Тригонометрический ключ: Тригонометрический круг — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Содержание

Тригонометрический круг - материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

 

        Вот что мы видим на этом рисунке:

      1. Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
      2. Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
      3. И синус, и косинус принимают значения от до .
      4. Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
      5. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
      6. Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
      7. Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Например:

;

;
;

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

,
.

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

,
.

Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

,
,

где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

,
.

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

,

.

В результате получим следующую таблицу.

 

Таблица Брадиса sin cos tg ctg

Калькулятор поможет рассчитать точные значения тригонометрических функций sin, cos, tg и ctg для различных значений углов в градусах или радианах.

На данной странице таблица Брадиса, которая дает значение sin, cos, tg, ctg любого острого угла, содержащего целое число градусов и десятых долей градуса. Для нахождения значения угла берется число на пересечении строки, которое соответствует числу градусов и столбца, которое соответствует числу минут. Например, sin 70°30' = 0.9426.

Найти точное значение



Таблица Брадиса sin, cos
sin0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3'
60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'cos
090°
0,0000001700350052007000870105012201400157017589°369
0175019202090227024402620279029703140332034988°369
0349036603840401041904360454047104880506052387°369
0523054105580576059306100628064506630680069886°369
0698071507320750076707850802081908370854087285°369
0872088909060924094109580976099310111028104584°369
1045106310801097111511321149116711841201121983°369
1219123612531271128813051323134013571374139282°369
1392140914261444146114781495151315301547156481°369
1564158215991616163316501668168517021719173680°369
10°1736175417711788180518221840185718741891190879°369
11°1908192519421959197719942011202820452062207978°369
12°2079209621132130214721642181219822152233225077°369
13°2250226722842300231723342351236823852402241976°368
14°2419243624532470248725042521253825542571258875°368
15°2588260526222639265626722689270627232740275674°368
sin0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3'
60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'cos
16°2756277327902807282328402857287428902907292473°368
17°2924294029572974299030073024304030573074309072°368
18°3090310731233140315631733190320632233239325671°368
19°3256327232893305332233383355337133873404342070°358
20°3420343734533469348635023518353535513567358469°358
21°3584360036163633364936653681369737143730374668°358
22°3746376237783795381138273843385938753891390767°358
23°3907392339393955397139874003401940354051406766°358
24°4067408340994115413141474163417941954210422665°358
25°4226424242584274428943054321433743524368438464°358
26°4384439944154431444644624478449345094524454063°358
27°4540455545714586460246174633464846644679469562°358
28°4695471047264741475647724787480248184833484861°358
29°4848486348794894490949244939495549704985500060°358
30°5000501550305045506050755090510551205135515059°358
sin0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3'
60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'cos
31°5150516551805195521052255240525552705284529958°257
32°5299531453295344535853735388540254175432544657°257
33°5446546154765490550555195534554855635577559256°257
34°5592560656215635565056645678569357075721573655°257
35°5736575057645779579358075821583558505864587854°257
36°5878589259065920593459485962597659906004601853°257
37°6018603260466060607460886101611561296143615752°257
38°6157617061846198621162256239625262666280629351°257
39°6293630763206334634763616374638864016414642850°247
40°6428644164556468648164946508652165346547656149°247
41°6561657465876600661366266639665266656678669148°247
42°6691670467176730674367566769678267946807682047°246
43°6820683368456858687168846896690969216934694746°246
44°6947695969726984699770097022703470467059707145°246
45°7071708370967108712071337145715771697181719344°246
sin0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3'
60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'cos
46°7193720672187230724272547266727872907302731443°246
47°7314732573377349736173737385739674087420743142°246
48°7431744374557466747874907501751375247536754741°246
49°7547755975707581759376047615762776387649766040°246
50°7660767276837694770577167727773877497760777139°246
51°7771778277937804781578267837784878597869788038°245
52°7880789179027912792379347944795579657976798637°245
53°7986799780078018802880398049805980708080809036°235
54°8090810081118121813181418151816181718181819235°235
55°8192820282118221823182418251826182718281829034°235
56°8290830083108320832983398348835883688377838733°235
57°8387839684068415842584348443845384628471848032°235
58°8480849084998508851785268536854585548563857231°235
59°8572858185908599860786168625863486438652866030°134
60°8660866986788686869587048712872187298738874629°134
sin0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3'
60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'cos
61°8746875587638771878087888796880588138821882928°134
62°8829883888468854886288708878888688948902891027°134
63°8910891889268934894289498957896589738980898826°134
64°8988899690039011901890269033904190489056906325°134
65°9063907090789085909291009107911491219128913524°124
66°9135914391509157916491719178918491919198920523°123
67°9205921292199225923292399245925292599265927222°123
68°9272927892859291929893049311931793239330933621°123
69°9336934293489354936193679373937993859391939720°123
70°9397940394099415942194269432943894449449945519°123
71°9455946194669472947894839489949495009505951118°123
72°9511951695219527953295379542954895539558956317°123
73°9563956895739578958395889593959896039608961316°122
74°9613961796229627963296369641964696509655965915°122
75°9659966496689673967796819686969096949699970314°112
sin0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3'
60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'cos
76°9703970797119715972097249728973297369740974413°112
77°9744974897519755975997639767977097749778978112°112
78°9781978597899792979697999803980698109813981611°112
79°9816982098239826982998339836983998429845984810°112
80°98489851985498579860986398669869987198749877011
81°98779880988298859888989098939895989899009903011
82°99039905990799109912991499179919992199239925011
83°99259928993099329934993699389940994299439945011
84°99459947994999519952995499569957995999609962011
85°99629963996599669968996999719972997399749976001
86°99769977997899799980998199829983998499859986000
87°99869987998899899990999099919992999399939994000
88°99949995999599969996999799979997999899989998000
89°999899999999999999991. 01.01.01.01.01.0000
90°1
sin0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3'
60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'cos

Таблица Брадиса tg, ctg
tg0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3'
60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'ctg
090°
0,000001700350052007000870105012201400157017589°369
0175019202090227024402620279029703140332034988°369
0349036703840402041904370454047204890507052487°369
0524054205590577059406120629064706640682069986°369
06990717073407520769078708050822084008570,087585°369
0,0875089209100928094509630981099810161033105184°369
1051106910861104112211391157117511921210122883°369
1228124612631281129913171334135213701388140582°369
1405142314411459147714951512153015481566158481°369
15841602162016381655167316911709172717450,176380°369
10°0,1763178117991817183518531871189019081926194479°369
11°1944196219801998201620352053207120892107212678°369
12°2126214421622180219922172235225422722290230977°369
13°2309232723452364238224012419243824562475249376°369
14°24932512253025492568258626052623264226610,267975°369
tg0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3'
60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'ctg
15°0,2679269827172736275427732792281128302849286774°369
16°2867288629052924294329622981300030193038305773°369
17°3057307630963115313431533172319132113230324972°3610
18°3249326932883307332733463365338534043424344371°3610
19°34433463348235023522354135613581360036200,364070°3710
20°0,3640365936793699371937393759377937993819383969°3710
21°3839385938793899391939393959397940004020404068°3710
22°4040406140814101412241424163418342044224424567°3710
23°4245426542864307432743484369439044114431445266°3710
24°44524473449445154536455745784599462146420,466365°4711
25°0,4663468447064727474847704791481348344856487764°4711
26°4877489949214942496449865008502950515073509563°4711
27°5095511751395161518452065228525052725295531762°4711
28°5317534053625384540754305452547554985520554361°4811
29°55435566558956125635565856815704572757500,577460°4812
tg0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3'
60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'ctg
30°0,5774579758205844586758905914593859615985600959°4812
31°6009603260566080610461286152617662006224624958°4812
32°6249627362976322634663716395642064456469649457°4812
33°6494651965446569659466196644666966946720674556°4813
34°67456771679668226847687368996924695069760,700255°4913
35°0,7002702870547080710771337159718672127239726554°4813
36°7265729273197346737374007427745474817508753653°5914°
37°7536756375907618764676737701772977577785781352°5914
38°7813784178697898792679547983801280408069809851°5914
39°80988127815681858214824382738302833283610,839150°510 15
40°0,83918421845184818511854185718601863286620,869349°51015
41°8693872487548785881688478878891089418972900448°51016
42°9004903690679099913191639195922892609293932547°61116
43°93259358939194249457949095239556959096230,965746°61117
44°96579691972597599793982798619896993099651,000045°61117
tg0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3'
60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'ctg
45°1,0000003500700105014101760212024702830319035544°61218
46°0355039204280464050105380575061206490686072443°61218
47°0724076107990837087509130951099010281067110642°61319
48°1106114511841224126313031343138314231463150441°71320
49°15041544158516261667170817501792183318751,191840°71421
50°1,1918196020022045208821312174221822612305234939°71422
51°2349239324372482252725722617266227082753279938°81523
52°2799284628922938298530323079312731753222327037°81624
53°3270331933673416346535143564361336633713376436°81625
54°37643814386539163968401940714124417642291,428135°91726
55°1,4281433543884442449645504605465947154770482634°91827
56°4826488249384994505151085166522452825340539933°101929
57°5399545855175577563756975757581858805941600332°102030
58°6003606661286191625563196383644765126577664331°112132
59°66436709677568426909697770457113718272511,732130°112334
tg0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3'
60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'ctg
60°1,7321,7391,7461,7531,7601,7671,7751,7821,7891,7971,80429°124
61°1,8041,8111,8191,8271,8341,8421,8491,8571,8651,8731,88128°134
62°1,8811,8891,8971,9051,9131,9211,9291,9371,9461,9541,96327°134
63°1,9631,9711,9801,9881,9972,0062,0142,0232,0322,0412,0526°134
64°2,0502,0592,0692,0782,0872,0972,1062,1162,1252,1352,14525°235
65°2,1452,1542,1642,1742,1842,1942,2042,2152,2252,2362,24624°235
66°2,2462,2572,2672,2782,2892,32,3112,3222,3332,3442,35623°245
67°2,3562,3672,3792,3912,4022,4142,4262,4382,4502,4632,47522°246
68°2,4752,4882,52,5132,5262,5392,5522,5652,5782,5922,60521°246
69°2,6052,6192,6332,6462,662,6752,6892,7032,7182,7332,74720°257
70°2,7472,7622,7782,7932,8082,8242,8402,8562,8722,8882,90419°358
71°2,9042,9212,9372,9542,9712,9893,0063,0243,0423,063,07818°369
72°3,0783,0963,1153,1333,1523,1723,1913,2113,2303,2513,27117°3610
73°3,2713,2913,3123,3333,3543,376 3710
 3,3983,423,4423,4653,48716°4711
74°3,4873,5113,5343,5583,5823,606 4812
 3,6303,6553,6813,7063,73215°4813
75°3,7323,7583,7853,8123,8393,867 4913
 3,8953,9233,9523,9814,01114°51014
tg0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3'
60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'ctg

Гаечные ключи: Таблица соответствия дюймового (американского, имперского. .) и метрического (европейского...) рядов гаечных ключей.

Гаечные ключи: рожковый, накидной, разводной. Таблица соответствия дюймового (американского) и метрического (европейского) рядов гаечных ключей.

Гаечный ключ - это инструмент для соединения или рассоединения резьбового соединения путём закручивания или раскручивания гаек, болтов и иных сопутствующих деталей. Типов гаечных ключей множество и важно понимать их различие и назначение. Кроме того, как правило гаечные ключи используются попарно - один из ключей фиксирует головку болта, а второй откручивает или закручивает зайку.

- Рожковый ключ. Самый распространённый и простой вид ключей. Ключ, рабочая поверхность которого охватывает крепежную деталь с двух или трёх сторон за счёт U-образной формы. Чаще всего, рожковые ключи двухсторонние, с близкими по размеру рабочими областями (например 8-10 или 11-13). Недостатки подобного вида ключей - для охвата даже базовых типоразмеров необходимо иметь подобных ключей целый набор.  Рабочая поверхность ключа повёрнута под углом 15° к продольной оси для удобства работы в труднодоступных местах.

- Накидной ключ, рабочий профиль которого охватывает со всех сторон крепёжную деталь, повторяя профиль детали. Подобный тип ключей чаще всего тоже двухсторонний. Существуют накидные ключи с храповиком, позволяющим откручивать (закручивать) гайку (болт), не переставляя ключа.

- Комбинированный ключ: на одном конце тела которых расположена накидная, а на другом — рожковая головка. Обе головки подобных ключей имеют одинаковый размер.


- Торцевой ключ, предназначенный для закручивания (откручивания) деталей, расположенных в специфических и труднодоступных местах, а так же когда применение других типов ключей невозможно, например, в нишах и углублениях. Очень часто применяется для крепления колёс автомобилей.

- Разводной ключ это разновидность рожкового ключа, у которого просвет губок (размер ключа) может плавно изменяться в широких пределах. Под разводным ключом понимается ключ, у которого одна из губок приводится в движение червяком.

- Трубный ключ является разновидностью разводного ключа - он позволяет зажимать деталь при помощи рычага.

- Переставной ключ часто применяется для работы с трубами с сфере сантехники.


В том случае, если закручивать нужно много и небольшого размера, есть смысл рассмотреть вариант торцевых головок для шуруповёртов (или отвёрток)  - это очень упростит и ускорит работу.

Для того, чтобы разобраться с размерами гаечных ключей - воспользуйтесь таблицей ниже:

США ( и не только)
(дюймов)

Метрические
"европейские"(мм)

5/32 3.97
- 4
3/16 4.76
- 5
13/64 5. 16
7/32 5.56
15/63 6.05
- 6
1/4 6.35
17/64 6.75
- 7
9/32 7.14
5/16 7.94
- 8
11/32 8.73
- 9
3/8 9.53
- 10
- 11
7/16 11.11
15/32 11.91
- 12
1/2 12.7
- 13
17/32 13.49
- 14
9/16 14.29
- 15
19/32 15.08
5/8 15.88
- 16
21/32 16. 67
- 17
11/16 17.46
- 18
- 19
3/4 19.05
25/32 19.84
- 20
13/16 20.64
- 21
- 22
7/8 22.23
23
29/32 23.02
15/16 23.81
- 24
31/32 24.61
- 25
1 25.40
- 26
1 1/16 26.99
- 27
- 28
1 1/8 28.58
- 29
- 30
1 3/16 30.16
- 31
1 1/4 31. \circ =0\).

Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:

\( \displaystyle \text{t}g\ \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\), \( \displaystyle ctg\ \alpha =\frac{cos\ \alpha }{sin\ \alpha }\)

Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

Тригонометрия

Тригонометрия (от греч. Тригонон «треугольник» + метрон «мера»)

Хотите изучить тригонометрию? Вот краткое изложение.
Чтобы узнать больше, перейдите по ссылкам или перейдите в Индекс тригонометрии

Тригонометрия ... всего около треугольника.

Тригонометрия помогает нам находить углы и расстояния и широко используется в науке, технике, видеоиграх и многом другом!

Прямоугольный треугольник

Наибольший интерес представляет прямоугольный треугольник.Прямой угол показан маленькой рамкой в ​​углу:

Другой угол часто обозначается как θ, и тогда три стороны обозначаются:

  • Соседний : Соседний (рядом) угол θ
  • Напротив : напротив угла θ
  • , а самая длинная сторона - Гипотенуза

Почему прямоугольный треугольник?

Почему этот треугольник так важен?

Представьте, что мы можем измерять вдоль и поперек, но хотим знать прямое расстояние и угол:

Тригонометрия может найти недостающий угол и расстояние.

Или, может быть, у нас есть расстояние и угол, и нам нужно «нанести точку» вдоль и вверх:

Подобные вопросы часто встречаются в инженерии, компьютерной анимации и т. Д.

И тригонометрия дает ответы!

Синус, косинус и тангенс

Основные функции в тригонометрии: Синус, косинус и тангенс

Это просто одна сторона прямоугольного треугольника, разделенная на другую.

Для любого угла " θ ":

(Синус, косинус и тангенс часто сокращаются до sin, cos и tan.)

Пример: Что такое синус 35 °?

Используя этот треугольник (длины до одного десятичного знака):

sin (35 °) = Напротив Гипотенуза = 2,8 4,9 = 0,57 ...

Треугольник может быть больше, меньше или перевернут, но этот угол всегда будет иметь соотношение .

У калькуляторов

в помощь нам есть sin, cos и tan, поэтому давайте посмотрим, как ими пользоваться:

Пример: насколько высокое дерево?

Нам не добраться до вершины дерева, поэтому мы уходим и измеряем угол (с помощью транспортира) и расстояние (с помощью лазера):

  • Мы знаем Гипотенуза
  • И мы хотим знать напротив

Синус - это отношение Противоположность / Гипотенуза :

грех (45 °) = Напротив Гипотенуза

Возьмите калькулятор, введите «45», затем нажмите клавишу «sin»:

sin (45 °) = 0. 7071 ...

Что означает 0,7071 ... ? Это отношение длин сторон, так что Противоположность примерно на 0,7071 в раз длиннее Гипотенузы.

Теперь мы можем поставить 0,7071 ... вместо sin (45 °):

0,7071 ... = Напротив Гипотенуза

И мы также знаем, что гипотенуза равна 20 :

0,7071 ... = Напротив 20

Чтобы решить, сначала умножьте обе части на 20:

20 × 0.7071 ... = Напротив

Наконец:

Напротив = 14,14 м (до 2 знаков после запятой)

Когда вы наберетесь опыта, вы сможете сделать это быстро следующим образом:

Пример: насколько высокое дерево?

Начать с: sin (45 °) = Напротив Гипотенуза

Мы знаем: 0,7071 ... = Напротив 20

Поменять местами: Напротив 20 = 0. 7071 ...

Умножить обе стороны на 20 : Противоположное = 0,7071 ... × 20

Вычислить: Противоположное = 14,14 (до 2 знаков после запятой)

Дерево 14,14 м высотой

Попробуйте Sin Cos and Tan

Поиграйте с этим некоторое время (перемещайте мышь) и ознакомьтесь со значениями синуса, косинуса и тангенса для разных углов, таких как 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° и 90 °.

Также попробуйте 120 °, 135 °, 180 °, 240 °, 270 ° и т. Д. И обратите внимание, что позиции могут быть положительными или отрицательными по правилам декартовых координат, поэтому синус, косинус и тангенс также изменяются между положительным и отрицательным .

Итак, тригонометрия - это тоже окружности !

Единичный круг

То, с чем вы только что играли, - это Unit Circle.

Это круг с радиусом 1 с центром в 0.

Поскольку радиус равен 1, мы можем напрямую измерить синус, косинус и тангенс.

Здесь мы видим синусоидальную функцию единичной окружности:

Примечание: вы можете увидеть красивые графики, состоящие из синуса, косинуса и тангенса.

градусов и радиан

Углы могут быть в градусах или радианах. Вот несколько примеров:

Уголок градусов Радианы
Прямоугольный 90 ° π / 2
__ Прямой угол 180 ° π
Полное вращение 360 °

Повторяющийся узор

Поскольку угол вращается вокруг окружности , функции синуса, косинуса и тангенса повторяются один раз при каждом полном вращении (см. Амплитуда, Период, Фазовый сдвиг и Частота).

Когда мы хотим вычислить функцию для угла, большего, чем полный оборот на 360 ° (2π радиан), мы вычитаем столько полных оборотов, сколько необходимо, чтобы вернуть его ниже 360 ° (2π радиан):

Пример: что такое косинус 370 °?

370 ° больше 360 °, поэтому вычтем 360 °

370 ° - 360 ° = 10 °

cos (370 °) = cos (10 °) = 0,985 (до 3 знаков после запятой)

А когда угол меньше нуля, просто добавьте полные обороты.

Пример: какой синус у −3 радиана?

−3 меньше 0, поэтому добавим 2π радиан

−3 + 2π = −3 + 6,283 ... = 3,283 ... радиан

sin (−3) = sin (3,283 ...) = −0,141 (до 3 знаков после запятой)

Решение треугольников

Тригонометрия также полезна для обычных треугольников, а не только для прямоугольных.

Это помогает нам разгадывать треугольники. «Решение» означает поиск недостающих сторон и углов.

Мы также можем найти недостающие длины сторон.Общее правило:

Когда мы знаем какие-либо 3 стороны или углы, мы можем найти остальные 3
(за исключением случая с тремя углами)

См. «Решение треугольников» для более подробной информации.

Другие функции (котангенс, секанс, косеканс)

Подобно синусу, косинусу и касательности, есть еще три тригонометрические функции , которые выполняются делением одной стороны на другую:

Косеканс, функция:

csc ( θ ) = Гипотенуза / Напротив

Секущая функция:

сек ( θ ) = Гипотенуза / смежный

Функция котангенса:

детская кроватка ( θ ) = рядом / напротив

Тригонометрические и треугольные идентичности

И по мере того, как вы станете лучше разбираться в тригонометрии, вы сможете выучить это:

Наслаждайтесь становлением экспертом по треугольникам (и кругам)!

Тригонометрических формул - Бесплатная справка по математике

Тригонометрия: (урок 1 из 3)

Тригонометрические формулы

$$ \ begin {выровнено} \ sin \ alpha & = \ frac {напротив} {гипотенуза} \\ \ cos \ alpha & = \ frac {смежный} {гипотенуза} \\ \ tan \ alpha & = \ frac {напротив} {смежный} \\ \ cot \ alpha & = \ frac {смежный} {противоположный} \\ \ sec \ alpha & = \ frac {hypotenuse} {смежный} \\ \ csc \ alpha & = \ frac {hypotenuse} {напротив} \ end {выровнен} $$

Взаимные свойства:

$$ \ begin {выровнено} \ cot (x) & = \ frac {1} {\ tan (x)} \\ \ csc (x) & = \ frac {1} {\ sin (x)} \\ \ sec (x) & = \ frac {1} {\ cos (x)} \\ \ end {выровнен} $$ $$ \ begin {выровнено} \ tan (x) \ cot (x) & = 1 \\ \ sin (x) \ csc (x) & = 1 \\ \ соз (х) \ сек (х) & = 1 \ end {выровнен} $$

Частные свойства:

$$ \ begin {выровнено} \ tan (x) & = \ frac {\ sin (x)} {\ cos (x)} \\ \ cot (x) & = \ frac {\ cos (x)} {\ sin (x)} \\ \ tan (x) & = \ frac {\ sec (x)} {\ csc (x)} \\ \ cot (x) & = \ frac {\ csc (x)} {\ sec (x)} \\ \ tan (x) & = \ frac {\ sec (x)} {\ csc (x)} \\ \ cot (x) & = \ frac {\ csc (x)} {\ sec (x)} \ end {выровнен} $$

Нечетные / четные идентификаторы

$$ \ begin {выровнено} \ sin (-x) & = - \ sin (x) \\ \ cos (-x) & = - \ cos (x) \\ \ tan (-x) & = - \ tan (x) \\ \ csc (-x) & = - \ csc (x) \\ \ sec (-x) & = - \ sec (x) \\ \ cot (-x) & = - \ cot (x) \ end {выровнен} $$

Идентификатор функции -

радиан $$ \ begin {выровнено} \ sin (\ frac {\ pi} {2} - x) & = \ cos (x) \\ \ cos (\ frac {\ pi} {2} - x) & = \ sin (x) \\ \ tan (\ frac {\ pi} {2} - x) & = \ cot (x) \\ \ cot (\ frac {\ pi} {2} - x) & = \ tan (x) \ end {выровнен} $$

Идентификаторы совместных функций - степени

$$ \ begin {выровнено} \ sin (90 ^ \ circ - x) & = \ cos (x) \\ \ cos (90 ^ \ circ - x) & = \ sin (x) \\ \ tan (90 ^ \ circ - x) & = \ cot (x) \\ \ cot (90 ^ \ circ - x) & = \ tan (x) \ end {выровнен} $$

Идентичности периодичности - радианы

$$ \ begin {выровнено} \ sin (x + 2 \ pi) & = \ sin (x) \\ \ cos (x + 2 \ pi) & = \ cos (x) \\ \ загар (х + \ пи) & = \ загар (х) \\ \ cot (x + \ pi) & = \ cot (x) \ end {выровнен} $$

Идентичность периодичности - градусы

$$ \ begin {выровнено} \ sin (x + 360 ^ \ circ) & = \ sin (x) \\ \ sin (x + 360 ^ \ circ) & = \ cos (x) \\ \ tan (x + 180 ^ \ circ) & = \ tan (x) \\ \ cot (x + 180 ^ \ circ) & = \ cot (x) \ end {выровнен} $$

Сумма / Разница Идентичности

$$ \ begin {выровнено} \ sin (x + y) & = \ sin (x) \ cos (y) + \ cos (x) \ sin (y) \\ \ cos (x + y) & = \ cos (x) \ cos (y) - \ sin (x) \ sin (y) \\ \ tan (x + y) & = \ frac {\ tan (x) + \ tan y} {1 - \ tan (x) \ cdot \ tan (y)} \\ \ sin (x - y) & = \ sin (x) \ cos (y) - \ cos (x) \ sin (y) \\ \ cos (x - y) & = \ cos (x) \ cos (y) + \ sin (x) \ sin (y) \\ \ tan (x - y) & = \ frac {\ tan (x) - \ tan (y)} {1 + \ tan (x) \ cdot \ tan (y)} \ end {выровнен} $$

Двойные углы идентификации

$$ \ begin {выровнено} \ sin (2x) & = 2 \ sin (x) \ cos (x) \\ \ cos (2x) & = \ cos ^ 2 (x) - \ sin ^ 2 (x) \\ \ cos (2x) & = 2 \ cos ^ 2 (x) - 1 \\ \ cos (2x) & = 1-2 \ sin ^ 2 (x) \\ \ tan (2x) & = [2 \ tan (x)] / [1 - \ tan ^ 2 (x)] \ end {выровнен} $$

Полуугловые идентификаторы

$$ \ begin {выровнено} \ sin (\ frac {x} {2}) & = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (x)} {2}} \\ \ cos (\ frac {x} {2}) & = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + \ cos (x)} {2}} \\ \ cos (\ frac {x} {2}) & = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (x)} {1 + \ cos (x)}} \ end {выровнен} $$

Обозначение продукта

$$ \ begin {выровнено} \ sin (x) \ cdot \ cos (y) & = \ frac {\ sin (x + y) + \ sin (x - y)} {2} \\ \ cos (x) \ cdot \ cos (y) & = \ frac {\ cos (x + y) + \ cos (x - y)} {2} \\ \ sin (x) \ cdot \ sin (y) & = \ frac {\ cos (x + y) - \ cos (x - y)} {2} \ end {выровнен} $$

Сумма для идентификаторов продуктов

$$ \ begin {выровнено} \ sin (x) + \ sin (y) & = 2 \ sin (\ frac {x + y} {2}) \ cos (\ frac {x - y} {2}) \\ \ sin (x) - \ sin (y) & = 2 \ cos (\ frac {x + y} {2}) \ sin (\ frac {x - y} {2}) \\ \ cos (x) + \ cos (y) & = 2 \ cos (\ frac {x + y} {2}) \ cos (\ frac {x - y} {2}) \\ \ cos (x) - \ cos (y) & = - 2 \ sin (\ frac {x + y} {2}) \ sin (\ frac {x - y} {2}) \ end {выровнен} $$

Секущая функция (сек) - Тригонометрия

Секущая функция (сек) - Тригонометрия - Math Open Reference (См. Также Секанс круга).

В прямоугольном треугольнике секущая угла - это длина гипотенузы, деленная на длина прилегающей стороны. В формуле это сокращается до «сек».

Из шести возможных тригонометрических функций секущая котангенс и косекансные, используются редко. Фактически, у большинства калькуляторов нет кнопки для них, и библиотеки программных функций не включают их.

Их можно легко заменить производными от более распространенных трех: sin, cos и tan.
Секанс может быть получен как величина, обратная косинусу:

Функция обратной секущей - arcsec

Для каждой тригонометрической функции, такой как sec, существует обратная функция, которая работает в обратном порядке. Эти обратные функции имеют то же имя, но с дугой впереди. Таким образом, обратное значение sec - arcsec и т. Д. Когда мы видим «arcsec A», мы интерпретируем его как «угол, секанс которого равен A».

сек 60 = 2.000 Означает: Секанс 60 градусов равен 2. 000
угл. Сек 2.0 = 60 означает: угол, секанс которого равен 2,0, равен 60 градусам.

Иногда записывается как asec или sec -1

Большие и отрицательные углы

В прямоугольном треугольнике два переменных угла всегда меньше 90 °. (См. Внутренние углы треугольника). Но на самом деле мы можем найти секанс любого угла, независимо от того, насколько он велик, а также секанс отрицательных углов. Подробнее об этом см. Функции больших и отрицательных углов.

График секущей функции

Поскольку секущая функция является обратной функцией косинусной функции, она стремится к бесконечности, когда функция косинуса равна нулю.

Производная от sec (x)

В расчетах производная сек (x) равна сек (x) tan (x) . Это означает, что при любом значении x скорость изменения или наклона сек (x) составляет сек (x) tan (x) .

Подробнее об этом см. Производные тригонометрических функций вместе с производными других тригонометрических функций.См. Также Оглавление по исчислению.

Другие темы по тригонометрии

Уголки

Тригонометрические функции

Решение задач тригонометрии

Исчисление

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

РУКОВОДСТВО ПО ТРИГОНОМЕТРИИ

Приведенная выше диаграмма представляет собой прямоугольный треугольник со сторонами, обозначенными в терминах угла A.
(Да, гипотенуза также является «смежной» стороной угла A, но она всегда обозначается как гипотенуза.Между прочим, гипотенуза всегда самая длинная сторона прямоугольного треугольника, а всегда напротив прямой угол.)

Предположим, что угол A равен 40 °. Использование удобной тригонометрии калькулятор, мы ищем синус 40 ° и обнаруживаем, что это 0,64279, но что именно это означает? Глядя на определение, мы видим, что синус угла - это отношение длины противоположной стороны деленное на длина гипотенузы . Итак, мы можем сказать:

синус (40 °) = 0,64279 = противоположная сторона ÷ гипотенуза

Это означает, что для каждый прямоугольный треугольник с углом 40 °, отношение противоположной стороны к гипотенуза будет , всегда будет 0,64279.
Предположим, у нас есть такой треугольник, и мы знаем, что длина гипотенузы составляет 7 футов. Как долго Обратная сторона?
Из вышесказанного мы показали, что 0,64279 = противоположная сторона ÷ гипотенуза. Используя небольшую алгебру, мы можем говорят, что противоположная сторона = 0.64279 • гипотенуза или 0,64279 • 7. Следовательно, противоположная сторона = 4,4995 футов.

Если бы мы хотели найти длину третьей стороны (соседней стороны), мы могли бы использовать пифагорова Теорема, но мы можем решить ее с помощью тригонометрии.
Из приведенного выше графика видно, что косинус угла A = смежная сторона ÷ гипотенуза. Используя калькулятор, находим, что косинус 40 ° = 0,76604 и поэтому:

косинус (40 °) = 0,76604 = смежная сторона ÷ гипотенуза Используя небольшую алгебру, мы можем сказать, что
смежная сторона = 0. 76604 • гипотенуза
смежная сторона = 0,76604 • 7
смежная сторона = 5,3623 фута

Просто чтобы быть абсолютно уверенным в наших расчетах (и иметь предлог, чтобы показать еще один тригонометрический функция), мы видим, что касательная функция является отношение противоположной стороны к соседней стороне.
В этом случае противоположная сторона, деленная на соседнюю, составляет 4,4995 ÷ 5,3623, что равно 0,83911. Если посмотреть на калькуляторе тангенс 40 ° вверх, видно, что равно 0,8391, что чертовски хорошо согласуется, не так ли?

Синус, косинус и тангенс - наиболее часто используемые тригонометрические функции.Есть еще 3 функции (котангенс, секанс и косеканс), но поскольку это всего лишь введение в тригонометрию, там нет необходимости обсуждать это. (Но если вам действительно нужно знать , вы можете найти определения на калькуляторе, а также на других страницах).

Углы в радианах

В конце концов, изучая тригонометрию, вы встретите термин радиан . Как градусы, радиан - это единица измерения угла, но в отличие от градусов, это не какая-то произвольная единица измерения было удобно выбрано.
радиан - это центральный угол окружности (∠A), образованной дугой. (красная линия), длина которого точно равна радиусу. Посмотрим, как это получается.

Из формул для окружности мы видим, что длина окружности

= 2 • π • радиус
Таким образом, для в каждой окружности 2 радиуса π образуют «центральный угол» 360 °
, и, следовательно, один радиус будет расширять центральный угол
360 ° ÷ (2 • π) ​​= 180 ° ÷ π = 57,295779513 ... градусов = 1 радиан

Некоторые из наиболее распространенных углов, выражаемых в радианах:

180 ° = π радиан 90 ° = π ÷ 2 радиана 60 ° = π ÷ 3 радиана 45 ° = π ÷ 4 радиан 30 ° = π ÷ 6 радиан 20 ° = π ÷ 9 радиан 15 ° = π ÷ 12 радиан 10 ° = π ÷ 18 радиан 5 ° = π ÷ 36 радиан

Чтобы преобразовать градусов в радианы, умножьте на (π ÷ 180)
Для преобразования радиан в градусы умножьте на (180 ÷ π)
Или вот конвертер углов, который вы можете использовать.

Чем дальше вы продвигаетесь по математике, тем чаще вы будете встречать угловые меры в радианах, а не в градусов. Вы можете видеть причину, поскольку радиан выводится из его отношения к круг.


Обратные тригонометрические функции

Термин «обратное» немного обманчив, поскольку подразумевает обратное. Чтобы сделать еще больше сбивает с толку, сокращения для этих функций также, кажется, предполагают обратное.Например, функция обратного синуса sin -1 , но не означает 1 / синус. Хорошо, посмотрим, что это означает .

Обратные тригонометрические функции также известны как дуговые функции .
Так же, как есть 6 тригонометрических функций, есть также 6 тригонометрических функций дуги - арксинус, арккосинус и т. д.
Функция дуги означает угол , тригонометрическая функция которого равна определенному значению.
Другими словами, если тригонометрическая функция ∠ y = x, то дуговая функция x это ∠ y.
Например, арксинус 0,64279 равен 40 °.

Если мы построим график тригонометрических функций (см. Ниже), мы увидим, что каждые из шести тригонометрических дуговых функций могут имеют 2 значения.
Например, глядя на синусоидальный график, мы видим, что арксинус 0,5 может составлять 30 ° или 150 °. Если посмотреть на график касательной, арктангенс 1,732 может составлять 60 ° или 240 °.
Выше мы утверждали, что арксинус 0.64279 равно 40 °, но это также 140 °
Если мы вызываем одно значение функции дуги ∠y и вызываем значение второй функции дуги ∠y 2 тогда у нас есть эти 6 формул для определения значений второй функции дуги:

Графики шести тригонометрических функций




Перейти к второй странице
Решение наклонных треугольников с использованием закона синусов и косинусов Перейти на третью страницу
Решение наклонных треугольников без с использованием закона синусов и косинусов
Вернуться на главную страницу

Авторские права © 2000 1728 Software Systems

Тригонометрические идентичности | Purplemath

Purplemath

В математике «идентичность» - это всегда истинное уравнение. Они могут быть «тривиально» истинными, например « x = x », или практически истинными, например « a 2 + b 2 = c 2 » из теоремы Пифагора. прямоугольные треугольники. Существует множество тригонометрических отождествлений, но следующие из них вы, скорее всего, увидите и будете использовать.

Базовый и пифагорейский, сумма углов и разность, двойной угол, полуугол, сумма, произведение

MathHelp.com

Нужен индивидуальный курс математики?
K12 | Колледж | Подготовка к экзамену


Основные и пифагорейские тождества

Обратите внимание на то, что триггерное отношение «со- (чего-то)» всегда является обратной величиной некоторого «несоциального» отношения. Вы можете использовать этот факт, чтобы понять, что косеканс идет с синусом, а секанс - с косинусом.

Следующие ниже тождества (особенно первая из трех ниже) называются «пифагорейскими» идентичностями.

sin 2 ( t ) + cos 2 ( t ) = 1

тангенциальный 2 ( т ) + 1 = сек 2 ( т )

1 + детская кроватка 2 ( т ) = csc 2 ( т )

Обратите внимание, что все три идентичности включают возведение в квадрат и число 1.Вы можете ясно увидеть отношение Пифагора-Тэома, если вы рассмотрите единичную окружность, где угол составляет t , «противоположная» сторона - sin ( t ) = y , «смежная» сторона - cos ( t ) = x , а гипотенуза равна 1.

У нас есть дополнительные идентификаторы, связанные с функциональным статусом триггерных соотношений:

sin ( –t ) = - sin ( t )

cos ( –t ) = cos ( t )

tan ( –t ) = - tan ( t )

Обратите внимание, в частности, что синус и тангенс являются нечетными функциями, симметричными относительно начала координат, а косинус - четной функцией, симметричной относительно оси y . Тот факт, что вы можете вынести знак «минус» аргумента за пределы (для синуса и тангенса) или полностью исключить его (для косинуса), может быть полезным при работе со сложными выражениями.


Тождества суммы углов и разности

sin (α + β) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β)

sin (α - β) = sin (α) cos (β) - cos (α) sin (β)

cos (α + β) = cos (α) cos (β) - sin (α) sin (β)

cos (α - β) = cos (α) cos (β) + sin (α) sin (β)

Кстати, в указанных тождествах углы обозначены греческими буквами.Буква А-типа, «а», называется «альфа», что произносится как «аль-фу». Буква b-типа, «β», называется «бета», что произносится как «BAY-tuh».


Двойные углы идентификации

sin (2 x ) = 2 sin ( x ) cos ( x )

cos (2 x ) = cos 2 ( x ) - sin 2 ( x ) = 1-2 sin 2 ( x ) = 2 cos 2 ( x ) - 1


Полуугловые идентификаторы

Вышеупомянутые идентичности можно переформулировать путем возведения квадратов каждой стороны и удвоения всех угловых мер. Результаты следующие:

sin 2 ( x ) = ½ [1 - cos (2 x )]

cos 2 ( x ) = ½ [1 + cos (2 x )]


Партнер


Сумма идентификаторов


Обозначения продукта

Вы будете использовать все эти тождества или почти все эти тождества для доказательства других триггерных тождеств и для решения тригонометрических уравнений.Однако, если вы собираетесь изучать исчисление, обратите особое внимание на переформулированные тождества синуса и косинуса половинного угла, потому что вы будете использовать их лот в интегральном исчислении.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *