого в качестве жидкости в определение плотности твердого тела по принципу Архимеда. [The твердое вещество взвешивается при погружении в жидкость и формула для результат содержит плотность жидкости.]

(9) Уравнение: R = (C — B) / A. Используйте уравнение детерминированной ошибки, чтобы найти, каким было бы значение R, если бы B было на самом деле 2,1 из 2. Проверьте свой ответ прямым подсчетом.

 

          r c - b a
          - = ————— - - -
          R C - B A
 
 

 

          r -B b
          - = ————— -,
          R C - B B
 
 

(10) Уравнение: R = (C / A) — C — 5. Используйте уравнение ошибки, чтобы найти R, если C был изменен на 4.7. Проверьте ответ прямым подсчетом.

(11) Уравнение: R = (D ² C ² ) -3 / (D — А) ² . Найдите, как R меняется, если D меняется на 22, A меняется до 12 и C меняется на 5.3 (все сразу).

(12) Уравнение: R = D sin [(A — C) / 3B]. Найдите, как R меняется, если C увеличивается на 2%. Помните, что аргументы триггерных функций всегда в радианах .

(13) Уравнение: R = exp [(C — B) / D] Найдите, как R изменяется, если B уменьшается на 2% и D увеличивается на 4 единицы. Это стандартное обозначение: exp (x) означает то же, что и e ^x . Здесь е — это, конечно, база натуральные логарифмы.

(14) Студент говорит: «Когда два измерения математически вместе, ошибка в результате всегда больше, чем ошибка любого из измерений ». Обсудите это утверждение. критически.

(15) Другой студент говорит: «Когда два измерения имеют ошибку 2%, и они используются в уравнении для вычисления результата, результат будет иметь ошибку 4% ». Обсуди критически.

(16) Еще один студент говорит: «Когда несколько измерений используется для расчета результата, ошибка в результате никогда не может быть меньше, чем ошибка худшего измерения ». Обсуди, критически.

(17) Еще один студент говорит: «Когда используются несколько измерений вычислить результат, а погрешность единицы в 10 раз больше как следующий худший, вы можете пренебречь всем, кроме худшего один в уравнении распространения ошибки.»Обсуди критически.

КОНЕЦ

1. Янг, Хью Д. Статистическая обработка экспериментальных Данные. Макгроу-Хилл 1962.
2. Baird, D. C. Эксперименты, введение в теория измерений и план экспериментов. . Второе издание. Прентис-Холл, 1988.
3. Тейлор, Джон Р. Введение в анализ ошибок. Книги университетских наук, 1962.
4. Майнерс, Гарри Ф., Эппенштейн и Мур. Лаборатория Физика. Wiley, 1969 год.
5. Swartz, Clifford E. Используемая математика, в течение первых двух лет колледж науки. Прентис-Холл, 1973 г. Американский институт Physics, 1996. В главе 1 обсуждается анализ ошибок на уровне подходит для первокурсника.
6. Шварц, Клиффорд Э. и Томас Майнер. Преподавание вводное Физика, Справочник. Американский институт физики, 1977. В главе 2 этой ценной книги рассказывается об анализе ошибок. что полностью соответствует моей философии по данному вопросу. В нем рассматриваются три уровня обработки ошибок.
   1. Значимые цифры — первое приближение к анализу ошибок. (Но такой, который не подходит для лабораторных работ по физике в бакалавриате.)
   2. Абсолютные и процентные ошибки — второе приближение к ошибке анализ.Это уровень, который мы подробно обсуждали выше. Шварц и Майнер говорит: «[Эти] правила … часто бывают удовлетворительными. вводные лабораторные работы, это единственные действующие правила.
   3. Кривые распределения данных — третье приближение к анализу ошибок. Это включает использование стандартных отклонений в качестве меры ошибки и правила их совмещения. Я не могу удержаться от цитаты из этой книги:

      Использование этого третьего приближения к анализу ошибок оправдано только при соблюдении определенных экспериментальных условий и требований.Если формализм применяется вслепую, как это часто бывает, можно требовать высокой точности когда его вообще нет. Ситуация усугубляется легким наличие статистических программ на многих ручных калькуляторах. Просто введите несколько чисел, нажмите клавиши и стандартные отклонения и корреляции упадет до 10 незначительных цифр.

3. Величина количества — это его размер безотносительно к его величине. алгебраический знак.

4. Среднее отклонение правильнее было бы назвать «средним абсолютное отклонение «или» среднее абсолютное отклонение «, поскольку это среднее абсолютных значений отклонений, а не сами отклонения.[Среднее значение отклонений симметричной распределение будет нулевым.]

5. В статистическом исследовании неопределенностей слова «средний» и «означает» не используются как полные синонимы. Когда ссылаясь на среднее значение набора из данных измерений, всегда используется слово «средний», а не «средний». При обращении к в других процессах усреднения слово «среднее» предпочтительнее. Возможно, это различие в использовании призвано избежать создания неуклюжего имени. как «среднее отклонение от среднего».»

6. См. Лабораторная физика Майнерса, Эппенсейна и Мура. для получения более подробной информации о среднем отклонении и других показателях дисперсии.

7. Это относительно новое обозначение средних значений, на мой взгляд, более аккуратное. и легче читается, чем старые обозначения ставить черту над В.

8. Хорошее обсуждение см. В Laboratory Physics by Майнерс, Эппенштейн и Мур. Там (на стр.36) вы найдете параллельный расчет среднего отклонения и стандарта отклонение, и обсуждение того, как они сравниваются как меры ошибка.

9. Гауссово распределение, иногда называемое «нормальной кривой» ошибки »имеет уравнение:

 

                                        2
                         - [(X - ) / 2 с]