Индукционный наддув: Объемные нагнетатели — журнал За рулем

Объемные нагнетатели — журнал За рулем

В прошлом номере мы изучали анатомию и физиологию «улиток», работающих во благо принудительного наполнения цилиндров. Сейчас посмотрим, как устроены «мясорубки».

000_moto_1210_050

Принципиальное отличие объемных нагнетателей от центробежников, рассмотренных нами в прошлый раз, заключается в том, что они изолируют впуск от внешней среды и сжимают воздух не внутри себя в «улитке», а попросту запихивают его в цилиндры порциями. Самой распространенной конструкцией стала та, которую в 1859 году придумали братья Рутс: внутри овального корпуса вращаются два ротора, по форме напоминающие восьмерки, которые и прокачивают воздух (см. рисунок). Основная характеристика такого нагнетателя — производительность, то есть, объем воздуха, подаваемый компрессором за один оборот. Синхронное и равномерное вращение роторов обеспечивает пара шестерен. Роторы не касаются ни стенок, ни друг друга, соответственно, нет и износа. Отсюда и основной недостаток нагнетателя братьев Рутс: при росте разницы давления на входе и выходе компрессора через зазоры между роторами и корпусом просачивается все больше и больше воздуха и КПД падает. Поэтому «рутсы» редко применяют при давлениях выше 0,5 бар — «наддутая» с малой эффективностью мощность в основном тратится на привод компрессора.

От недостатков перейдем к достоинствам: во-первых, производительность объемника, в отличие от центробежника, не зависит от оборотов двигателя, а значит, давление наддува постоянно и обеспечивает ровный «приход» во всем диапазоне оборотов, не нужно ждать, когда мотор раскрутится и компрессор выйдет на режим, во-вторых, отсутствие деталей, вращающихся с космической скоростью, подразумевает менее технологичную конструкцию, меньшую нагрузку на детали, и как следствие, больший ресурс. Дальнейшее развитие таких компрессоров привело к тому, что лопастей на роторах становилось больше, а зазоры между ними — меньше, что повышало КПД. Тем не менее, такие недостатки, как большой размер и пульсации потока (роторы прокачивают воздух порциями, а это приводит к тому, что давление во впуске чуть-чуть «скачет»), не дали им вытеснить центробежники; такие компрессоры больше всего прижились в мире драг-рейсинга (вспоминаем американские muscle-кары с торчащими из капотов компрессорами и смотрим на «драговый» GSX-R 750 на картинке). В наше время наибольшее распространение получили нагнетатели Eaton, «младшая» линейка которых (М45 и другие) по производительности вполне подходит большим мотоциклетным моторам.

За дальнейшее развитие идеи братьев Рутс взялся Альф Лисхольм. В 1936 году он запатентовал винтовой компрессор: засунул в корпус нагнетателя Рутса не прямые роторы в форме восьмерок, а два «зеркальных» шнека, почти как в мясорубке, и перенес впуск с бока корпуса на торец. Получается, что канавки шнеков как бы «раскрываются», засасывая воздух, а затем, когда шнек поворачивается, начинают «закрываться», выпихивая воздух в выпуск. Так как канавок на шнеке много, а зазоры при должном изготовлении меньше и «заковыристее», чем у «рутса», то и КПД такого устройства выше, и работает оно плавно, обеспечивая равномерный наддув без скачков и пульсации. И зачем тогда «рутс», когда «лисхольм» превосходит его по всем параметрам? По всем, да не по всем: ввиду крайне сложной формы «мясорубок», винтовой компрессор при изготовлении обходится минимум в полтора раза дороже, чем обычный с прямыми роторами. Именно поэтому, такие нагнетатели прочно застолбили за собой премиум-сегмент рынка компрессоров, и The Machine Ледокола, построенный Юрием Шифом («Мото» №11–2010) — яркий тому пример: свободное дыхание его четырех цилиндров обеспечивает именно винтовой нагнетатель.

001_moto_1210_050

Роторы в нагнетателе Лисхольма внешне действительно напоминают шнеки мясорубки, только толкают они не мясо, а воздух.

Роторы в нагнетателе Лисхольма внешне действительно напоминают шнеки мясорубки, только толкают они не мясо, а воздух.

002_moto_1210_050

Синхронизирующие шестерни — важная деталь компрессора: стоит роторам коснуться друг друга, износ не заставит себя ждать.

Синхронизирующие шестерни — важная деталь компрессора: стоит роторам коснуться друг друга, износ не заставит себя ждать.

003_moto_1210_050

Между роторами (1, 3) и корпусом (2) есть крохотные зазоры, и они — основной враг КПД объемного нагнетателя.

Между роторами (1, 3) и корпусом (2) есть крохотные зазоры, и они — основной враг КПД объемного нагнетателя.

004_moto_1210_050

005_moto_1210_050

По сложности изготовления шнеки компрессора Лисхольма (фото вверху) и рядом не лежали с относительно простыми по форме лопастями нагнетателя Рутса (фото внизу).

По сложности изготовления шнеки компрессора Лисхольма (фото вверху) и рядом не лежали с относительно простыми по форме лопастями нагнетателя Рутса (фото внизу).

006_moto_1210_050

Выпускной канал компрессора Eaton M-45 имеет форму треугольника — для снижения шума.

Выпускной канал компрессора Eaton M-45 имеет форму треугольника — для снижения шума.

007_moto_1210_050

Заслонка, перекрывающая байпасный канал, может иметь как пневмопривод, так и электро.

Заслонка, перекрывающая байпасный канал, может иметь как пневмопривод, так и электро.

008_moto_1210_050

При постройке The Machine Юрий Шиф не поскупился и использовал нагнетатель Лисхольма.

При постройке The Machine Юрий Шиф не поскупился и использовал нагнетатель Лисхольма.

Но не всегда «приход» нужен — например, на холостых оборотах или в режиме малых нагрузок. Поэтому нагнетатель частенько делают отключаемым, чтобы на малых оборотах двигатель не «плевался» моментом, — на шкив его привода устанавливают электромагнитную муфту, которая включает компрессор по сигналу «мозгов». Но тогда суперчарджер становится непреодолимой преградой для воздуха на впуске — ведь он, в отличие от центробежников, не «продувается»! Чтобы объемник не стал «душилкой», в обход него делают маленькую байпасную магистраль, заслонка в которой открывается при неработающем нагнетателе и мотор работает в атмосферном режиме. Как только нужен «буст», байпасный канал закрывается, компрессор включается и начинает задувать воздух во впуск, и мотор переводится в наддувный режим.

В отличие от центробежников, объемники зачастую используют без интеркулеров — при небольших давлениях наддува (когда их КПД наивысший) до полубара воздух не столь сильно греется. К сильным сторонам объемников можно отнести еще и то, что их всегда ставят за дроссельной заслонкой, ведь они, в отличие от многих центробежников, не боятся работать в режиме разрежения при закрытом дросселе, и при этом практически не «жрут» мощность с коленвала.

Мы описали два основных типа объемных нагнетателей, применяемых сейчас. Можно, конечно, вспоминать про экзотику: и про пластинчато-шиберные, и про «Цоллеры», и про спиральные, но эти устройства остались за бортом нового тысячелетия, и радовать нас им, пожалуй, доведется только в музеях. Вот какая картина вырисовывается в итоге: если вам нужны «низы» и ломовой момент под ручкой всегда и везде, то ваш выбор — объемник; если же милее острый «приход» на верхах под аккомпанемент турбинного присвиста, то стоит обратить взор в сторону центробежника. О том, как определиться в выборе компрессора, рассчитать его параметры и подружить с характеристиками мотора, мы поговорим в следующем номере.

Индукционный наддув — Ногинский автоклуб Insanity

Во-первых, разберёмся в сущности понятия «наддув». Приставка «над» в этом слове означает «сверх». Понимать следует как возникновение подачи дополнительного количества воздуха (топливовоздушной смеси) сверх нормы.Индукционный наддув применяют для того, чтобы повысить значение коэффициента наполнения Кн цилиндров топливовоздушной смесью в определённом диапазоне оборотов и, следовательно, при правильной настройке системы питания(!), повысить значение среднего эффективного давления Ре и, соответственно, крутящего момента Ме и мощности двигателя Nе.  
Итак, различают множество видов наддувов:

• Инерционный (пассивный) – давление в тракте создаётся при помощи набегающего потока воздуха. Применяется совместно с воздушным фильтром нулевого сопротивления, сглаживающим завихрения воздушного потока (так называемый, «индукционный» воздушный фильтр). На передней части автомобиля в зоне максимального уплотнения воздуха располагают воздухозаборники. Данный вид наддува эффективен только на очень высоких скоростях при условии герметичности воздуховодов. Минусы: очень быстро засоряется воздушный фильтр; существует некоторая особенность, связанная с настройкой системы питания (в первую очередь, карбюраторной): нужно обеспечить, чтобы система питания выдавала оптимальный состав топливо-воздушной смеси в одном и том же диапазоне оборотов на разных передачах. Например, давление воздуха при движении на первой и пятой передачах на 4000 об/мин будет разным, кроме того, давление на той же пятой передаче зависит от силы и направления ветра относительно вектора движения автомобиля, следовательно, потребуются различные настройки системы питания.

• «Волновой» — повышение коэффициента наполнения достигается за счёт создания перепада давления между открытыми впускным и выпускным клапанами в фазе продувки за счёт использования волновых эффектов, возникающих при импульсном движении топливовоздушной смеси (отработавших газов) по впускным и выпускным трубам. Эффективен в очень узком диапазоне оборотов. Достигается за счёт совместной настройки выпускного и впускного коллекторов (особенно на инжекторных моторах), фаз газораспределения и др. Отсюда и достаточно высокая стоимость. Здесь стоит также упомянуть о таком понятии, как газодинамический наддув. Возникает такой эффект, когда поршень после такта впуска проходит нижнюю мёртвую точку и начинает двигаться вверх при открытом впускном клапане. Угол поворота коленчатого вала от нижней мёртвой точки до момента закрытия впускного клапана называется углом газодинамического наддува и зависит от настройки фаз газораспределения. Эффект встречного движения топливовоздушной смеси и поршня после нижней мёртвой точки объясняется тем, что воздух имеет конечную массу и обладает инерцией, которая, в свою очередь, тем выше, чем выше скорость потока, т.

  е. обороты.

• Электрический нагнетатель – простой и дешёвый вариант наддува для бюджетного автомобиля. Не очень эффективен, что связано с требованием к большим габаритам мощного электромотора, работающего от постоянного напряжения 12 В. Кроме того, при включении такого наддува настроенный под обычные условия карбюратор перестаёт выдавать правильный состав топливовоздушной смеси (происходит её обеднение), что «сводит на нет» весь положительный эффект. Инжекторных моторов проблема касается в меньшей степени, что связано с наличием в системе датчика массового расхода воздуха при работе в пределах калибровок программы управления. Что касается карбюратора, можно рассмотреть вариант решения проблемы за счёт частичного перекрывания воздушных каналов главной дозирующей системы электромагнитными клапанами.

• Механический нагнетатель – серьёзный вариант, может существенно повысить коэффициент наполнения в широком диапазоне оборотов.

  Часто применяется в профессиональном тюнинге. Влечёт за собой: усиление шатунно-поршневой группы, понижение степени сжатия (шаг, призванный уменьшить детонацию), изменение настроек системы питания. Минус – отнимает часть мощности двигателя за счёт приложения усилия, необходимого для вращения крыльчаток компрессора, к коленчатому валу. Стоимость профессиональных комплектов достигает нескольких тысяч долларов.

• Турбонагнетатель – турбина раскручивается исходящим потоком выхлопных газов (частота вращения до 70…200 тыс. об./мин.), причём чем выше его температура, тем эффективней её работа. Комплект, помимо нагнетателя, клапанов, деталей системы топливоподачи и оригинальных деталей кривошипно-шатунного механизма, включает в себя оригинальный выпускной (а также, как правило, и впускной) коллектор. Стоимость ещё выше, чем в предыдущем варианте. Минусы – отбирает часть мощности двигателя за счёт возрастания противодавления на выпуске; на многих вариантах не решена проблема «турбоямы» — на низких оборотах при резком открывании дроссельной заслонки турбина не успевает раскрутиться и подать достаточное количество воздуха, что приводит к провалу при разгоне; турбомотор капризен в эксплуатации и требует особого обращения, что связано с тяжёлыми условиями работы подшипников турбонагнетателя.

Понравилась статья? Поделись:

Простой, но мощный индукционный нагреватель

Привет, в данной самоделке я покажу процесс создания мощного, но простого индукционного нагревателя. Этот «индукционник» способен за считанные секунды разогревать стальное лезвие «до красна». С помощью него, можно «калить» предметы (инструменты, гвозди, саморезы), а так же расплавлять различные материалы (олово, алюминий и тд).

Вот схема которую нужно собрать

Перед началом чтения статья, я рекомендую посмотреть процесс сборки и испытаний:

Нам потребуется:
— 2 транзистора марки IRF3205
— 2 стабилитрон 1.5ке12
— 2 диода HER208
— 2 резистора на 10кОм и на 220Ом
— Пленочный конденсатор на 400В 1мкФ
— 2 ферритовых кольца (можно достать из старого блока питания компа)
— 2 изоляционные шайбы
— Радиатор (для охлаждения транзисторов)
— Пара винтиков (для закрепления транзисторов в радиаторе)
— Термопаста
— 2 кусочка слюды (для изоляции транзисторов от радиатора)
— Медный залакированный провод сечением 1.

4мм² длинной 1 метр
— Медный залакированный провод сечением 1.2мм² 2 куска по 1.5 метр
— Форма на намотки катушки (я буду использовать аккумулятор формата 18650)
— Аккумулятор для питания схемы (8-20В)
— 2 небольших кусочка провода

А так же:
— Бокорезы, ножик, отвертка, паяльник.

Подробное описание изготовления:

Шаг 1: Намотка катушки. Первым делом намотаем провод 1.4мм² на «форму» (еще раз напомню что в качестве «формы» я буду использовать аккумулятор формата 18650) что-бы получить катушку.

Должно получится что-то наподобие этого

Далее ножиком снимаем изоляцию с катушки

И залуживаем провода

Должно получится примерно так

Шаг 2: Намотка катушки на ферритовые кольца. На этом этапе необходимо намотать провод 1.2мм² на ферритовые кольца.

Для этого возьмем кольцо и проденем в него провод.

И начинаем намотку

Обратите внимание, что витки должны быть плотно натянуты. В итоге получаем это.

Шаг 3: Закрепление и подготовка транзисторов. Первым делом подготовим термопасту. Я буду использовать весьма распространенную КПТ-8.

Необходимо нанести тонким слоем термопасту по всей площади на 2 кусочка слюды.

Что бы получилось так.

Затем «приклеиваем» слюду на радиатор

То же самое делаем и с самим транзистором.

Аккуратно прислоняем транзистор (между слюдой) к радиатору.

И прикручиваем его с помощью нескольких винтиков.

Так же проделываем и со вторым транзистором. Таким образом на данном этапе уже имеется 2 транзистора прикрученных к радиатору и готовых к дальнейшей пайки.

Шаг 4: Пайка компонентов по схеме.
На этом этапе начинается самая «интересная» часть. После ее завершения уже получится полностью готовое устройство.

Подготовим 2 резистора на 220 Ом.

Их необходимо припаять к левым ногам транзисторов.

И затем оставшиеся концы соединить между собой и залудить.


Затем необходимо подготовить стабилитроны.

Их необходимо припаять между левой и правой «ножкой» транзистора. Все это делается с 2 транзисторами.


Что бы получилось так.

Теперь необходимо соединить «правые» ножки транзисторов (истоки) перемычкой. В ее роли послужит остаток залакированного медного провода.


Подготовим 2 резистора на 10 кОм

Затем соединяем левую ногу транзистора (затвора) с правой ногой (истоком) резистором на 10 кОм


Так же делаем и со вторым транзистором. Получаем подобие этого.

Теперь настала очередь диодов.

Необходимо припаять анод диода (значок треугольничка) к левой ноге транзистора.

А второй конец диода к центральной ноге к другому транзистору.

После сделать то же самое, но с другим транзистором.

Далее нужна катушка, которую сделали еще на первом этапе

Её концы необходимо припаять к стокам транзисторов (центральные ноги транзисторов).

Следом нужно припаять конденсатор между катушкой как на фото.


Один из последних этапов и присоединение дросселей. Но сначала его необходимо подготовить, для этого снимаете изоляцию и залуживаете концы.

Вслед за этим с каждой стороны транзистора его нужно припаять к общей точке соединения резистором на 220 Ом и место куда паяли конденсатор.



Теперь можно подготовить 2 небольших кусочка провода(желательного разного цвета) для питания всей схемы.Один из провода (в моём случаи желтый) припаиваем к месту соединения резисторов на 220 Ом, сюда будет подключаться плюс

а черный провод (минус) идет на правую ногу (истоку) одного из транзисторов.

Вот финальное фото уже полностью рабочей и собранной схемы.

Шаг 5: Подключение и проверка.
Для питания схемы я буду использовать Li Po аккумулятор для квадрокоптеров.

Но можно использовать любой другой (или даже несколько) напряжением от 8 В до 20 В.

Плюс с аккумулятора припаиваем к проводу, который присоединен с резисторам на 220 Ом, в моем случаи это желтый. Но я подключаю через амперметр, что бы еще и показать ток потребляемый схемой. Вы конечно можете этого не делать. Минус же идет на другой провод (черный), я рекомендую его припаять через кнопку, но для демонстрации я просто буду их соединять когда нужно что бы схема заработала.

У меня ток достигал 15А. Эти значения могут колебаться в зависимости от разных условий, просто учитывайте это.

Спасибо за внимание. Всем удачи в начинаниях!

Становитесь автором сайта, публикуйте собственные статьи, описания самоделок с оплатой за текст. Подробнее здесь.

Дискретная математика: открытое введение, 3-е издание

Раздел 2.5 Индукция

Математическая индукция — это метод доказательства, мало чем отличающийся от прямого доказательства или доказательства от противоречия или комбинаторного доказательства. ³ Другими словами, индукция — это стиль аргументации, который мы используем, чтобы убедить себя и других в том, что математическое утверждение всегда верно. Многие математические утверждения можно доказать, просто объяснив, что они означают. Другие очень трудно доказать — на самом деле есть относительно простые математические утверждения, которые еще никто не знает, как доказать.Чтобы облегчить поиск доказательств, важно знать некоторые стандартные стили аргументов. Индукция — один из таких стилей. Начнем с примера:

Возможно, вы еще не знакомы с ними. Мы рассмотрим их в главе 3.

Подраздел Марки

Расследуй!

Вам нужно отправить посылку по почте, но вы еще не знаете, сколько вам потребуется. У вас есть большой запас марок по 8 центов и марок по 5 центов. Какие именно почтовые расходы вы можете получить, используя эти марки? Какие суммы сделать невозможно?

Возможно, исследуя вышеупомянутую проблему, вы выбрали определенное количество почтовых услуг, а затем выяснили, можно ли получить эту сумму, используя только 8-центовые и 5-центовые марки.Возможно, вы сделали это по порядку: можно ли заработать 1 цент с почтовых расходов? Вы можете заработать 2 цента? 3 цента? И так далее. Если это то, что вы сделали, вы на самом деле отвечали на последовательность вопросов. У нас есть методы работы с последовательностями. Посмотрим, поможет ли это.

На самом деле, мы будем составлять не последовательность вопросов, а последовательность утверждений. Пусть \ (P (n) \) будет утверждением «вы можете заработать \ (n \) центов почтовых расходов, используя только 8-центовые и 5-центовые марки». Поскольку каждое значение \ (n \ text {,} \) \ (P (n) \) является утверждением, оно либо истинно, либо ложно.Итак, если мы сформируем последовательность операторов

\ begin {уравнение *} P (1), P (2), P (3), P (4), \ ldots \ text {,} \ end {уравнение *}

последовательность будет состоять из \ (T \) (для истинного) и \ (F \) (для ложного). В нашем конкретном случае последовательность начинается с

\ begin {уравнение *} F, F, F, F, T, F, F, T, F, T, F, F, T, \ ldots \ end {уравнение *}

, потому что \ (P (1), P (2), P (3), P (4) \) все ложны (вы не можете сделать 1, 2, 3 или 4 цента почтовых расходов), но \ (P (5 ) \) верно (используйте одну марку в 5 центов) и так далее.

Давайте немного подумаем, как мы могли бы найти значение \ (P (n) \) для некоторого конкретного \ (n \) («значение» будет либо \ (T \), либо \ (F \)). Как мы нашли значение \ (n \) -го члена последовательности чисел? Как мы нашли \ (a_n \ text {?} \). Это можно было сделать двумя способами: либо существовала закрытая формула для \ (a_n \ text {,} \), чтобы мы могли вставить \ (n \) в формулу и получаем наше выходное значение, или у нас было рекурсивное определение последовательности, поэтому мы могли использовать предыдущие члены последовательности для вычисления \ (n \) -го члена.Имея дело с последовательностями операторов, мы также можем использовать любой из этих методов. Может быть, есть способ использовать сам \ (n \), чтобы определить, можем ли мы заработать \ (n \) центов за пересылку по почте. Это было бы что-то вроде закрытой формулы. Или вместо этого мы могли бы использовать предыдущие термины в последовательности (утверждений), чтобы определить, можем ли мы сделать \ (n \) центов почтовых расходов. То есть, если мы знаем значение \ (P (n-1) \ text {,} \), можем ли мы получить от него значение \ (P (n) \ text {?} \) Это будет что-то как рекурсивное определение последовательности.Помните, что поиск рекурсивных определений последовательностей часто бывает проще, чем поиск закрытых формул. То же самое и здесь.

Предположим, я сказал вам, что \ (P (43) \) было правдой (это так). Можете ли вы определить из этого факта значение \ (P (44) \) (истинно оно или ложно)? Да, ты можешь. Даже если мы не знаем, как именно мы заработали 43 цента на 5- и 8-центовых марках, мы знаем, что каким-то образом это можно было сделать. Что, если бы таким образом использовали как минимум три марки по 5 центов (что составляет 15 центов)? Мы могли бы заменить эти три марки по 5 центов двумя марками по 8 центов (что составляет 16 центов).Общие почтовые расходы увеличились на 1, так что у нас есть способ заработать 44 цента, так что \ (P (44) \) верно. Конечно, мы предполагали, что у нас есть не менее трех 5-центовых марок. Что, если мы этого не сделаем? Тогда у нас должно быть не менее трех марок по 8 центов (что составляет 24 цента). Если мы заменим эти три марки по 8 центов пятью марками по 5 центов (что составляет 25 центов), мы снова увеличим нашу общую сумму на 1 цент, так что мы можем получить 44 цента, так что \ (P (44) \) истинно.

Обратите внимание, что мы не сказали, как заработать 44 цента, просто мы можем, исходя из того, что мы можем заработать 43 цента.Как мы узнаем, что можем заработать 43 цента? Возможно, потому что мы знаем, что можем заработать \ (42 \) цента, а мы знаем, что можем сделать, потому что знаем, что можем заработать 41 цент, и так далее. Это рекурсия! Как и в случае с рекурсивным определением числовой последовательности, мы должны указать наше начальное значение. В этом случае начальное значение — «\ (P (1) \) ложно». Это нехорошо, поскольку наше рекуррентное соотношение просто говорит, что \ (P (k + 1) \) истинно , если \ (P (k) \) также истинно. Нам нужно начать процесс с истинного \ (P (k) \ text {. } \) Поэтому вместо этого мы можем использовать «\ (P (28) \) истинно» в качестве начального условия.

Собирая все вместе, мы приходим к следующему факту: можно (точно) произвести любую сумму почтовых расходов, превышающую 27 центов, используя только 5-центовые и 8-центовые марки. ⁴ Другими словами, \ (P (k) \) истинно для любого \ (k \ ge 28 \ text {.} \) Чтобы доказать это, мы могли бы сделать следующее:

1. Продемонстрируйте, что \ (P (28) \) верно.

2. Докажите, что если \ (P (k) \) истинно, то \ (P (k + 1) \) истинно (для любого \ (k \ ge 28 \)).

Это не означает, что не может быть заработка меньше 27 центов.

Предположим, мы это сделали. Тогда мы знаем, что 28-й член приведенной выше последовательности — это \ (T \) (с использованием шага 1, начального условия или базового случая ), и что каждый член после 28-го также является \ (T \) (с использованием шага 2, рекурсивная часть или индуктивный корпус ). Вот как могло бы выглядеть доказательство.

Доказательство.

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением «можно сделать ровно \ (n \) центов почтовых расходов, используя 5-центовые и 8-центовые марки.”Мы покажем, что \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 28 \ text {.} \)

Сначала мы покажем, что \ (P (28) \) истинно: \ (28 = 4 \ cdot 5+ 1 \ cdot 8 \ text {,} \), поэтому мы можем получить \ (28 \) центов, используя четыре 5 марки и одну марку 8 центов.

Теперь предположим, что \ (P (k) \) верно для некоторого произвольного \ (k \ ge 28 \ text {.} \). Тогда можно сделать \ (k \) центов, используя 5-центовые и 8-центовые марки. . Обратите внимание, что, поскольку \ (k \ ge 28 \ text {,} \), не может быть, чтобы мы использовали менее трех 5-центовых марок и меньше, чем три 8-центовых марок: использование двух марок каждой из них даст только 26 центов.Теперь, если мы сделали \ (k \) центов, используя по крайней мере три марки по 5 центов, замените три марки по 5 центов двумя марками по 8 центов. Это заменяет 15 центов почтовых расходов на 16 центов, с переходом с \ (k \) центов на \ (k + 1 \) центов. Таким образом, \ (P (k + 1) \) верно. С другой стороны, если мы сделали \ (k \) центов, используя по крайней мере три марки по 8 центов, то мы можем заменить три марки по 8 центов на пять марок по 5 центов, переместившись с 24 центов на 25 центов, давая всего \ (k + 1 \) центов почтовых расходов. Так что и в этом случае \ (P (k + 1) \) верно.

Следовательно, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 28 \ text {.} \)

Подраздел Формализация доказательств

То, что мы сделали в приведенном выше примере штампа, работает для многих типов проблем. Доказательство по индукции полезно при попытке доказать утверждения обо всех натуральных числах или всех натуральных числах, превышающих некоторый фиксированный первый случай (например, 28 в приведенном выше примере), а также в некоторых других ситуациях. В частности, индукцию следует использовать, когда есть способ перейти от одного дела к другому — когда вы можете видеть, как всегда «делать еще один». ”

Это большая идея. Индуктивное размышление над проблемой может дать новое понимание проблемы. Например, чтобы по-настоящему понять проблему с маркой, вы должны подумать о том, как можно произвести любую сумму почтовых расходов (более 28 центов) (это неиндуктивное рассуждение), а также о том, как можно произвести почтовые расходы. изменения по мере увеличения суммы (индуктивное рассуждение). Когда вас просят предоставить доказательство по индукции, вас просят подумать о проблеме динамически ; как увеличение \ (n \) меняет проблему?

Но у доказательств по индукции есть и другая сторона.В математике недостаточно понимать проблему, вы также должны уметь сообщить о проблеме другим. Как и любая дисциплина, математика имеет стандартный язык и стиль, что позволяет математикам эффективно делиться своими идеями. Доказательства по индукции имеют определенный формальный стиль, и очень важно уметь писать в этом стиле. Это позволяет нам систематизировать наши идеи и может даже помочь нам сформулировать доказательство.

Вот общая структура доказательства математической индукцией:

Индукционная доказательная конструкция.

Для начала скажите, какое утверждение вы хотите доказать: «Пусть \ (P (n) \) будет утверждением…» Чтобы доказать, что \ (P (n) \) истинно для всех \ (n \ ge 0 \ text {,} \) вы должны доказать два факта:

1. Базовый случай: Докажите, что \ (P (0) \) истинно. Вы делаете это напрямую. Часто это легко.

2. Индуктивный случай: докажите, что \ (P (k) \ imp P (k + 1) \) для всех \ (k \ ge 0 \ text {.} \). То есть докажите, что для любого \ (k \ ge 0 \) если \ (P (k) \) истинно, то \ (P (k + 1) \) также истинно.Это доказательство утверждения if… then…, поэтому вы можете предположить, что \ (P (k) \) истинно (\ (P (k) \) называется индуктивной гипотезой , ). Затем вы должны объяснить, почему \ (P (k + 1) \) также верно с учетом этого предположения.

Предполагая, что вы добились успеха в обеих вышеупомянутых частях, вы можете сделать вывод: «Следовательно, по принципу математической индукции утверждение \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 0 \ text {. } \ ) ”

Иногда утверждение \ (P (n) \) будет истинным только для значений, например, \ (n \ ge 4 \ text {,} \) или некоторого другого значения.В таких случаях замените все 0, указанные выше, на 4 (или другое значение).

Другое преимущество формализации индуктивных доказательств состоит в том, что это позволяет нам проверить, что логика, лежащая в основе этого стиля аргументации, верна. Почему работает индукция? Представьте себе ряд домино, стоящих на краях. Мы хотим возразить, что через минуту все костяшки домино упадут. Для этого вам нужно будет толкнуть первое домино. Это базовый вариант. Также должно быть, чтобы домино было достаточно близко друг к другу, чтобы при падении какого-либо конкретного домино выпало следующее домино.Это индуктивный случай. Если оба этих условия выполнены, вы толкаете первое домино, и каждое домино вызывает падение следующего, тогда все домино упадут.

Индукция — это мощно! Подумайте, насколько легче опрокидывать домино, если не нужно самому толкать каждое домино. Вы просто запускаете цепную реакцию, и полагаетесь на относительную близость домино, чтобы позаботиться обо всем остальном.

Подумайте о нашем исследовании последовательностей. Для последовательностей легче найти рекурсивные определения, чем закрытые формулы.Переходить от одного дела к другому легче, чем сразу к конкретному делу. Вот что так хорошо в индукции. Вместо того, чтобы переходить непосредственно к (произвольному) случаю для \ (n \ text {,} \), нам просто нужно сказать, как перейти от одного случая к другому.

Когда вас просят доказать утверждение с помощью математической индукции, вы должны сначала подумать о , почему утверждение истинно, используя индуктивные рассуждения. Объясните, почему индукция — это правильно, и примерно почему индуктивный случай будет работать.Затем сядьте и напишите аккуратное формальное доказательство, используя приведенную выше структуру.

Подраздел Примеры

Вот несколько примеров доказательства математической индукцией.

Пример 2.5.1.

Докажите для каждого натурального числа \ (n \ ge 1 \), что \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + n = \ frac {n (n + 1)} {2} \ text {.} \)

Решение

Во-первых, давайте индуктивно подумаем об этом уравнении. На самом деле, мы знаем, что это правда, по другим причинам (на ум приходит обратное и сложение). Но почему может применяться индукция? В левой части складываются числа от 1 до \ (n \ text {.} \) Если бы мы знали, как это сделать, добавить еще один член (\ (n + 1 \)) было бы не так сложно. Например, если \ (n = 100 \ text {,} \) предположим, что мы знаем, что сумма первых 100 чисел равна \ (5050 \) (поэтому \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + 100 = 5050 \ текст {,} \), что верно). Теперь, чтобы найти сумму первых 101 числа, имеет смысл просто прибавить 101 к 5050, вместо того, чтобы заново вычислять всю сумму. У нас было бы \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + 100 + 101 = 5050 + 101 = 5151 \ text {.} \) На самом деле всегда было бы легко добавить еще один член.Вот почему мы должны использовать индукцию.

Теперь формальное доказательство:

Доказательство.

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + n = \ frac {n (n + 1)} {2} \ text {.} \) Мы покажем, что \ (P (n) \) верно для всех натуральных чисел \ (n \ ge 1 \ text {.} \)

Базовый случай: \ (P (1) \) — это утверждение \ (1 = \ frac {1 (1 + 1)} {2} \), которое явно верно.

Индуктивный случай: пусть \ (k \ ge 1 \) — натуральное число. Предположим (для индукции), что \ (P (k) \) истинно. Это означает \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + k = \ frac {k (k + 1)} {2} \ text {.} \) Мы докажем, что \ (P (k + 1) \) также верно. То есть мы должны доказать, что \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + k + (k + 1) = \ frac {(k + 1) (k + 2)} {2} \ text {.} \) Чтобы доказать это уравнение, начните с добавления \ (k + 1 \) к обеим сторонам индуктивной гипотезы:

\ begin {уравнение *} 1 + 2 + 3 + \ cdots + k + (k + 1) = \ frac {k (k + 1)} {2} + (k + 1) \ text {.} \ end {уравнение *}

Теперь, упрощая правую часть, получаем:

\ begin {align *} \ frac {k (k + 1)} {2} + k + 1 \ amp = \ frac {k (k + 1)} {2} + \ frac {2 (k + 1)} {2} \\ \ amp = \ frac {k (k + 1) + 2 (k + 1)} {2} \\ \ amp = \ гидроразрыва {(к + 2) (к + 1)} {2} \ текст {. } \ end {выровнять *}

Таким образом, \ (P (k + 1) \) истинно, поэтому по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех натуральных чисел \ (n \ ge 1 \ text {.} \)

Обратите внимание, что в той части доказательства, в которой мы доказали \ (P (k + 1) \) из \ (P (k) \ text {,} \), мы использовали уравнение \ (P (k) \ text { .} \) Это была индуктивная гипотеза. Увидеть, как использовать индуктивные гипотезы, обычно просто при доказательстве факта о такой сумме. В других доказательствах это может быть менее очевидно, где оно подходит.2 \) на единицу больше, чем 5). Как выглядят числа, которые на единицу больше, чем кратные 5? У них должна быть последняя цифра 1 или 6. Что произойдет, если вы умножите такое число на 6? Зависит от числа, но в любом случае последняя цифра нового числа должна быть 6. А затем, если вы вычесть 1, вы получите последнюю цифру 5, то есть кратное 5.

Дело в том, что каждый раз, когда мы умножаем еще на одну шестерку, мы все равно получаем число с последней цифрой 6, поэтому вычитание 1 дает нам число, кратное 5. {k + 1} \ text {,} \) другими словами, \ (P (k + 1) \ text {.} \) Следовательно, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для все \ (n \ ge 5 \ text {.} \)

Предыдущий пример может напомнить вам принцип ипподрома из исчисления, который гласит, что если \ (f (a) \ lt g (a) \ text {,} \) и \ (f ‘(x) \ lt g ‘(x) \) для \ (x> a \ text {,} \), затем \ (f (x) \ lt g (x) \) для \ (x> a \ text {.} \) Та же идея: большая функция увеличивается с большей скоростью, чем меньшая функция, поэтому большая функция останется крупнее.В дискретной математике у нас нет производных, поэтому мы смотрим на различия. Таким образом, индукция — это правильный путь.

Предупреждение :.

С большой силой приходит большая ответственность. Индукция — это не волшебство. Возможность предположить, что \ (P (k) \) истинна, кажется очень сильной. В конце концов, мы пытаемся доказать, что \ (P (n) \) истинно, и единственная разница заключается в переменной: \ (k \) vs. \ (n \ text {. } \). Предполагаем ли мы, что то, что мы хотите доказать верно? На самом деле, нет. Мы предполагаем, что \ (P (k) \) истинно только ради доказательства того, что \ (P (k + 1) \) истинно.

Тем не менее вы можете начать верить, что с помощью индукции можно доказать что угодно. Рассмотрим это неправильное «доказательство» того, что у всех канадцев один и тот же цвет глаз: Пусть \ (P (n) \) будет утверждением, что все \ (n \) канадцы имеют одинаковый цвет глаз. \ (P (1) \) верно, поскольку у всех такой же цвет глаз, как и у них самих. Теперь предположим, что \ (P (k) \) истинно. То есть предположим, что в любой группе \ (k \) канадцев у всех одинаковый цвет глаз. Теперь рассмотрим произвольную группу \ (k + 1 \) канадцев. У первых \ (k \) из них должен быть один и тот же цвет глаз, поскольку \ (P (k) \) истинно.Кроме того, последний \ (k \) из них должен иметь тот же цвет глаз, поскольку \ (P (k) \) истинно. Фактически, у всех в группе должен быть один и тот же цвет глаз. Таким образом, \ (P (k + 1) \) верно. Таким образом, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ text {.} \)

Очевидно, что-то пошло не так. Проблема в том, что доказательство того, что \ (P (k) \) влечет \ (P (k + 1) \), предполагает, что \ (k \ ge 2 \ text {.} \) Мы показали только \ (P (1 )\) правда. На самом деле \ (P (2) \) ложно.

Подраздел Сильная индукция

Расследуй!

Начните с квадратного листа бумаги.Вы хотите разрезать этот квадрат на более мелкие квадраты, не оставляя мусора (каждый листок бумаги, который вы получите, должен быть квадратом). Очевидно, что квадрат можно разрезать на 4 квадрата. Вы также можете разрезать его на 9 квадратов. Оказывается, квадрат можно разрезать на 7 квадратов (хотя и не все одинакового размера). Какое еще количество квадратов могло бы получиться?

Иногда, чтобы доказать, что \ (P (k + 1) \) истинно, было бы полезно знать, что \ (P (k) \) и \ (P (k-1) \) и \ (P (k-2) \) все верно.Рассмотрим следующую загадку:

У вас есть прямоугольная плитка шоколада, состоящая из \ (n \) одинаковых квадратов шоколада. Вы можете взять такую ​​планку и разбить ее по любому ряду или столбцу. Сколько раз вам придется ломать плитку, чтобы уменьшить ее до \ (n \) кусочков шоколада?

Сначала этот вопрос может показаться невозможным. Возможно, я хотел попросить наименьшее количество необходимых перерывов ? Давайте разбираться.

Начнем с небольших дел.Если \ (n = 2 \ text {,} \), у вас должен быть прямоугольник \ (1 \ times 2 \), который можно уменьшить до отдельных частей за один разрыв. С \ (n = 3 \ text {,} \) у нас должен быть столбик \ (1 \ times 3 \), для которого требуется два разрыва: первый разрыв создает один квадрат и столбик \ (1 \ times 2 \). , который, как мы знаем, занимает один (более) перерыв.

А как насчет \ (n = 4 \ text {?} \) Теперь у нас может быть полоса \ (2 \ times 2 \) или полоса \ (1 \ times 4 \). В первом случае разбейте столбик на два \ (2 \ times 2 \) столбца, для каждого из которых требуется еще один разрыв (всего требуется три разрыва). Если мы начали с бара \ (1 \ times 4 \), у нас есть выбор для нашего первого перерыва. Мы могли бы разбить планку пополам, создав две полосы \ (1 \ times 2 \), или мы можем сломать один квадрат, оставив полосу \ (1 \ times 3 \). Но в любом случае нам нужно еще два перерыва, а всего три.

Это начинает выглядеть так, как будто независимо от того, как мы ломаем планку (и как бы квадраты \ (n \) не выстраивались в прямоугольник), у нас всегда будет одинаковое количество необходимых разрывов. Также похоже, что это число на единицу меньше, чем \ (n \ text {:} \)

Гипотеза 2.5.4.

Для \ (n \) квадратной прямоугольной плитки шоколада всегда требуется \ (n-1 \) перерывов, чтобы уменьшить плитку до отдельных квадратов.

Имеет смысл доказать это индукцией, потому что, сломав плитку один раз, у вас останется плиток меньшего размера . Сведение к меньшим случаям — вот что такое индукция. Мы можем индуктивно предположить, что уже знаем, как обращаться с этими меньшими барами. Проблема в том, что если мы пытаемся доказать индуктивный случай с \ ((k + 1) \) — квадратным стержнем, мы не знаем, что после первого разрыва на оставшемся баре будет \ (k \) квадратов.Поэтому нам действительно нужно предположить, что наша гипотеза верна для всех случаев, меньших чем \ (k + 1 \ text {.} \)

.

Верно ли это более сильное предположение? Помните, что по индукции мы пытаемся доказать, что \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ text {.} \). Что, если бы это было не так? Тогда будет некоторый первый \ (n_0 \), для которого \ (P (n_0) \) было ложным. Поскольку \ (n_0 \) является первым контрпримером , мы знаем, что \ (P (n) \) истинно для всех \ (n \ lt n_0 \ text {.} \). Теперь мы переходим к доказательству того, что \ (P (n_0) \) действительно верно, основываясь на предположении, что \ (P (n) \) верно для всех меньших \ (n \ text {.} \)

Это большое преимущество: теперь у нас есть более сильная индуктивная гипотеза. Можно считать, что \ (P (1) \ text {,} \) \ (P (2) \ text {,} \) \ (P (3) \ text {,} \)… \ (P (k) \) верно, просто чтобы показать, что \ (P (k + 1) \) верно. Ранее для этой цели мы просто предполагали \ (P (k) \).

Будет немного проще, если мы изменим наши переменные на сильную индукцию. Вот как могло бы выглядеть формальное доказательство:

Прочная конструкция для защиты от индукции.

Опять же, начните с того, что вы хотите доказать: «Пусть \ (P (n) \) будет утверждением…» Затем установите два факта:

1. Базовый случай: Докажите, что \ (P (0) \) истинно.

2. Индуктивный случай: Предположим, что \ (P (k) \) верно для всех \ (k \ lt n \ text {.} \). Докажите, что \ (P (n) \) верно.

Сделайте вывод: «Следовательно, по сильной индукции \ (P (n) \) истинно для всех \ (n \ gt 0 \ text {.} \)»

Конечно, допустимо заменить 0 на при необходимости более крупный базовый вариант. ⁵

Технически, сильная индукция не требует подтверждения отдельного базового случая. Это потому, что при доказательстве индуктивного случая вы должны показать, что \ (P (0) \) истинно, при условии, что \ (P (k) \) истинно для всех \ (k \ lt 0 \ text {. } \) Но это не поможет, так что вы все равно докажете \ (P (0) \). На всякий случай мы всегда будем включать базовый вариант отдельно.

Докажем нашу догадку о загадке плитки шоколада:

Доказательство.

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением, «требуется \ (n-1 \) перерывов, чтобы уменьшить \ (n \) — квадратную плитку шоколада до отдельных квадратов».

Базовый случай: рассмотрим \ (P (2) \ text {.} \) Квадраты должны быть расположены в прямоугольник \ (1 \ times 2 \), и нам нужны \ (2-1 = 1 \) разрывы, чтобы уменьшить это на отдельные квадраты.

Индуктивный случай: зафиксируйте произвольный \ (n \ ge 2 \) и предположите, что \ (P (k) \) истинно для всех \ (k \ lt n \ text {.} \). Рассмотрим \ (n \) — квадратная прямоугольная плитка шоколада. Разорвите полосу один раз вдоль любой строки или столбца. В результате получается две плитки шоколада, скажем, размеров \ (a \) и \ (b \ text {.} \), То есть у нас есть \ (a \) — квадратная прямоугольная плитка шоколада, a \ (b \) — квадратная прямоугольная плитка шоколада и \ (a + b = n \ text {. } \)

Мы также знаем, что \ (a \ lt n \) и \ (b \ lt n \ text {,} \), поэтому по нашей индуктивной гипотезе \ (P (a) \) и \ (P (b) \) верны.Чтобы уменьшить \ (a \) — квадратный столбец до отдельных квадратов, требуется \ (a-1 \) разрыв; чтобы уменьшить \ (b \) — квадратную полосу до отдельных квадратов, требуется \ (b-1 \) перерыв. В результате наша исходная полоса уменьшится до отдельных квадратов. Все вместе это взяло начальный перерыв, плюс перерывы \ (a-1 \) и \ (b-1 \), в общей сложности \ (1 + a-1 + b-1 = a + b-1 = n -1 \) ломается. Таким образом, \ (P (n) \) верно.

Следовательно, по сильной индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 2 \ text {.} \)

Вот более математически релевантный пример:

Пример 2.5.5.

Докажите, что любое натуральное число больше 1 либо простое, либо может быть записано как произведение простых чисел.

Решение

Во-первых, идея: если мы возьмем какое-нибудь число \ (n \ text {,} \), возможно, оно будет простым. Если так, то все готово. Если нет, то оно составное, то есть произведение двух меньших чисел. Каждый из этих факторов меньше, чем \ (n \) (но не менее 2), поэтому мы можем повторить рассуждение с этими числами. Мы свели к меньшему случаю.

Теперь формальное доказательство:

Доказательство.

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением: «\ (n \) либо простое, либо может быть записано как произведение простых чисел». Мы докажем, что \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 2 \ text {.} \)

Базовый случай: \ (P (2) \) верно, потому что \ (2 \) действительно простое число.

Индуктивный случай: предположим, что \ (P (k) \) истинно для всех \ (k \ lt n \ text {.} \). Мы хотим показать, что \ (P (n) \) истинно. То есть мы хотим показать, что \ (n \) либо простое, либо произведение простых чисел. Если \ (n \) простое число, все готово. Если нет, то \ (n \) имеет более двух делителей, поэтому мы можем записать \ (n = m_1 \ cdot m_2 \ text {,} \) с \ (m_1 \) и \ (m_2 \) меньше \ ( п \) (и больше 1). По предположению индукции, \ (m_1 \) и \ (m_2 \) либо простые, либо могут быть записаны как произведение простых чисел. В любом случае \ (n \) записывается как произведение простых чисел.

Таким образом, по сильной индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 2 \ text {.} \)

Используете ли вы обычную индукцию или сильную индукцию, зависит от утверждения, которое вы хотите доказать. Если вы хотите быть в безопасности, вы всегда можете использовать сильную индукцию. Это действительно сильнее , так что может сделать все, что «слабая» индукция.Тем не менее, использовать регулярную индукцию часто проще, поскольку есть только одно место, где вы можете использовать гипотезу индукции. Также есть что сказать о elegance в пруфах. Если вы можете доказать утверждение, используя более простые инструменты, это будет хорошо.

В качестве последнего контраста между двумя формами индукции рассмотрим еще раз проблему штампа. Регулярная индукция работала, показывая, как увеличить почтовые расходы на один цент (либо заменяя три марки по 5 центов двумя марками по 8 центов, либо три марки по 8 центов на пять марок по 5 центов). Мы могли бы дать несколько иное доказательство, используя сильную индукцию. Во-первых, мы могли бы показать пять базовых вариантов : можно получить 28, 29, 30, 31 и 32 цента (мы бы фактически сказали, как создается каждый из них). Теперь предположим, что можно сделать \ (k \) центов почтовых расходов для всех \ (k \ lt n \), пока \ (k \ ge 28 \ text {.} \), Пока \ (n> 32 \ text {,} \) это означает, в частности, что мы можем заработать \ (k = n-5 \) центов. Теперь добавьте штамп в 5 центов, чтобы получить \ (n \) центов.

Упражнения Упражнения

1.

По пути на рынок вы обмениваете корову на волшебные зерна эспрессо из темного шоколада. У этих бобов есть свойство, что каждую ночь в полночь каждый боб разделяется на два, что фактически удваивает вашу коллекцию. Вы решаете воспользоваться этим и каждое утро (около 8 часов утра) съедаете 5 бобов.

1. Объясните, почему это правда, что , если в полдень в день \ (n \) у вас есть количество бобов, оканчивающееся на 5, то в полдень дня \ (n + 1 \) у вас все равно будет номер фасоли, оканчивающейся на 5.

2. Почему предыдущего факта недостаточно, чтобы сделать вывод о том, что у вас всегда будет количество бобов, оканчивающееся на 5? Какие дополнительные факты вам понадобятся?

3. Предполагая, что у вас есть дополнительный факт в части (b) и вы успешно доказали этот факт в части (a), откуда вы знаете, что у вас всегда будет количество фасоли, оканчивающееся на 5? Проиллюстрируйте, что происходит, внимательно объяснив, как два приведенных выше факта доказывают, что у вас будет определенное количество бобов, оканчивающихся на 5 на день 4 .Другими словами, объясните, почему индукция работает в этом контексте.

Решение

1. Если у нас есть количество beans, оканчивающееся на 5, и мы удвоим его, мы получим количество beans, заканчивающееся на 0 (поскольку \ (5 \ cdot 2 = 10 \)). Затем, если мы вычтем 5, мы снова получим количество бобов, заканчивающееся на 5. Таким образом, если в какой-то день у нас есть число, заканчивающееся на 5, на следующий день также будет число, заканчивающееся на 5.

2. Если вы не начинаете с количеством бобов, заканчивающимся на 5 (в день 1), приведенное выше рассуждение все еще верно, но бесполезно.Например, если вы начинаете с числа, оканчивающегося на 3, на следующий день у вас будет число, заканчивающееся на 1.

3. Часть (b) является базовым случаем, а часть (a) — индуктивным случаем. Если в день 1 у нас есть число, оканчивающееся на 5 (по части (b)), то во второй день у нас также будет число, заканчивающееся на 5 (по части (a)). Затем, снова в части (а), у нас будет число, заканчивающееся на 5 в день 3. И снова в части (а) это означает, что у нас будет число, заканчивающееся на 5 в день 4

   Доказательство по индукции говорит о том, что на каждые дней у нас будет число, оканчивающееся на 5, и это работает, потому что мы можем начать с базового случая, а затем использовать индуктивный случай снова и снова, пока не достигнем желаемого значения. \ (п \ текст {.2 \ amp \ text {по факторингу} \ end {выровнять *}

   Таким образом, \ (P (k + 1) \) выполняется, поэтому по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 1 \ text {.} \)

   5.

   Докажите, что \ (F_0 + F_2 + F_4 + \ cdots + F_ {2n} = F_ {2n + 1} — 1 \), где \ (F_n \) — это \ (n \) -е число Фибоначчи.

   Решение

   Доказательство.

   Пусть \ (P (n) \) будет выражением \ (F_0 + F_2 + F_4 + \ cdots + F_ {2n} = F_ {2n + 1} — 1 \ text {.} \) Мы покажем, что \ ( P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 0 \ text {.} \) Сначала базовый случай прост, потому что \ (F_0 = 0 \) и \ (F_1 = 1 \), поэтому \ (F_0 = F_1 — 1 \ text {.} \) Теперь рассмотрим индуктивный случай. Предположим, что \ (P (k) \) истинно, то есть предположим \ (F_0 + F_2 + F_4 + \ cdots + F_ {2k} = F_ {2k + 1} — 1 \ text {.} \), Чтобы установить \ (P (k + 1) \) работаем слева направо:

   \ begin {align *} F_0 + F_2 + \ cdots + F_ {2k} + F_ {

   GH ИНДУКЦИЯ | Преимущества индукционной закалки и отпуска

   Закалка

   Закалка — это процесс нагрева с последующим, как правило, быстрым охлаждением для повышения твердости и механической прочности стали.

   Для этого сталь нагревают до температуры, немного превышающей верхнюю критическую (между 850-900ºC), а затем охлаждают более или менее быстро (в зависимости от характеристик стали) в такой среде, как масло, воздух, вода, вода в смеси с растворимыми полимерами и др.

   Существуют различные методы нагрева, такие как электрическая духовка, газовая плита, соль, пламя, индукция и т. Д.

   Стали, которые обычно используются для индукционной закалки, содержат от 0,3% до 0,7% углерода (доэвтектические стали).

   Преимущества индукционного нагрева:

   • Обрабатывает определенную часть детали (упрочняющий профиль)
   • Частота регулирования и время нагрева
   • Контроль охлаждения
   • Энергосбережение
   • Нет физического контакта
   • Управление и локальное отопление
   • Может быть интегрирован в производственные линии
   • Повышение производительности и экономия места

   Индукционная закалка может выполняться двумя способами:

   • Статический: состоит из установки части перед индуктором и выполнения операции без перемещения детали или индуктора.Этот тип операции очень быстр, требует только простой механики и позволяет очень точно локализовать обрабатываемую область даже с деталями со сложной геометрией.
   • Прогрессивная (путем сканирования): состоит из непрерывного обхода детали, перемещая деталь или индуктор. Этот вид операции означает, что можно обрабатывать детали с большой поверхностью и большими размерами.

   Для деталей того же типа сканирование требует меньше энергии при более длительном времени обработки по сравнению со статической обработкой.

   Закалка

   Закалка — это процесс, способный снизить твердость, прочность и повысить ударную вязкость закаленных сталей, в то же время снимая напряжения, возникающие в дужке, в результате чего сталь приобретает необходимую твердость.

   Традиционная система закалки заключается в нагревании деталей при относительно низких температурах (от 150 ° C до 500 ° C, всегда ниже линии AC1) в течение некоторого времени с последующим медленным охлаждением.

   Преимущества индукционного нагрева:

   • Более короткое время в процессе
   • Контроль температуры
   • Интеграция в производственные линии
   • Энергосбережение
   • Немедленная доступность запчастей
   • Экономия площади
   • Улучшение условий окружающей среды

   Процесс закалки и отпуска — это обработка различных компонентов во многих отраслях промышленности.

   Советы по созданию инструкций для сотрудников

   Онлайн-вводный курс >> Вводный курс для сотрудников

   Все новые сотрудники должны пройти надлежащий и всесторонний вводный курс, прежде чем они начнут работать и станут своей работой. Вводный курс для нового сотрудника должен состоять из материалов для расчета заработной платы и управления персоналом, онлайн-справочника для сотрудников, вводного пакета, инструктажа по безопасности, охватывающего важные темы и процедуры безопасности на рабочем месте, презентаций, политик, которые необходимо подтвердить и понять, контрольного списка и оценок нового сотрудника, а также рабочего места курсы, которые помогают адаптировать сотрудника к работе в организации.

   Новые сотрудники могут пройти ряд различных вводных инструкций, начиная от вводных инструкций для рабочего места, проекта или роли и продвигаясь по критически важным темам, процедурам и политикам на рабочем месте, чтобы быть готовыми к работе. Существующие сотрудники могут ежегодно повторно проходить инструктаж по этим материалам для постоянного соблюдения. Все типы сотрудников должны пройти вводный курс со стороны временных сотрудников, сотрудников с неполной занятостью, полный рабочий день и менеджеров, информация, на которую они вводятся, может быть разницей между инцидентом, происходящим на рабочем месте, или ведущим к лучшему удержанию персонала.

   Как лучше всего создать эффективный вводный курс для новых сотрудников? Какая платформа лучше всего подходит для инструктажа сотрудников службы доставки и что в нее включить?
   

   Лучшие шаги для включения в вводный курс для новых сотрудников

   Вводные курсы для сотрудников могут быть всеобъемлющими, есть много материала, чтобы охватить все более сложные рабочие места. От политик и процедур управления персоналом до материалов по безопасности и вводных инструкций для конкретного сайта. Какие шаги лучше всего включить в структуру введения в должность вашего сотрудника и что вам следует включить?

   Сбор материалов от новичков, таких как информация о заработной плате, необходимые данные для настройки персонала, подписание форм и ввод информации о новом стартовом. роль / безопасная работа на объекте
   Прохождение вводного курса и презентации по технике безопасности для понимания важных тем, связанных с безопасностью рабочего места, и обеспечения безопасной работы всех новых сотрудников на объекте
   Завершение специальных курсов по управлению персоналом и рабочих мест, особенно по таким темам, как запугивание и преследование кодекс поведения, сексуальные домогательства, наркотики и алкоголь.
   Подтверждение кадровой политики и процедур
   Проверка их понимания посредством оценивания

   Ступени индукции и реиндукции персонала
   Эти шаги будут представлять собой сочетание онлайн-форм, контрольных списков, библиотек документов, презентаций и оценок и станут основой для вводного инструктажа персонала. В соответствии с передовой практикой новый сотрудник должен быть введен в должность до того, как он прибудет на место, и все сотрудники будут проходить ежегодный процесс введения в должность для повторного назначения.Организация постоянно меняется и растет, поэтому вводный курс должен отражать и эти изменения! Важно убедиться, что хотя бы раз в год сотрудники повторно принимают на работу в связи с изменениями. Нужно ли знать о новых правилах? новые процедуры и изменения на рабочем месте, на которых нужно вводить?

   Подробнее: Что отличает хороший ввод в должность сотрудника?

   Распространенные способы введения сотрудников в должность

   Вы можете встретиться лицом к лицу и онлайн, чтобы получить наилучшие впечатления от введения новых сотрудников.Новые сотрудники могут сначала пройти онлайн-вводный курс, пройдя вышеуказанные шаги, а затем, приступив к работе, провести дополнительные личные мероприятия по адаптации, такие как экскурсия по месту работы, знакомство с членами команды и последующие действия линейного менеджера для этого личного контакта.

   Онлайн
   Лицом к лицу

   Хотите опробовать систему индукционного обучения сотрудников онлайн? Начните прямо здесь:
   

   Наиболее распространенные слайды в презентации слайд-шоу для новичков

   Мы собрали наиболее распространенные слайды, которые используются в организациях при вводе новых сотрудников в должность. Начинаем!

   Состав руководства
   Доступ к сайту / часы доступа / часы работы рабочего места
   Обзор организации и ее миссии
   Подробная информация и обзор менеджера по персоналу
   Как сообщить об инциденте или опасности
   Кодекс поведения
   Политика в отношении издевательств и домогательств
   Политика в отношении сексуальных домогательств и как сообщить об этом
   Политика в отношении наркотиков и алкоголя и как сообщить об этом
   Запретные зоны, которых следует избегать
   Опасности, о которых следует знать
   Дресс-код
   Познакомьтесь с командой
   Расположение аптечки
   Действия в чрезвычайных ситуациях

   Индукция — это не то же самое, что LMS

   Вводный курс проводится в начале взаимодействия сотрудников с организацией.Это может произойти до того, как они станут сотрудниками, и, возможно, им буквально только что позвонили, чтобы поздравить вас с работой. Обычно следующий шаг — ввести их в организацию, чтобы они были готовы к работе к первому дню. Это может включать отправку им ссылки для регистрации и начала онлайн-ознакомления, чтобы подготовить их к важным политикам и процедурам и подготовить их к работе. LMS — это постоянное обучение, которое им может быть поручено в течение оставшейся части года работы с организацией.Вводный курс может проводиться ежегодно по сравнению с постоянным обучением, которое может проводиться еженедельно, ежемесячно или разово в течение года. Текущее обучение может включать обучение соблюдению требований как часть онлайн-платформы обучения.

   Дайте новым сотрудникам лучший вводный курс

   Если вы хотите сохранить их, дайте им лучший вводный курс для новых сотрудников! На удержание новых сотрудников может сильно повлиять то, как вы впервые привлекаете их в организацию. Введение в должность нового персонала — один из важнейших элементов обеспечения такого взаимодействия и обеспечения того, чтобы вы приняли их в организацию, оказав большое влияние и оставив неизгладимое первое впечатление.Это также основная составляющая обеспечения готовности к работе в первый же день. Введение в должность нового персонала выходит за рамки их первого дня, у вас также могут быть вводные курсы первой недели, второй недели, трехмесячного и шестимесячного вводного курса. Введение в должность нового персонала поможет познакомить ваших новых сотрудников с рабочим местом, их командой, отделом и их ролью.

   Шаблоны вводных инструкций для сотрудников и библиотека общих материалов

   Настройка инструктажа сотрудников может занять очень много времени, если вы не знаете, с чего начать, и у вас нет готового к использованию контента или материалов.Чтобы сэкономить время, мы подготовили обширную библиотеку общих тем для сотрудников, материалов для рабочего места и вводного контента для конкретных сотрудников (особенно для различных типов ролей сотрудников, таких как временные сотрудники, полный рабочий день, неполный рабочий день и т. Д.).

   Онлайн-вводный курс для сотрудников Hanbook

   Все организации разные, но основные темы, которые вам нужно затронуть при вводе новых сотрудников, в основном одинаковы, независимо от отрасли или региона. Старое школьное руководство было выброшено в окно, и в сегодняшнем быстро развивающемся мире технологий цифровое руководство по вводу в должность сотрудников — лучший способ.Возможность цифровой записи, которую сотрудники прошли через каждый раздел, просмотрели и подтвердили его, включая цифровую подпись и даже проверку компетенции, — вот несколько основных преимуществ онлайн-справочника. Наиболее распространенные разделы, которые вы можете включить (и все они находятся в нашем готовом к использованию онлайн-справочнике по вводу в должность сотрудников):

   — Добро пожаловать в организацию, миссию, видение и цель
   — Отраслевые награды и соглашения, основанные на конкретной роли сотрудника
   — Часы работы, списки и табели учета рабочего времени
   — Заработная плата или размер оплаты труда и сведения о пенсии
   — Как распределяются расходы, связанные с работой
   — Форма или требования дресс-кода
   — Кодекс поведения
   — Право на отпуск (охватывающий все виды отпусков, такие как ежегодный отпуск, личный отпуск, подача заявления на отпуск, учебный отпуск, отпуск без сохранения содержания, отпуск за выслугу лет и отпуск по уходу)
   — Отключения и простоя
   — Испытательный срок
   — Процесс проверки эффективности
   — Важные темы на рабочем месте, касающиеся борьбы с дискриминацией, издевательствами и домогательствами, алкоголем и наркотиками, и многие другие
   — Политика в отношении курения
   — Противодействие взяточничеству а

   .