Тригонометрический ключ: Тригонометрический круг - материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Содержание

Тригонометрический круг — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

Вот что мы видим на этом рисунке:

Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
И синус, и косинус принимают значения от до .
Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Например:

;

;
;

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

,
.

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

,
.

Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

,
,

где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

,
.

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

В результате получим следующую таблицу.

Таблица Брадиса sin cos tg ctg

Калькулятор поможет рассчитать точные значения тригонометрических функций sin, cos, tg и ctg для различных значений углов в градусах или радианах.

На данной странице таблица Брадиса, которая дает значение sin, cos, tg, ctg любого острого угла, содержащего целое число градусов и десятых долей градуса. Для нахождения значения угла берется число на пересечении строки, которое соответствует числу градусов и столбца, которое соответствует числу минут. Например, sin 70°30′ = 0.9426.

Найти точное значение

Таблица Брадиса sin, cos

sin	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	cos
											0	90°
0°	0,0000	0017	0035	0052	0070	0087	0105	0122	0140	0157	0175	89°	3	6	9
1°	0175	0192	0209	0227	0244	0262	0279	0297	0314	0332	0349	88°	3	6	9
2°	0349	0366	0384	0401	0419	0436	0454	0471	0488	0506	0523	87°	3	6	9
3°	0523	0541	0558	0576	0593	0610	0628	0645	0663	0680	0698	86°	3	6	9
4°	0698	0715	0732	0750	0767	0785	0802	0819	0837	0854	0872	85°	3	6	9
5°	0872	0889	0906	0924	0941	0958	0976	0993	1011	1028	1045	84°	3	6	9
6°	1045	1063	1080	1097	1115	1132	1149	1167	1184	1201	1219	83°	3	6	9
7°	1219	1236	1253	1271	1288	1305	1323	1340	1357	1374	1392	82°	3	6	9
8°	1392	1409	1426	1444	1461	1478	1495	1513	1530	1547	1564	81°	3	6	9
9°	1564	1582	1599	1616	1633	1650	1668	1685	1702	1719	1736	80°	3	6	9
10°	1736	1754	1771	1788	1805	1822	1840	1857	1874	1891	1908	79°	3	6	9
11°	1908	1925	1942	1959	1977	1994	2011	2028	2045	2062	2079	78°	3	6	9
12°	2079	2096	2113	2130	2147	2164	2181	2198	2215	2233	2250	77°	3	6	9
13°	2250	2267	2284	2300	2317	2334	2351	2368	2385	2402	2419	76°	3	6	8
14°	2419	2436	2453	2470	2487	2504	2521	2538	2554	2571	2588	75°	3	6	8
15°	2588	2605	2622	2639	2656	2672	2689	2706	2723	2740	2756	74°	3	6	8
sin	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	cos
16°	2756	2773	2790	2807	2823	2840	2857	2874	2890	2907	2924	73°	3	6	8
17°	2924	2940	2957	2974	2990	3007	3024	3040	3057	3074	3090	72°	3	6	8
18°	3090	3107	3123	3140	3156	3173	3190	3206	3223	3239	3256	71°	3	6	8
19°	3256	3272	3289	3305	3322	3338	3355	3371	3387	3404	3420	70°	3	5	8
20°	3420	3437	3453	3469	3486	3502	3518	3535	3551	3567	3584	69°	3	5	8
21°	3584	3600	3616	3633	3649	3665	3681	3697	3714	3730	3746	68°	3	5	8
22°	3746	3762	3778	3795	3811	3827	3843	3859	3875	3891	3907	67°	3	5	8
23°	3907	3923	3939	3955	3971	3987	4003	4019	4035	4051	4067	66°	3	5	8
24°	4067	4083	4099	4115	4131	4147	4163	4179	4195	4210	4226	65°	3	5	8
25°	4226	4242	4258	4274	4289	4305	4321	4337	4352	4368	4384	64°	3	5	8
26°	4384	4399	4415	4431	4446	4462	4478	4493	4509	4524	4540	63°	3	5	8
27°	4540	4555	4571	4586	4602	4617	4633	4648	4664	4679	4695	62°	3	5	8
28°	4695	4710	4726	4741	4756	4772	4787	4802	4818	4833	4848	61°	3	5	8
29°	4848	4863	4879	4894	4909	4924	4939	4955	4970	4985	5000	60°	3	5	8
30°	5000	5015	5030	5045	5060	5075	5090	5105	5120	5135	5150	59°	3	5	8
sin	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	cos
31°	5150	5165	5180	5195	5210	5225	5240	5255	5270	5284	5299	58°	2	5	7
32°	5299	5314	5329	5344	5358	5373	5388	5402	5417	5432	5446	57°	2	5	7
33°	5446	5461	5476	5490	5505	5519	5534	5548	5563	5577	5592	56°	2	5	7
34°	5592	5606	5621	5635	5650	5664	5678	5693	5707	5721	5736	55°	2	5	7
35°	5736	5750	5764	5779	5793	5807	5821	5835	5850	5864	5878	54°	2	5	7
36°	5878	5892	5906	5920	5934	5948	5962	5976	5990	6004	6018	53°	2	5	7
37°	6018	6032	6046	6060	6074	6088	6101	6115	6129	6143	6157	52°	2	5	7
38°	6157	6170	6184	6198	6211	6225	6239	6252	6266	6280	6293	51°	2	5	7
39°	6293	6307	6320	6334	6347	6361	6374	6388	6401	6414	6428	50°	2	4	7
40°	6428	6441	6455	6468	6481	6494	6508	6521	6534	6547	6561	49°	2	4	7
41°	6561	6574	6587	6600	6613	6626	6639	6652	6665	6678	6691	48°	2	4	7
42°	6691	6704	6717	6730	6743	6756	6769	6782	6794	6807	6820	47°	2	4	6
43°	6820	6833	6845	6858	6871	6884	6896	6909	6921	6934	6947	46°	2	4	6
44°	6947	6959	6972	6984	6997	7009	7022	7034	7046	7059	7071	45°	2	4	6
45°	7071	7083	7096	7108	7120	7133	7145	7157	7169	7181	7193	44°	2	4	6
sin	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	cos
46°	7193	7206	7218	7230	7242	7254	7266	7278	7290	7302	7314	43°	2	4	6
47°	7314	7325	7337	7349	7361	7373	7385	7396	7408	7420	7431	42°	2	4	6
48°	7431	7443	7455	7466	7478	7490	7501	7513	7524	7536	7547	41°	2	4	6
49°	7547	7559	7570	7581	7593	7604	7615	7627	7638	7649	7660	40°	2	4	6
50°	7660	7672	7683	7694	7705	7716	7727	7738	7749	7760	7771	39°	2	4	6
51°	7771	7782	7793	7804	7815	7826	7837	7848	7859	7869	7880	38°	2	4	5
52°	7880	7891	7902	7912	7923	7934	7944	7955	7965	7976	7986	37°	2	4	5
53°	7986	7997	8007	8018	8028	8039	8049	8059	8070	8080	8090	36°	2	3	5
54°	8090	8100	8111	8121	8131	8141	8151	8161	8171	8181	8192	35°	2	3	5
55°	8192	8202	8211	8221	8231	8241	8251	8261	8271	8281	8290	34°	2	3	5
56°	8290	8300	8310	8320	8329	8339	8348	8358	8368	8377	8387	33°	2	3	5
57°	8387	8396	8406	8415	8425	8434	8443	8453	8462	8471	8480	32°	2	3	5
58°	8480	8490	8499	8508	8517	8526	8536	8545	8554	8563	8572	31°	2	3	5
59°	8572	8581	8590	8599	8607	8616	8625	8634	8643	8652	8660	30°	1	3	4
60°	8660	8669	8678	8686	8695	8704	8712	8721	8729	8738	8746	29°	1	3	4
sin	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	cos
61°	8746	8755	8763	8771	8780	8788	8796	8805	8813	8821	8829	28°	1	3	4
62°	8829	8838	8846	8854	8862	8870	8878	8886	8894	8902	8910	27°	1	3	4
63°	8910	8918	8926	8934	8942	8949	8957	8965	8973	8980	8988	26°	1	3	4
64°	8988	8996	9003	9011	9018	9026	9033	9041	9048	9056	9063	25°	1	3	4
65°	9063	9070	9078	9085	9092	9100	9107	9114	9121	9128	9135	24°	1	2	4
66°	9135	9143	9150	9157	9164	9171	9178	9184	9191	9198	9205	23°	1	2	3
67°	9205	9212	9219	9225	9232	9239	9245	9252	9259	9265	9272	22°	1	2	3
68°	9272	9278	9285	9291	9298	9304	9311	9317	9323	9330	9336	21°	1	2	3
69°	9336	9342	9348	9354	9361	9367	9373	9379	9385	9391	9397	20°	1	2	3
70°	9397	9403	9409	9415	9421	9426	9432	9438	9444	9449	9455	19°	1	2	3
71°	9455	9461	9466	9472	9478	9483	9489	9494	9500	9505	9511	18°	1	2	3
72°	9511	9516	9521	9527	9532	9537	9542	9548	9553	9558	9563	17°	1	2	3
73°	9563	9568	9573	9578	9583	9588	9593	9598	9603	9608	9613	16°	1	2	2
74°	9613	9617	9622	9627	9632	9636	9641	9646	9650	9655	9659	15°	1	2	2
75°	9659	9664	9668	9673	9677	9681	9686	9690	9694	9699	9703	14°	1	1	2
sin	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	cos
76°	9703	9707	9711	9715	9720	9724	9728	9732	9736	9740	9744	13°	1	1	2
77°	9744	9748	9751	9755	9759	9763	9767	9770	9774	9778	9781	12°	1	1	2
78°	9781	9785	9789	9792	9796	9799	9803	9806	9810	9813	9816	11°	1	1	2
79°	9816	9820	9823	9826	9829	9833	9836	9839	9842	9845	9848	10°	1	1	2
80°	9848	9851	9854	9857	9860	9863	9866	9869	9871	9874	9877	9°	0	1	1
81°	9877	9880	9882	9885	9888	9890	9893	9895	9898	9900	9903	8°	0	1	1
82°	9903	9905	9907	9910	9912	9914	9917	9919	9921	9923	9925	7°	0	1	1
83°	9925	9928	9930	9932	9934	9936	9938	9940	9942	9943	9945	6°	0	1	1
84°	9945	9947	9949	9951	9952	9954	9956	9957	9959	9960	9962	5°	0	1	1
85°	9962	9963	9965	9966	9968	9969	9971	9972	9973	9974	9976	4°	0	0	1
86°	9976	9977	9978	9979	9980	9981	9982	9983	9984	9985	9986	3°	0	0	0
87°	9986	9987	9988	9989	9990	9990	9991	9992	9993	9993	9994	2°	0	0	0
88°	9994	9995	9995	9996	9996	9997	9997	9997	9998	9998	9998	1°	0	0	0
89°	9998	9999	9999	9999	9999	1. 0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	0°	0	0	0
90°	1
sin	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	cos

Таблица Брадиса tg, ctg

tg	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	ctg
											0	90°
0°	0,000	0017	0035	0052	0070	0087	0105	0122	0140	0157	0175	89°	3	6	9
1°	0175	0192	0209	0227	0244	0262	0279	0297	0314	0332	0349	88°	3	6	9
2°	0349	0367	0384	0402	0419	0437	0454	0472	0489	0507	0524	87°	3	6	9
3°	0524	0542	0559	0577	0594	0612	0629	0647	0664	0682	0699	86°	3	6	9
4°	0699	0717	0734	0752	0769	0787	0805	0822	0840	0857	0,0875	85°	3	6	9
5°	0,0875	0892	0910	0928	0945	0963	0981	0998	1016	1033	1051	84°	3	6	9
6°	1051	1069	1086	1104	1122	1139	1157	1175	1192	1210	1228	83°	3	6	9
7°	1228	1246	1263	1281	1299	1317	1334	1352	1370	1388	1405	82°	3	6	9
8°	1405	1423	1441	1459	1477	1495	1512	1530	1548	1566	1584	81°	3	6	9
9°	1584	1602	1620	1638	1655	1673	1691	1709	1727	1745	0,1763	80°	3	6	9
10°	0,1763	1781	1799	1817	1835	1853	1871	1890	1908	1926	1944	79°	3	6	9
11°	1944	1962	1980	1998	2016	2035	2053	2071	2089	2107	2126	78°	3	6	9
12°	2126	2144	2162	2180	2199	2217	2235	2254	2272	2290	2309	77°	3	6	9
13°	2309	2327	2345	2364	2382	2401	2419	2438	2456	2475	2493	76°	3	6	9
14°	2493	2512	2530	2549	2568	2586	2605	2623	2642	2661	0,2679	75°	3	6	9
tg	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	ctg
15°	0,2679	2698	2717	2736	2754	2773	2792	2811	2830	2849	2867	74°	3	6	9
16°	2867	2886	2905	2924	2943	2962	2981	3000	3019	3038	3057	73°	3	6	9
17°	3057	3076	3096	3115	3134	3153	3172	3191	3211	3230	3249	72°	3	6	10
18°	3249	3269	3288	3307	3327	3346	3365	3385	3404	3424	3443	71°	3	6	10
19°	3443	3463	3482	3502	3522	3541	3561	3581	3600	3620	0,3640	70°	3	7	10
20°	0,3640	3659	3679	3699	3719	3739	3759	3779	3799	3819	3839	69°	3	7	10
21°	3839	3859	3879	3899	3919	3939	3959	3979	4000	4020	4040	68°	3	7	10
22°	4040	4061	4081	4101	4122	4142	4163	4183	4204	4224	4245	67°	3	7	10
23°	4245	4265	4286	4307	4327	4348	4369	4390	4411	4431	4452	66°	3	7	10
24°	4452	4473	4494	4515	4536	4557	4578	4599	4621	4642	0,4663	65°	4	7	11
25°	0,4663	4684	4706	4727	4748	4770	4791	4813	4834	4856	4877	64°	4	7	11
26°	4877	4899	4921	4942	4964	4986	5008	5029	5051	5073	5095	63°	4	7	11
27°	5095	5117	5139	5161	5184	5206	5228	5250	5272	5295	5317	62°	4	7	11
28°	5317	5340	5362	5384	5407	5430	5452	5475	5498	5520	5543	61°	4	8	11
29°	5543	5566	5589	5612	5635	5658	5681	5704	5727	5750	0,5774	60°	4	8	12
tg	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	ctg
30°	0,5774	5797	5820	5844	5867	5890	5914	5938	5961	5985	6009	59°	4	8	12
31°	6009	6032	6056	6080	6104	6128	6152	6176	6200	6224	6249	58°	4	8	12
32°	6249	6273	6297	6322	6346	6371	6395	6420	6445	6469	6494	57°	4	8	12
33°	6494	6519	6544	6569	6594	6619	6644	6669	6694	6720	6745	56°	4	8	13
34°	6745	6771	6796	6822	6847	6873	6899	6924	6950	6976	0,7002	55°	4	9	13
35°	0,7002	7028	7054	7080	7107	7133	7159	7186	7212	7239	7265	54°	4	8	13
36°	7265	7292	7319	7346	7373	7400	7427	7454	7481	7508	7536	53°	5	9	14°
37°	7536	7563	7590	7618	7646	7673	7701	7729	7757	7785	7813	52°	5	9	14
38°	7813	7841	7869	7898	7926	7954	7983	8012	8040	8069	8098	51°	5	9	14
39°	8098	8127	8156	8185	8214	8243	8273	8302	8332	8361	0,8391	50°	5	10	15
40°	0,8391	8421	8451	8481	8511	8541	8571	8601	8632	8662	0,8693	49°	5	10	15
41°	8693	8724	8754	8785	8816	8847	8878	8910	8941	8972	9004	48°	5	10	16
42°	9004	9036	9067	9099	9131	9163	9195	9228	9260	9293	9325	47°	6	11	16
43°	9325	9358	9391	9424	9457	9490	9523	9556	9590	9623	0,9657	46°	6	11	17
44°	9657	9691	9725	9759	9793	9827	9861	9896	9930	9965	1,0000	45°	6	11	17
tg	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	ctg
45°	1,0000	0035	0070	0105	0141	0176	0212	0247	0283	0319	0355	44°	6	12	18
46°	0355	0392	0428	0464	0501	0538	0575	0612	0649	0686	0724	43°	6	12	18
47°	0724	0761	0799	0837	0875	0913	0951	0990	1028	1067	1106	42°	6	13	19
48°	1106	1145	1184	1224	1263	1303	1343	1383	1423	1463	1504	41°	7	13	20
49°	1504	1544	1585	1626	1667	1708	1750	1792	1833	1875	1,1918	40°	7	14	21
50°	1,1918	1960	2002	2045	2088	2131	2174	2218	2261	2305	2349	39°	7	14	22
51°	2349	2393	2437	2482	2527	2572	2617	2662	2708	2753	2799	38°	8	15	23
52°	2799	2846	2892	2938	2985	3032	3079	3127	3175	3222	3270	37°	8	16	24
53°	3270	3319	3367	3416	3465	3514	3564	3613	3663	3713	3764	36°	8	16	25
54°	3764	3814	3865	3916	3968	4019	4071	4124	4176	4229	1,4281	35°	9	17	26
55°	1,4281	4335	4388	4442	4496	4550	4605	4659	4715	4770	4826	34°	9	18	27
56°	4826	4882	4938	4994	5051	5108	5166	5224	5282	5340	5399	33°	10	19	29
57°	5399	5458	5517	5577	5637	5697	5757	5818	5880	5941	6003	32°	10	20	30
58°	6003	6066	6128	6191	6255	6319	6383	6447	6512	6577	6643	31°	11	21	32
59°	6643	6709	6775	6842	6909	6977	7045	7113	7182	7251	1,7321	30°	11	23	34
tg	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	ctg
60°	1,732	1,739	1,746	1,753	1,760	1,767	1,775	1,782	1,789	1,797	1,804	29°	1	2	4
61°	1,804	1,811	1,819	1,827	1,834	1,842	1,849	1,857	1,865	1,873	1,881	28°	1	3	4
62°	1,881	1,889	1,897	1,905	1,913	1,921	1,929	1,937	1,946	1,954	1,963	27°	1	3	4
63°	1,963	1,971	1,980	1,988	1,997	2,006	2,014	2,023	2,032	2,041	2,05	26°	1	3	4
64°	2,050	2,059	2,069	2,078	2,087	2,097	2,106	2,116	2,125	2,135	2,145	25°	2	3	5
65°	2,145	2,154	2,164	2,174	2,184	2,194	2,204	2,215	2,225	2,236	2,246	24°	2	3	5
66°	2,246	2,257	2,267	2,278	2,289	2,3	2,311	2,322	2,333	2,344	2,356	23°	2	4	5
67°	2,356	2,367	2,379	2,391	2,402	2,414	2,426	2,438	2,450	2,463	2,475	22°	2	4	6
68°	2,475	2,488	2,5	2,513	2,526	2,539	2,552	2,565	2,578	2,592	2,605	21°	2	4	6
69°	2,605	2,619	2,633	2,646	2,66	2,675	2,689	2,703	2,718	2,733	2,747	20°	2	5	7
70°	2,747	2,762	2,778	2,793	2,808	2,824	2,840	2,856	2,872	2,888	2,904	19°	3	5	8
71°	2,904	2,921	2,937	2,954	2,971	2,989	3,006	3,024	3,042	3,06	3,078	18°	3	6	9
72°	3,078	3,096	3,115	3,133	3,152	3,172	3,191	3,211	3,230	3,251	3,271	17°	3	6	10
73°	3,271	3,291	3,312	3,333	3,354	3,376							3	7	10
							3,398	3,42	3,442	3,465	3,487	16°	4	7	11
74°	3,487	3,511	3,534	3,558	3,582	3,606							4	8	12
							3,630	3,655	3,681	3,706	3,732	15°	4	8	13
75°	3,732	3,758	3,785	3,812	3,839	3,867							4	9	13
							3,895	3,923	3,952	3,981	4,011	14°	5	10	14
tg	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	ctg

Гаечные ключи: Таблица соответствия дюймового (американского, имперского. .) и метрического (европейского…) рядов гаечных ключей.

Гаечные ключи: рожковый, накидной, разводной. Таблица соответствия дюймового (американского) и метрического (европейского) рядов гаечных ключей.

Гаечный ключ — это инструмент для соединения или рассоединения резьбового соединения путём закручивания или раскручивания гаек, болтов и иных сопутствующих деталей. Типов гаечных ключей множество и важно понимать их различие и назначение. Кроме того, как правило гаечные ключи используются попарно — один из ключей фиксирует головку болта, а второй откручивает или закручивает зайку.

— Рожковый ключ. Самый распространённый и простой вид ключей. Ключ, рабочая поверхность которого охватывает крепежную деталь с двух или трёх сторон за счёт U-образной формы. Чаще всего, рожковые ключи двухсторонние, с близкими по размеру рабочими областями (например 8-10 или 11-13). Недостатки подобного вида ключей — для охвата даже базовых типоразмеров необходимо иметь подобных ключей целый набор. Рабочая поверхность ключа повёрнута под углом 15° к продольной оси для удобства работы в труднодоступных местах.

— Накидной ключ, рабочий профиль которого охватывает со всех сторон крепёжную деталь, повторяя профиль детали. Подобный тип ключей чаще всего тоже двухсторонний. Существуют накидные ключи с храповиком, позволяющим откручивать (закручивать) гайку (болт), не переставляя ключа.

— Комбинированный ключ: на одном конце тела которых расположена накидная, а на другом — рожковая головка. Обе головки подобных ключей имеют одинаковый размер.

— Торцевой ключ, предназначенный для закручивания (откручивания) деталей, расположенных в специфических и труднодоступных местах, а так же когда применение других типов ключей невозможно, например, в нишах и углублениях. Очень часто применяется для крепления колёс автомобилей.

— Разводной ключ это разновидность рожкового ключа, у которого просвет губок (размер ключа) может плавно изменяться в широких пределах. Под разводным ключом понимается ключ, у которого одна из губок приводится в движение червяком.

— Трубный ключ является разновидностью разводного ключа — он позволяет зажимать деталь при помощи рычага.

— Переставной ключ часто применяется для работы с трубами с сфере сантехники.

В том случае, если закручивать нужно много и небольшого размера, есть смысл рассмотреть вариант торцевых головок для шуруповёртов (или отвёрток) — это очень упростит и ускорит работу.

Для того, чтобы разобраться с размерами гаечных ключей — воспользуйтесь таблицей ниже:

США ( и не только)
(дюймов)

Метрические
«европейские»(мм)

5/32

3.97

—

3/16

4.76

—

13/64

7/32

5.56

15/63

6.05

—

1/4

6.35

17/64

6.75

—

9/32

7.14

5/16

7.94

—

11/32

8.73

—

3/8

9.53

—

7/16

11.11

15/32

11.91

—

1/2

12.7

—

17/32

13.49

—

9/16

14.29

—

19/32

15.08

5/8

15.88

—

21/32

16.

—

11/16

17.46

—

3/4

19.05

25/32

19.84

—

13/16

20.64

—

7/8

22.23

29/32

23.02

15/16

23.81

—

31/32

24.61

—

25.40

—

1 1/16

26.99

—

1 1/8

28.58

—

1 3/16

30.16

—

1 1/4

31.

\circ =0\).

Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:

$ \displaystyle \text{t}g\ \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$, $ \displaystyle ctg\ \alpha =\frac{cos\ \alpha }{sin\ \alpha }$

Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

Тригонометрия

Тригонометрия (от греч. Тригонон «треугольник» + метрон «мера»)

Хотите изучить тригонометрию? Вот краткое изложение.
Чтобы узнать больше, перейдите по ссылкам или перейдите в Индекс тригонометрии

Тригонометрия … всего около треугольника.

Тригонометрия помогает нам находить углы и расстояния и широко используется в науке, технике, видеоиграх и многом другом!

Прямоугольный треугольник

Наибольший интерес представляет прямоугольный треугольник.Прямой угол показан маленькой рамкой в углу:

Другой угол часто обозначается как θ, и тогда три стороны обозначаются:

Соседний : Соседний (рядом) угол θ
Напротив : напротив угла θ
, а самая длинная сторона — Гипотенуза

Почему прямоугольный треугольник?

Почему этот треугольник так важен?

Представьте, что мы можем измерять вдоль и поперек, но хотим знать прямое расстояние и угол:

Тригонометрия может найти недостающий угол и расстояние.

Или, может быть, у нас есть расстояние и угол, и нам нужно «нанести точку» вдоль и вверх:

Подобные вопросы часто встречаются в инженерии, компьютерной анимации и т. Д.

И тригонометрия дает ответы!

Синус, косинус и тангенс

Основные функции в тригонометрии: Синус, косинус и тангенс

Это просто одна сторона прямоугольного треугольника, разделенная на другую.

Для любого угла « θ «:

(Синус, косинус и тангенс часто сокращаются до sin, cos и tan.)

Пример: Что такое синус 35 °?

Используя этот треугольник (длины до одного десятичного знака):

sin (35 °) = Напротив Гипотенуза = 2,8 4,9 = 0,57 …

Треугольник может быть больше, меньше или перевернут, но этот угол всегда будет иметь соотношение .

У калькуляторов

в помощь нам есть sin, cos и tan, поэтому давайте посмотрим, как ими пользоваться:

Пример: насколько высокое дерево?

Нам не добраться до вершины дерева, поэтому мы уходим и измеряем угол (с помощью транспортира) и расстояние (с помощью лазера):

Мы знаем Гипотенуза
И мы хотим знать напротив

Синус — это отношение Противоположность / Гипотенуза :

грех (45 °) = Напротив Гипотенуза

Возьмите калькулятор, введите «45», затем нажмите клавишу «sin»:

sin (45 °) = 0. 7071 …

Что означает 0,7071 … ? Это отношение длин сторон, так что Противоположность примерно на 0,7071 в раз длиннее Гипотенузы.

Теперь мы можем поставить 0,7071 … вместо sin (45 °):

0,7071 … = Напротив Гипотенуза

И мы также знаем, что гипотенуза равна 20 :

0,7071 … = Напротив 20

Чтобы решить, сначала умножьте обе части на 20:

20 × 0.7071 … = Напротив

Наконец:

Напротив = 14,14 м (до 2 знаков после запятой)

Когда вы наберетесь опыта, вы сможете сделать это быстро следующим образом:

Пример: насколько высокое дерево?

Начать с: sin (45 °) = Напротив Гипотенуза

Мы знаем: 0,7071 … = Напротив 20

Поменять местами: Напротив 20 = 0. 7071 …

Умножить обе стороны на 20 : Противоположное = 0,7071 … × 20

Вычислить: Противоположное = 14,14 (до 2 знаков после запятой)

Дерево 14,14 м высотой

Попробуйте Sin Cos and Tan

Поиграйте с этим некоторое время (перемещайте мышь) и ознакомьтесь со значениями синуса, косинуса и тангенса для разных углов, таких как 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° и 90 °.

Также попробуйте 120 °, 135 °, 180 °, 240 °, 270 ° и т. Д. И обратите внимание, что позиции могут быть положительными или отрицательными по правилам декартовых координат, поэтому синус, косинус и тангенс также изменяются между положительным и отрицательным .

Итак, тригонометрия — это тоже окружности !

Единичный круг

То, с чем вы только что играли, — это Unit Circle.

Это круг с радиусом 1 с центром в 0.

Поскольку радиус равен 1, мы можем напрямую измерить синус, косинус и тангенс.

Здесь мы видим синусоидальную функцию единичной окружности:

Примечание: вы можете увидеть красивые графики, состоящие из синуса, косинуса и тангенса.

градусов и радиан

Углы могут быть в градусах или радианах. Вот несколько примеров:

Уголок	градусов	Радианы
Прямоугольный	90 °	π / 2
__ Прямой угол	180 °	π
Полное вращение	360 °	2π

Повторяющийся узор

Поскольку угол вращается вокруг окружности , функции синуса, косинуса и тангенса повторяются один раз при каждом полном вращении (см. Амплитуда, Период, Фазовый сдвиг и Частота).

Когда мы хотим вычислить функцию для угла, большего, чем полный оборот на 360 ° (2π радиан), мы вычитаем столько полных оборотов, сколько необходимо, чтобы вернуть его ниже 360 ° (2π радиан):

Пример: что такое косинус 370 °?

370 ° больше 360 °, поэтому вычтем 360 °

370 ° — 360 ° = 10 °

cos (370 °) = cos (10 °) = 0,985 (до 3 знаков после запятой)

А когда угол меньше нуля, просто добавьте полные обороты.

Пример: какой синус у −3 радиана?

−3 меньше 0, поэтому добавим 2π радиан

−3 + 2π = −3 + 6,283 … = 3,283 … радиан

sin (−3) = sin (3,283 …) = −0,141 (до 3 знаков после запятой)

Решение треугольников

Тригонометрия также полезна для обычных треугольников, а не только для прямоугольных.

Это помогает нам разгадывать треугольники. «Решение» означает поиск недостающих сторон и углов.

Мы также можем найти недостающие длины сторон.Общее правило:

Когда мы знаем какие-либо 3 стороны или углы, мы можем найти остальные 3
(за исключением случая с тремя углами)

См. «Решение треугольников» для более подробной информации.

Другие функции (котангенс, секанс, косеканс)

Подобно синусу, косинусу и касательности, есть еще три тригонометрические функции , которые выполняются делением одной стороны на другую:

Косеканс, функция:	csc ( θ ) = Гипотенуза / Напротив
Секущая функция:	сек ( θ ) = Гипотенуза / смежный
Функция котангенса:	детская кроватка ( θ ) = рядом / напротив

Тригонометрические и треугольные идентичности

И по мере того, как вы станете лучше разбираться в тригонометрии, вы сможете выучить это:

Наслаждайтесь становлением экспертом по треугольникам (и кругам)!

Тригонометрических формул — Бесплатная справка по математике

Тригонометрия: (урок 1 из 3)

Тригонометрические формулы

$$ \ begin {выровнено} \ sin \ alpha & = \ frac {напротив} {гипотенуза} \\ \ cos \ alpha & = \ frac {смежный} {гипотенуза} \\ \ tan \ alpha & = \ frac {напротив} {смежный} \\ \ cot \ alpha & = \ frac {смежный} {противоположный} \\ \ sec \ alpha & = \ frac {hypotenuse} {смежный} \\ \ csc \ alpha & = \ frac {hypotenuse} {напротив} \ end {выровнен} $$

Взаимные свойства:

$$ \ begin {выровнено} \ cot (x) & = \ frac {1} {\ tan (x)} \\ \ csc (x) & = \ frac {1} {\ sin (x)} \\ \ sec (x) & = \ frac {1} {\ cos (x)} \\ \ end {выровнен} $$ $$ \ begin {выровнено} \ tan (x) \ cot (x) & = 1 \\ \ sin (x) \ csc (x) & = 1 \\ \ соз (х) \ сек (х) & = 1 \ end {выровнен} $$

Частные свойства:

$$ \ begin {выровнено} \ tan (x) & = \ frac {\ sin (x)} {\ cos (x)} \\ \ cot (x) & = \ frac {\ cos (x)} {\ sin (x)} \\ \ tan (x) & = \ frac {\ sec (x)} {\ csc (x)} \\ \ cot (x) & = \ frac {\ csc (x)} {\ sec (x)} \\ \ tan (x) & = \ frac {\ sec (x)} {\ csc (x)} \\ \ cot (x) & = \ frac {\ csc (x)} {\ sec (x)} \ end {выровнен} $$

Нечетные / четные идентификаторы

$$ \ begin {выровнено} \ sin (-x) & = — \ sin (x) \\ \ cos (-x) & = — \ cos (x) \\ \ tan (-x) & = — \ tan (x) \\ \ csc (-x) & = — \ csc (x) \\ \ sec (-x) & = — \ sec (x) \\ \ cot (-x) & = — \ cot (x) \ end {выровнен} $$

Идентификатор функции —

радиан $$ \ begin {выровнено} \ sin (\ frac {\ pi} {2} — x) & = \ cos (x) \\ \ cos (\ frac {\ pi} {2} — x) & = \ sin (x) \\ \ tan (\ frac {\ pi} {2} — x) & = \ cot (x) \\ \ cot (\ frac {\ pi} {2} — x) & = \ tan (x) \ end {выровнен} $$

Идентификаторы совместных функций — степени

$$ \ begin {выровнено} \ sin (90 ^ \ circ — x) & = \ cos (x) \\ \ cos (90 ^ \ circ — x) & = \ sin (x) \\ \ tan (90 ^ \ circ — x) & = \ cot (x) \\ \ cot (90 ^ \ circ — x) & = \ tan (x) \ end {выровнен} $$

Идентичности периодичности — радианы

$$ \ begin {выровнено} \ sin (x + 2 \ pi) & = \ sin (x) \\ \ cos (x + 2 \ pi) & = \ cos (x) \\ \ загар (х + \ пи) & = \ загар (х) \\ \ cot (x + \ pi) & = \ cot (x) \ end {выровнен} $$

Идентичность периодичности — градусы

$$ \ begin {выровнено} \ sin (x + 360 ^ \ circ) & = \ sin (x) \\ \ sin (x + 360 ^ \ circ) & = \ cos (x) \\ \ tan (x + 180 ^ \ circ) & = \ tan (x) \\ \ cot (x + 180 ^ \ circ) & = \ cot (x) \ end {выровнен} $$

Сумма / Разница Идентичности

$$ \ begin {выровнено} \ sin (x + y) & = \ sin (x) \ cos (y) + \ cos (x) \ sin (y) \\ \ cos (x + y) & = \ cos (x) \ cos (y) — \ sin (x) \ sin (y) \\ \ tan (x + y) & = \ frac {\ tan (x) + \ tan y} {1 — \ tan (x) \ cdot \ tan (y)} \\ \ sin (x — y) & = \ sin (x) \ cos (y) — \ cos (x) \ sin (y) \\ \ cos (x — y) & = \ cos (x) \ cos (y) + \ sin (x) \ sin (y) \\ \ tan (x — y) & = \ frac {\ tan (x) — \ tan (y)} {1 + \ tan (x) \ cdot \ tan (y)} \ end {выровнен} $$

Двойные углы идентификации

$$ \ begin {выровнено} \ sin (2x) & = 2 \ sin (x) \ cos (x) \\ \ cos (2x) & = \ cos ^ 2 (x) — \ sin ^ 2 (x) \\ \ cos (2x) & = 2 \ cos ^ 2 (x) — 1 \\ \ cos (2x) & = 1-2 \ sin ^ 2 (x) \\ \ tan (2x) & = [2 \ tan (x)] / [1 — \ tan ^ 2 (x)] \ end {выровнен} $$

Полуугловые идентификаторы

$$ \ begin {выровнено} \ sin (\ frac {x} {2}) & = \ pm \ sqrt {\ frac {1 — \ cos (x)} {2}} \\ \ cos (\ frac {x} {2}) & = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + \ cos (x)} {2}} \\ \ cos (\ frac {x} {2}) & = \ pm \ sqrt {\ frac {1 — \ cos (x)} {1 + \ cos (x)}} \ end {выровнен} $$

Обозначение продукта

$$ \ begin {выровнено} \ sin (x) \ cdot \ cos (y) & = \ frac {\ sin (x + y) + \ sin (x — y)} {2} \\ \ cos (x) \ cdot \ cos (y) & = \ frac {\ cos (x + y) + \ cos (x — y)} {2} \\ \ sin (x) \ cdot \ sin (y) & = \ frac {\ cos (x + y) — \ cos (x — y)} {2} \ end {выровнен} $$

Сумма для идентификаторов продуктов

$$ \ begin {выровнено} \ sin (x) + \ sin (y) & = 2 \ sin (\ frac {x + y} {2}) \ cos (\ frac {x — y} {2}) \\ \ sin (x) — \ sin (y) & = 2 \ cos (\ frac {x + y} {2}) \ sin (\ frac {x — y} {2}) \\ \ cos (x) + \ cos (y) & = 2 \ cos (\ frac {x + y} {2}) \ cos (\ frac {x — y} {2}) \\ \ cos (x) — \ cos (y) & = — 2 \ sin (\ frac {x + y} {2}) \ sin (\ frac {x — y} {2}) \ end {выровнен} $$

Секущая функция (сек) — Тригонометрия

Секущая функция (сек) — Тригонометрия — Math Open Reference (См.

Также Секанс круга).

В прямоугольном треугольнике секущая угла — это длина гипотенузы, деленная на длина прилегающей стороны. В формуле это сокращается до «сек».

Из шести возможных тригонометрических функций секущая котангенс и косекансные, используются редко. Фактически, у большинства калькуляторов нет кнопки для них, и библиотеки программных функций не включают их.

Их можно легко заменить производными от более распространенных трех: sin, cos и tan.
Секанс может быть получен как величина, обратная косинусу:

Функция обратной секущей — arcsec

Для каждой тригонометрической функции, такой как sec, существует обратная функция, которая работает в обратном порядке. Эти обратные функции имеют то же имя, но с дугой впереди. Таким образом, обратное значение sec — arcsec и т. Д. Когда мы видим «arcsec A», мы интерпретируем его как «угол, секанс которого равен A».

сек 60 = 2.000	Означает: Секанс 60 градусов равен 2. 000
угл. Сек 2.0 = 60	означает: угол, секанс которого равен 2,0, равен 60 градусам.

Иногда записывается как asec или sec ^-1

Большие и отрицательные углы

В прямоугольном треугольнике два переменных угла всегда меньше 90 °. (См. Внутренние углы треугольника). Но на самом деле мы можем найти секанс любого угла, независимо от того, насколько он велик, а также секанс отрицательных углов. Подробнее об этом см. Функции больших и отрицательных углов.

График секущей функции

Поскольку секущая функция является обратной функцией косинусной функции, она стремится к бесконечности, когда функция косинуса равна нулю.

Производная от sec (x)

В расчетах производная сек (x) равна сек (x) tan (x) . Это означает, что при любом значении x скорость изменения или наклона сек (x) составляет сек (x) tan (x) .

Подробнее об этом см. Производные тригонометрических функций вместе с производными других тригонометрических функций.См. Также Оглавление по исчислению.

Другие темы по тригонометрии

Уголки

Тригонометрические функции

Решение задач тригонометрии

Исчисление

РУКОВОДСТВО ПО ТРИГОНОМЕТРИИ

Приведенная выше диаграмма представляет собой прямоугольный треугольник со сторонами, обозначенными в терминах угла A.
(Да, гипотенуза также является «смежной» стороной угла A, но она всегда обозначается как гипотенуза.Между прочим, гипотенуза всегда самая длинная сторона прямоугольного треугольника, а всегда напротив прямой угол.)

Предположим, что угол A равен 40 °. Использование удобной тригонометрии калькулятор, мы ищем синус 40 ° и обнаруживаем, что это 0,64279, но что именно это означает? Глядя на определение, мы видим, что синус угла — это отношение длины противоположной стороны деленное на длина гипотенузы . Итак, мы можем сказать:

синус (40 °) = 0,64279 = противоположная сторона ÷ гипотенуза

Это означает, что для каждый прямоугольный треугольник с углом 40 °, отношение противоположной стороны к гипотенуза будет , всегда будет 0,64279.
Предположим, у нас есть такой треугольник, и мы знаем, что длина гипотенузы составляет 7 футов. Как долго Обратная сторона?
Из вышесказанного мы показали, что 0,64279 = противоположная сторона ÷ гипотенуза. Используя небольшую алгебру, мы можем говорят, что противоположная сторона = 0.64279 • гипотенуза или 0,64279 • 7. Следовательно, противоположная сторона = 4,4995 футов.

Если бы мы хотели найти длину третьей стороны (соседней стороны), мы могли бы использовать пифагорова Теорема, но мы можем решить ее с помощью тригонометрии.
Из приведенного выше графика видно, что косинус угла A = смежная сторона ÷ гипотенуза. Используя калькулятор, находим, что косинус 40 ° = 0,76604 и поэтому:

косинус (40 °) = 0,76604 = смежная сторона ÷ гипотенуза Используя небольшую алгебру, мы можем сказать, что
смежная сторона = 0.

76604 • гипотенуза
смежная сторона = 0,76604 • 7
смежная сторона = 5,3623 фута

Просто чтобы быть абсолютно уверенным в наших расчетах (и иметь предлог, чтобы показать еще один тригонометрический функция), мы видим, что касательная функция является отношение противоположной стороны к соседней стороне.
В этом случае противоположная сторона, деленная на соседнюю, составляет 4,4995 ÷ 5,3623, что равно 0,83911. Если посмотреть на калькуляторе тангенс 40 ° вверх, видно, что равно 0,8391, что чертовски хорошо согласуется, не так ли?

Синус, косинус и тангенс — наиболее часто используемые тригонометрические функции.Есть еще 3 функции (котангенс, секанс и косеканс), но поскольку это всего лишь введение в тригонометрию, там нет необходимости обсуждать это. (Но если вам действительно нужно знать , вы можете найти определения на калькуляторе, а также на других страницах).

Углы в радианах

В конце концов, изучая тригонометрию, вы встретите термин радиан . Как градусы, радиан — это единица измерения угла, но в отличие от градусов, это не какая-то произвольная единица измерения было удобно выбрано.
радиан — это центральный угол окружности (∠A), образованной дугой. (красная линия), длина которого точно равна радиусу. Посмотрим, как это получается.

Из формул для окружности мы видим, что длина окружности

= 2 • π • радиус
Таким образом, для в каждой окружности 2 радиуса π образуют «центральный угол» 360 °
, и, следовательно, один радиус будет расширять центральный угол
360 ° ÷ (2 • π) = 180 ° ÷ π = 57,295779513 … градусов = 1 радиан

Некоторые из наиболее распространенных углов, выражаемых в радианах:

180 ° = π радиан 90 ° = π ÷ 2 радиана 60 ° = π ÷ 3 радиана 45 ° = π ÷ 4 радиан 30 ° = π ÷ 6 радиан 20 ° = π ÷ 9 радиан 15 ° = π ÷ 12 радиан 10 ° = π ÷ 18 радиан 5 ° = π ÷ 36 радиан

Чтобы преобразовать градусов в радианы, умножьте на (π ÷ 180)
Для преобразования радиан в градусы умножьте на (180 ÷ π)
Или вот конвертер углов, который вы можете использовать.

Чем дальше вы продвигаетесь по математике, тем чаще вы будете встречать угловые меры в радианах, а не в градусов. Вы можете видеть причину, поскольку радиан выводится из его отношения к круг.

Обратные тригонометрические функции

Термин «обратное» немного обманчив, поскольку подразумевает обратное. Чтобы сделать еще больше сбивает с толку, сокращения для этих функций также, кажется, предполагают обратное.Например, функция обратного синуса sin ^-1, но не означает 1 / синус. Хорошо, посмотрим, что это означает .

Обратные тригонометрические функции также известны как дуговые функции .
Так же, как есть 6 тригонометрических функций, есть также 6 тригонометрических функций дуги — арксинус, арккосинус и т. д.
Функция дуги означает угол , тригонометрическая функция которого равна определенному значению.
Другими словами, если тригонометрическая функция ∠ y = x, то дуговая функция x это ∠ y.
Например, арксинус 0,64279 равен 40 °.

Если мы построим график тригонометрических функций (см. Ниже), мы увидим, что каждые из шести тригонометрических дуговых функций могут имеют 2 значения.
Например, глядя на синусоидальный график, мы видим, что арксинус 0,5 может составлять 30 ° или 150 °. Если посмотреть на график касательной, арктангенс 1,732 может составлять 60 ° или 240 °.
Выше мы утверждали, что арксинус 0.64279 равно 40 °, но это также 140 °
Если мы вызываем одно значение функции дуги ∠y и вызываем значение второй функции дуги ∠y ₂ тогда у нас есть эти 6 формул для определения значений второй функции дуги:

Графики шести тригонометрических функций

Перейти к второй странице
Решение наклонных треугольников с использованием закона синусов и косинусов Перейти на третью страницу
Решение наклонных треугольников без с использованием закона синусов и косинусов

Вернуться на главную страницу

Тригонометрические идентичности | Purplemath

Purplemath

В математике «идентичность» — это всегда истинное уравнение. Они могут быть «тривиально» истинными, например « x = x », или практически истинными, например « a ² + b ² = c ²» из теоремы Пифагора. прямоугольные треугольники. Существует множество тригонометрических отождествлений, но следующие из них вы, скорее всего, увидите и будете использовать.

Базовый и пифагорейский, сумма углов и разность, двойной угол, полуугол, сумма, произведение

MathHelp.com

Нужен индивидуальный курс математики?
K12 | Колледж | Подготовка к экзамену

Основные и пифагорейские тождества

Обратите внимание на то, что триггерное отношение «со- (чего-то)» всегда является обратной величиной некоторого «несоциального» отношения. Вы можете использовать этот факт, чтобы понять, что косеканс идет с синусом, а секанс — с косинусом.

Следующие ниже тождества (особенно первая из трех ниже) называются «пифагорейскими» идентичностями.

sin ² ( t ) + cos ² ( t ) = 1

тангенциальный ² ( т ) + 1 = сек ² ( т )

1 + детская кроватка ² ( т ) = csc ² ( т )

Обратите внимание, что все три идентичности включают возведение в квадрат и число 1.Вы можете ясно увидеть отношение Пифагора-Тэома, если вы рассмотрите единичную окружность, где угол составляет t , «противоположная» сторона — sin ( t ) = y , «смежная» сторона — cos ( t ) = x , а гипотенуза равна 1.

У нас есть дополнительные идентификаторы, связанные с функциональным статусом триггерных соотношений:

sin ( –t ) = — sin ( t )

cos ( –t ) = cos ( t )

tan ( –t ) = — tan ( t )

Обратите внимание, в частности, что синус и тангенс являются нечетными функциями, симметричными относительно начала координат, а косинус — четной функцией, симметричной относительно оси y . Тот факт, что вы можете вынести знак «минус» аргумента за пределы (для синуса и тангенса) или полностью исключить его (для косинуса), может быть полезным при работе со сложными выражениями.

Тождества суммы углов и разности

sin (α + β) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β)

sin (α — β) = sin (α) cos (β) — cos (α) sin (β)

cos (α + β) = cos (α) cos (β) — sin (α) sin (β)

cos (α — β) = cos (α) cos (β) + sin (α) sin (β)

Кстати, в указанных тождествах углы обозначены греческими буквами.Буква А-типа, «а», называется «альфа», что произносится как «аль-фу». Буква b-типа, «β», называется «бета», что произносится как «BAY-tuh».

Двойные углы идентификации

sin (2 x ) = 2 sin ( x ) cos ( x )

cos (2 x ) = cos ² ( x ) — sin ² ( x ) = 1-2 sin ² ( x ) = 2 cos ² ( x ) — 1

Полуугловые идентификаторы

Вышеупомянутые идентичности можно переформулировать путем возведения квадратов каждой стороны и удвоения всех угловых мер. Результаты следующие:

sin ² ( x ) = ½ [1 — cos (2 x )]

cos ² ( x ) = ½ [1 + cos (2 x )]

Партнер

Сумма идентификаторов

Обозначения продукта

Вы будете использовать все эти тождества или почти все эти тождества для доказательства других триггерных тождеств и для решения тригонометрических уравнений.Однако, если вы собираетесь изучать исчисление, обратите особое внимание на переформулированные тождества синуса и косинуса половинного угла, потому что вы будете использовать их лот в интегральном исчислении.

Тригонометрический круг — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Таблица Брадиса sin cos tg ctg

Найти точное значение

Таблица Брадиса sin, cos

Таблица Брадиса tg, ctg

Тригонометрия

Прямоугольный треугольник

Почему прямоугольный треугольник?

Синус, косинус и тангенс

Пример: Что такое синус 35 °?

Пример: насколько высокое дерево?

Пример: насколько высокое дерево?

Попробуйте Sin Cos and Tan

Единичный круг

градусов и радиан

Повторяющийся узор

Пример: что такое косинус 370 °?

Пример: какой синус у −3 радиана?

Решение треугольников

Другие функции (котангенс, секанс, косеканс)

Тригонометрические и треугольные идентичности

Тригонометрических формул — Бесплатная справка по математике

Тригонометрические формулы

Взаимные свойства:

Частные свойства:

Нечетные / четные идентификаторы

Идентификатор функции —

Идентификаторы совместных функций — степени

Идентичности периодичности — радианы

Идентичность периодичности — градусы

Сумма / Разница Идентичности

Двойные углы идентификации

Полуугловые идентификаторы

Обозначение продукта

Сумма для идентификаторов продуктов

Секущая функция (сек) — Тригонометрия

Функция обратной секущей — arcsec

Большие и отрицательные углы

График секущей функции

Производная от sec (x)

Другие темы по тригонометрии

Уголки

Тригонометрические функции

Решение задач тригонометрии

Исчисление

РУКОВОДСТВО ПО ТРИГОНОМЕТРИИ

Тригонометрические идентичности | Purplemath

Purplemath

MathHelp.com

Основные и пифагорейские тождества

Тождества суммы углов и разности

Двойные углы идентификации

Полуугловые идентификаторы

Сумма идентификаторов

Обозначения продукта

Добавить комментарий Отменить ответ