Погрешность отсчета равной половине цены деления ленты: Точность и погрешность измерений — урок. Физика, 7 класс.

Содержание

Оценка погрешностей измерений при выполнении лабораторных работ по физике

Выполнение лабораторных работ связано с измерением различных физических величин и последующей обработкой полученных результатов. Поскольку не существует абсолютно точных приборов и других средств измерения, следовательно, не бывает и абсолютно точных результатов измерения. Погрешности возникают при любых измерениях, и только правильная оценка погрешностей проведенных измерений и расчетов позволяет выяснить степень достоверности полученных результатов.

Абсолютная погрешность измерения

Рисунок 1

Предположим, что диаметр стержня, измеренный штангенциркулем, оказался равным 14 мм. Можно ли быть уверенным, что он пройдет в “идеальное” отверстие того же диаметра? Если бы этот вопрос был поставлен чисто ”теоретически“, то ответ был бы утвердительным, но на практике может получиться иначе. Диаметр стержня был определен с помощью реального измерительного прибора, следовательно, с некоторой погрешностью.

Значит 14 мм — это приближенное значение диаметра – Xпр. Определить его истинное значение невозможно, можно только указать некоторые границы достоверности полученного приближенного результата, внутри которых находится истинное значение диаметра нашего стержня. Эта граница называется границей абсолютной погрешности и обозначается ΔX (её часто называют просто абсолютной погрешностью). Поэтому наш стержень может пройти в отверстие, а так же может и не пройти в него: все зависит от того, в каком месте интервала [Xпр — ΔX, Xпр + ΔX] находится истинное значение диаметра нашего стержня. На рисунке 1 показан случай, когда стержень в отверстие не пройдет.

Итак, абсолютная погрешность показывает, насколько неизвестное экспериментатору истинное значение измеряемой величины может отличаться от измеренного значения.

Результат измерения с учетом абсолютной погрешности записывают так:

Относительная погрешность измерения

Значение абсолютной погрешности все же не позволяет в полной мере оценить качество наших измерений. Если, например, в результате измерений установлено, что длина стола с учетом абсолютной погрешности равна (100± 1) см, а толщина его крышки равна (2 ± 1) см, то качество измерений в первом случае выше (хотя граница абсолютной погрешности измерений в обоих случаях одинакова). Качество измерений характеризуется относительной погрешностью ε, равной отношению абсолютной погрешности ΔX к значению величины Xпр, получаемой в результате измерения:

.

При выполнении лабораторных работ выделяют следующие виды погрешностей: погрешности прямых измерений; погрешности косвенных измерений; случайные погрешности и систематические погрешности.

Погрешности прямых измерений

Прямое измерение — это такое измерение, при котором его результат определяется непосредственно в процессе считывания со шкалы прибора. В нашем первом примере с определением диаметра стержня речь шла как раз о таком измерении. Погрешность прямого измерения обозначается значком Δ. Если вы умеете правильно пользоваться измерительным прибором, то погрешность прямого измерения зависит только от его качества и равна сумме инструментальной погрешности прибора (Δ и) и погрешности отсчета9). Таким образом: Δ = Δ и + Δ о

Инструментальная погрешность измерительного прибора (Δи) определяется на заводе-изготовителе. Абсолютные инструментальные погрешности измерительных приборов, чаще всего используемых для проведения лабораторных работ, приведены в таблице 1.

Таблица 1

Средства измерения

Предел измерения

Цена деления

Инструментальная

погрешность

Линейка ученическая

До 30 см

1 мм

1 мм

Линейка чертежная

До 50 см

1 мм

0,2 мм

Линейка инструментальная (стальная)

До 30 см

1 мм

0,1 мм

Линейка демонстрационная

100 см

1 см

0,5 см

Лента измерительная

150 см

0,5 см

0,25 см

Измерительный цилиндр

до 250 мл

1 мл

1 мл

Штангенциркуль

150 мм

0,1 мм

0,05 мм

Микрометр

25 мм

0,01 мм

0,005 мм

Динамометр учебный

4 Н

0,1 Н

0,05 Н

Секундомер электронный

100 с

0,01 с

0,01 с

Барометр-анероид

720-780 мм. рт.ст

1 мм.рт.ст.

3 мм.рт.ст.

Термометр спиртовой

0-100оС

1оС

1оС

Термометр ртутный

До 250оС

1оС

0,5оС

Амперметр школьный

2 А

0,1 А

0,05 А

Вольтметр школьный

6 В

0,2 В

0,15 В

Погрешность отсчета измерительного прибора (Δ о) связана с тем, что указатель прибора не всегда точно совпадает с делениями шкалы. В этом случае погрешность отсчета не превосходит половины цены деления шкалы.

Поэтому абсолютную погрешность прямого измерения находят по формуле ., где с — цена деления шкалы измерительного прибора.

Учитывать погрешность отсчета надо только в тех случаях, когда указатель прибора при измерении находится между нанесенными на шкалу прибора делениями. Не имеет смысла учитывать, погрешности отсчета у цифровых измерительных приборов.

Одновременно учитывать обе составляющие погрешности прямого измерения следует лишь в том случае, если их значения близки друг к другу. Любым из этих слагаемых можно пренебречь, если оно не превосходит одной трети или одной четверти второго. В этом состоит так называемое правило «ничтожных погрешностей«.

Непосредственные и косвенные измерения — презентация онлайн

1. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ И КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

2. Виды измерений

• Однократные непосредственные
измерения
• Многократные непосредственные
измерения
• Косвенные измерения

3.

НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ• Непосредственным называется измерение,
при котором численное значение физической
величины находят с помощью измерительного
прибора.
• Примеры непосредственных измерений:
измерение длины тела линейкой,
длительности промежутка времени –
секундомером, силы тока в проводнике –
амперметром, массы тела – при помощи
рычажных весов и гирь.

4. Однократные непосредственные измерения физических величин

ОДНОКРАТНЫЕ НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ
ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

5. АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ

• Абсолютная погрешность однократного
непосредственного измерения ∆Х
величины Х складывается из погрешности
измерительного прибора ∆пр
(инструментальной погрешности) и
погрешности отсчета ∆отс
∆Х = ∆пр + ∆отс

6. ПОГРЕШНОСТЬ ОТСЧЕТА

• Абсолютная погрешность отсчета ∆отс
берется равной половине цены деления
шкалы измерительного прибора
∆отс = ½ С
• Или равной цене деления шкалы прибора
со «скачущей» стрелкой (например, у
секундомера)
∆отс = С.

7. ИНСТРУМЕНТАЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

• Абсолютная погрешность прибора ∆пр
определяется на заводе-изготовителе и
указывается в паспорте прибора

8. Абсолютная погрешность некоторых приборов


Приборы
1 Линейка ученическая
2 Лента измерительная
3 Штангенциркуль
Пределы
измерения
Цена деления
0 – 50 см
0 – 150 см
0 – 150 мм
1 мм
0,5 см
0,1 мм
Абсолютная
погрешность
прибора
1 мм
0,5 см
0,05 мм

9. Алгоритм непосредственного измерения

1. Рассмотри шкалу прибора, найди цену
минимального деления С шкалы прибора.
2. Измерь физическую величину один раз,
найди ее измеренное значение Хи.
3. Найди абсолютную погрешность прибора,
используя справочные таблицы ∆пр.
4. Найди абсолютную погрешность отсчета
∆отс по цене деления прибора С.
5.Найди абсолютную погрешность измерения по
формуле
∆Х = ∆пр + ∆отс
Абсолютную погрешность округли до одной
значащей цифры
6. Запиши результат измерения в виде
Х = (Хи ± ∆Х)
Измеренное значение округли при этом до
разряда, оставшегося в абсолютной погрешности
7. Вычисли относительную погрешность
измерения
х =

11. Косвенные измерения

КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

12. Косвенные измерения

• Косвенными называются измерения
физической величины, при которых
значение физической величины находится
по некоторой функциональной зависимости
(формуле)
.
• Измеренное
значение Хи подсчитывают по
,
,
измеренным значениям величин,
используя функциональную зависимость
.
• а, в, с — непосредственно измеренные
величины (в их числе могут быть и
величины известные заранее), причем
a (au a)
b (bu b)
c (cu c)

14. Относительная погрешность измерения

• По виду функциональной зависимости
величины Х от непосредственно
измеренных величин рассчитывают
относительную погрешность косвенного
измерения
Зависимость
величины Х от
других величин
Относительная
погрешность Х
косвенного
измерения
Зависимость
величины Х от
других величин
Относительная
погрешность Х
косвенного
измерения
а
аи
Х=а+в
Х
а в
аи ви
Х=n·а
Х
Х=а-в
Х
а в
аи ви
Х=аn
Х n
а в
аи ви
Х = n√а
Х
Х=а·в
Х = а/в
Х
Х
а в
аи ви
Х = sin а
а
аи
1 а
n аи
Х a ctga

16.

Алгоритм косвенного измерения1. Запиши формулу для расчета физической
величины
Х f (a, b, c)
2. Вычисли измеренное значение
физической величины, подставив в
формулу измеренные значения величин,
ранее известных
Хи f (aи , bи , cи )
3. Рассчитай относительную погрешность по виду
функциональной зависимости
4. Рассчитай абсолютную погрешность измерения по
формуле
Абсолютную погрешность округли до одной значащей
цифры
х и
5. Результат измерения (истинное значение)
представляют в виде
( и )
при этом значение Хи округляют или уточняют до
разряда, оставшегося в значении после его
округления

18. Задача 1

• При помощи вольтметра и амперметра
надо измерить сопротивление проводника,
если при напряжении на концах
проводника U (4,8 0.1) B в нем возник ток,
сила которого I (1.10 0.05) A .
Проанализируем данные задачи.
U u = 4,8 В, U = 0,1В, Iu =1,10 А, I = 0,05А.
1. используя формулу закона Ома, выполняют косвенное измерение
сопротивления проводника:
Ru
Uu 4. 8 B
= 4,4 Ом
Iu 1.10 A
2. По таблице находят формулу для расчета относительной погрешности
и вычисляют погрешность:
К
U I 0.1 0.05
0.021 0.045 0.066 0.07
Uu Iu 4.8 1.10
3. Вычисляют абсолютную погрешность измерения:
R R Ru 0.07 4.36 0.29 0.3 (Ом).
4. Результат косвенного измерения записывают в виде интервала,
содержащего истинное значение величины:
R ( Ru R) (4.4 0.3) (Ом).
Относительные погрешности величин, входящих в функциональную
зависимость, по которой производят косвенное измерение, могут
значительно отличаться друг от друга. При этом погрешности одних величин
могут быть пренебрежимо малы по сравнению с погрешностями других.
Например, допустим, что величина измеряется косвенно по формуле
Х= а/в,
причем
а 0,05, в 0,003 .
Тогда имеем, что
Х а в 0,05 0,003 0,053 0,05 а .
Следовательно, в этом случае погрешность величины в пренебрежимо мала
по сравнению с погрешностью величины а. Поэтому погрешность величины
Х определяется только погрешностью величины а.
При выполнении лабораторных работ величины, у которых относительные
погрешность пренебрежимо малы, могут быть известны заранее (например,
табличные величины). В этих случаях вычисления погрешностей
выполняются по упрощенным формулам, без учета погрешностей таких
величин.

21. Задача 2

Определить длину окружности, если ее диаметр д (1,2 0,1) м , пренебрегая
погрешностью числа π.
Решение: 1) L d 3.768 м
2) L
d
du
, L
0.1
0.08( 3 ) 0.083
1.2
3) L L Lu 0 ,313 0 ,3 м
4) L ( Lu L ) ( 3.8 0.3 )м
Ответ: L ( 3.8 0.3 ) м.

22. Решите самостоятельно

Задача 3.
Определить массу сена в скирде, если ее объем V (450 3) м3, а средняя
плотность (92 1) кг/м3.
Ответ: m = (41±7)·103кг
Задача 4.
Определить скорость молокоотдачи, если за время дойки t (360 1)c
От коровы получено m (8,50 0,50) кг молока.
Справка: скорость молокоотдачи важная характеристика, позволяющая
определить пригодность коровы к доению доильным аппаратом.
Скорость молокоотдачи есть масса молока, получаемая от коровы в единицу
времени, она определяется по формуле с
m
.
t
Ответ: с=(2,36±0,02)·10-2кг/с
Задача 5.
Определить площадь круглой пластины, если известен ее диаметр:
д (1,2 0,1) м .
Ответ: S = (
? )м2

23. Измерительные приборы

ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ

24. Штангенциркуль


Штангенциркуль применяется для измерений длин и
расстояний, не превышающих 25-30 см с точностью (в
зависимости от типа штангенциркуля) от 0,1 до 0,02 мм.
Измерения длин по линейным шкалам становятся более
точными за счет применения линейного нониуса.
2) Устройство штангенциркуля
Состоит штангенциркуль (см. рис.) из стальной линейки А,
несущей основную шкалу с ценой деления 1 мм; с левой
стороны линейки имеется неподвижная «щечка» Б.
Другая «щечка» В снабжена нониусом Г и может
перемещаться вдоль линейки А. Когда «щечки» Б и В
сдвинуты и соприкасаются, нуль основной шкалы и нуль
нониуса совпадают.
Линейный нониус представляет собой короткую
вспомогательную линейку с делениями, передвигаемую
вдоль основания шкалы; деления на нониусе нанесены
так, что 9 миллиметровых делений основной шкалы
равняются по длине 10 делениям нониуса; это означает,
что при цене деления основной шкалы Сш = 1 мм цена
деления нониуса Сн = 0,9 мм..
Разность цен делений основной шкалы и нониуса
называется ценой точности нониуса:
Ст = Сш — Сн
Значение цены точности нониуса обычно указано на
подвижной части штангенциркуля.

25. Методика измерения линейных размеров объекта при помощи штангенциркуля


Для того, чтобы штангенциркулем
произвести измерение, измеряемый
предмет помещают между «щечками»,
которые сдвигают до соприкосновения
(без сильного нажима) с предметом и
закрепляют винтом Д. После этого
фиксируют показания штангенциркуля по
основной шкале и нониусу и находят
измеренное значение величины по
формуле линейного нониуса
L n = n и + С т · k.
Здесь n и – число целых делений основной
шкалы штангенциркуля, лежащих в
момент измерения левее нулевой метки
нониуса; k – значение метки нониуса,
совпавшей с какой-то меткой основной
шкалы; С т — цена точности нониуса
(значение обычно указано на подвижной
части штангенциркуля).
измерение диаметра d тела
штангенциркулем с ценой точности
нониуса С т = 0,1 мм. Число целых делений
основной шкалы, лежащих левее нуля
нониуса n и = 15; совпадает с некоторым
делением основной шкалы восьмое
деление нониуса, т.е. k = 8. Отсюда
следует, что
d и= 15 + 0,1 · 8 = 15,8 мм.

Анализ ошибок

. Может ли кто-нибудь объяснить погрешность измерения?

спросил

Изменено 5 лет, 8 месяцев назад

Просмотрено 14 тысяч раз

$\begingroup$

Я действительно не могу понять, как измерительный прибор с наименьшим делением, скажем, 20 имеет оценочную погрешность в половину этого значения.

Во-первых, почему половина, а во-вторых, почему самое маленькое деление? Разве прибор не может быть более точным? Если можно, поясните схемами, большое спасибо.

  • измерения
  • анализ ошибок

$\endgroup$

$\begingroup$

Неопределенность возникает из-за ограничений экспериментального оборудования. Если ваше измерительное устройство может измерять до 1 единицы, то говорят, что наименьшее значение измерительного устройства составляет 1 единицу. Вы не можете получить более точный результат, чем наименьший подсчет.

Предположим, ваши весы показали показания, как показано выше. Очевидно, оно лежит между 2 и 3, но можно ли уточнить? Да, вы можете получить более точное значение. Указатель лежит между 2-й и 3-й строкой после 2-й. Он лежит где-то посередине, неизвестно где. Ваш прибор не позволяет измерять точнее. Поскольку она может находиться где угодно между двумя разделительными линиями, неопределенность называется шириной разделительных линий.

В нашем случае это $0,2$ единиц. Это также известно как наименьшее количество инструментов.

Вы сообщите показания как $2,4 \pm 0,2$ единиц.

Однако есть более разумный способ сообщить значение, но обычно он не является предпочтительным. Вы примерно можете догадаться, в какую сторону наклоняется указатель, т. е. к $2,4$ или $2,6$. Если он больше склоняется к 2,4 доллара США, вы можете указать значение как 2,45 доллара США \pm 0,01$, а если оно больше склоняется к 2,6 доллара США, вы можете указать значение как 2,55 доллара США \pm 0,05$. Ваш профессор, вероятно, ударил бы вас за то, что вы сообщаете значения таким образом.

Лучший способ сообщить значение: $2,5\pm 0,1$.

Вы можете еще больше уменьшить неопределенность, купив более качественное оборудование, которое может измерять количество более точно (меньше наименьший счет).

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Мы должны различать аналоговые инструменты и цифровые инструменты.

Для цифровых приборов погрешность обычно составляет $\pm1$ от последней значащей цифры (если в листе приборов не указано иное). Когда мне нужно было измерить массу в моем лабораторном курсе, если разрешение моего прибора было 1 г, я должен был написать $m=(125\pm1)$ г. Иногда моя погрешность была выше инструментального разрешения (из-за особенностей инструкции), но никогда не меньше.

Для аналоговых приборов с градуирующей шкалой погрешность обычно составляет половину наименьшего приращения, которое вы можете измерить. Например, рассмотрим линейку. Вы измеряете карандаш и на вид видите, что карандаш ближе всего к 36 мм, чем к 35 мм или 37 мм. Может 36,2 мм, может 35,8 мм. Но вы уверены, что это не 35,2 мм, потому что на самом деле ВИДИТЕ, что ближайшая отметка — 36 мм. Таким образом, вы можете сделать вывод, что ваша мера лежит между 35,5 мм и 36,5 мм. Вы получаете $L=(36,0\pm0,5)$ мм. 9{st}$ глава «Введение в анализ ошибок» Дж. Р. Тейлора.

$\endgroup$

$\begingroup$

Подумайте о чтении измерения, сделанного с помощью цифрового прибора. Предположим, вы следите за своим весом, и когда вы встаете на весы, они показывают 76,4 кг. Шансы, что вы ТОЧНО 76,4 кг, очень малы (на самом деле 0). На самом деле весы скажут вам, что вы весите 76,4 кг, если ваш вес находится где-то между 76,35 и 76,45 кг. Таким образом, ошибка в вашем измерении составляет $\pm 0,5$ кг, и вы должны указать свое измерение как $76,4$ кг $\pm 0,5$ кг

Более точные весы могут показать, что вы весите 76,42 кг или 76,40 кг, и в этом случае ваша погрешность составит $\pm 0,05$ кг.

$\endgroup$

$\begingroup$

Если вы смотрите на указатель где-то в наименьшем делении, вы можете визуально определить, на какой половине он находится. Но вам будет трудно сказать, где это точнее. Таким образом, наименьшее количество, которое вы можете прочитать на шкале, составляет половину наименьшего деления.

Кроме того, измерительные устройства могут дать сбой, поэтому точность иногда может быть меньше, чем шкала на устройстве в принципе может регистрировать.

$\endgroup$

$\begingroup$

Неопределенность правила есть наименьшее деление, потому что длина есть разница между двумя точками

Правый конец объекта равен $4,35\pm 0,05$ (в соответствующих единицах), а левый- конец руки подвергается той же неопределенности. Следовательно, длина объекта будет

$$(4,35 \pm 0,05) — (0,00 \pm 0,05)$$

или $4,3 \pm 0,1$. Существование неопределенности с обеих сторон объекта становится более очевидным, если мы измеряем длину как

$\endgroup$

Объяснение урока: Неопределенность измерений и разрешение

В этом объяснении мы узнаем, как определить основанные на разрешении и случайные погрешности измерений и покажем, как они влияют на значения измерений.

В физике нам часто приходится проводить измерения. Это может быть размер объекта, количество времени или яркость звезды. Прежде чем мы сможем сделать какой-либо вывод из величин, которые мы измеряем, мы должны понять ограничения измерения.

Все измерения ограничены устройствами, которые мы используем для их проведения. Например, представьте, что мы хотим измерить длину объекта с помощью расположенной ниже линейки с отметками в сантиметрах.

Степень детализации показаний прибора известна как разрешение . При этом линейка имеет разрешение 1 см.

Мы видим, что объект ближе к отметке 5 см, чем к отметке 6 см, поэтому мы запишем длину как 5 см. Однако явно не ровно 5 см.

Используя эту линейку, мы будем записывать любой объект, который ближе к отметке 5 см, чем к любому другому, как измеряющий 5 см. Это означает, что объект может быть всего 4,5 см или где-то до 5,5 см, и мы запишем его длину как 5 см.

Мы называем это погрешностью измерения. Источников неопределенности много, но здесь неопределенность из-за разрешения линейки.

Неопределенность этого измерения равна половине диапазона вероятных значений. В этом случае диапазон составляет 5,5−4,5=1смсмсм, а половина диапазона составляет 0,5×1=0,5смсм. Мы записываем эту неопределенность как ±0,5 см, чтобы указать, что истинное значение может быть как низким, как 5−0,5 = 4,5 см см см, так и выше, как 5 + 0,5 = 5,5 см см см.

Обратите внимание, что это равно половине разрешения линейки. При расчете неопределенности из-за разрешающей способности прибора диапазон вероятных значений равен разрешающей способности. Поэтому можно сказать, что неопределенность равна половине разрешения.

Мы могли бы уменьшить неопределенность в измерении нашего объекта, используя другую линейку, скажем, такую, на которой есть отметки через каждый миллиметр, а не через каждый сантиметр. Эта линейка имеет разрешение 1 мм. Когда инструмент можно прочитать более точно, мы говорим, что он имеет выше разрешение .

С более высоким разрешением этой линейки мы теперь можем сказать, что наш объект находится ближе всего к отметке 5,3 см. На самом деле, когда мы сообщаем об этом измерении, это означает, что оно может лежать где-то между 5,25 см и 5,35 см, поэтому мы запишем измерение как 5,3 ± 0,05 см. Таким образом, увеличив разрешение нашего измерительного прибора, мы уменьшили неопределенность результирующего измерения. Говорят, что измерение с более низкой неопределенностью более точно .

Мы могли бы использовать инструмент с еще более высоким разрешением для измерения этого объекта, и это еще больше уменьшило бы неопределенность и привело к еще более точному измерению. Однако некоторая доля неопределенности всегда будет существовать. Все инструменты, которые мы используем для проведения измерений, имеют некоторое ограниченное разрешение, и, следовательно, все измерения имеют некоторую степень неопределенности.

Определение: погрешность и разрешение

Разрешение измерительного прибора — это «точность», до которой можно считывать показания прибора. Говорят, что прибор, который может измерять величину более точно, имеет более высокое разрешение .

Неопределенность измерения – это интервал, за который, вероятно, попадает «истинное» значение измеренной величины. Он равен половине диапазона вероятных значений.

Измерение с меньшей неопределенностью считается более точным .

Давайте рассмотрим пример сравнения точности двух инструментов.

Пример 1: Определение разрешения прибора

На схеме показаны два цифровых таймера с разными разрешениями. Оба таймера отображают время в секундах.

  1. Какой из двух цифровых таймеров имеет более высокое разрешение?
  2. Какой из двух цифровых таймеров может выполнять более точные измерения?

Ответ

Часть 1

В этом примере показаны два цифровых таймера. Таймер (а) показывает время 25,56 секунды, а таймер (б) показывает время 16,9 секунды. В первой части вопроса нам предлагается решить, какой таймер имеет более высокое разрешение.

Напомним, что разрешение — это степень точности, с которой прибор может считывать показания. Прибор с более высоким разрешением читается более точно, чем прибор с более низким разрешением.

Глядя на наши два таймера, у нас есть таймер (a), который записывает время с точностью до 0,01 секунды, и таймер (b), который записывает время с точностью до 0,1 секунды. Таймер (а) можно прочитать более точно. Следовательно, цифровой таймер с самым высоким разрешением — это таймер (a) .

Часть 2

В следующей части вопроса нас спрашивают, какой из двух цифровых таймеров может производить более точные измерения.

Более точное измерение имеет меньшую неопределенность, поэтому давайте рассмотрим неопределенность двух показаний.

Таймер (а) показывает значение 25,56 с. Истинное значение может быть где-то между 25,555 и 25,565 с. Это диапазон вероятных значений 25,565−25,555=0,01sss.

Таймер (b) показывает значение 16,9 с, что может указывать на истинное значение в диапазоне от 16,85 до 16,95 с. Диапазон вероятных значений составляет 16,95−16,85=0,1sss.

Таймер с наименьшим интервалом, в котором может лежать истинное значение, имеет наименьшую неопределенность и, следовательно, наибольшую точность. Следовательно, таймер, который может производить более точные измерения, равен 9.0095 таймер (а) .

В следующем примере мы рассчитаем диапазон и неопределенность измеренного значения.

Пример 2: Понимание погрешностей измерения

Небольшой объект измеряется с помощью измерительной линейки с отметками на расстоянии 1 см друг от друга, как показано на схеме. Левый конец объекта ближе к первой отметке (ноль см), чем к отметке 1 см, а правый конец объекта ближе к отметке 2 см, чем к отметке 3 см. отметка.

  1. Какова максимальная длина объекта?
  2. Какова минимальная длина объекта?
  3. Какова измеренная длина объекта?
  4. Какова погрешность измерения длины объекта?

Ответ

В этом примере мы пытаемся измерить длину небольшого предмета с помощью линейки с разрешением 1 см.

Нам говорят, что левый конец находится где-то между отметками 0 см и 1 см, но ближе к 0 см. Правый конец находится где-то между отметками 2 см и 3 см, но ближе к 2 см. Чтобы измерить длину объекта, мы берем показание с правого конца и вычитаем показание с левого конца.

Часть 1

Сначала нам нужно определить максимальную длину, которую может иметь объект. Это измерение, которое мы получили бы, если бы правый конец был дальше всего вправо, насколько это возможно, а левый конец — дальше всего влево. Это диапазон, отмеченный синим цветом на диаграмме. Максимальное расстояние вправо, на которое может быть направлен правый конец, составляет 2,5 см; дальше, и это будет читаться как 3 см. Точно так же крайний левый край, которым может быть левый конец, находится на 0 см. Таким образом, максимальная длина, которую может иметь объект, составляет 2,5−0=2,5 см см см.

Часть 2

Далее нам нужно найти минимальную длину объекта. Этот диапазон обозначен на схеме красным цветом; он охватывает диапазон от самого дальнего правого края, которым может быть левый конец, до самого дальнего левого края, которым может быть правый конец. Мы знаем, что левый конец ближе к 0 см, чем к 1 см, поэтому наибольшее значение, которое он может иметь, равно 0,5 см. Точно так же мы знаем, что правый конец лежит где-то между 2 см и 3 см, поэтому наименьший размер, который он может иметь, равен 2 см. Следовательно, минимальная длина объекта может быть 2−0,5=1,5смсмсм.

Часть 3

Для следующей части нам нужно определить измеренную длину объекта. Здесь мы берем ближайшие метки с обоих концов. На правом конце это 2 см, а на левом конце 0 см. Таким образом, измеренное значение равно 2−0=2cmcmcm.

Часть 4

Наконец, нам нужно определить неопределенность измеренной длины объекта. Неопределенность определяется как половина диапазона вероятных значений.

Мы уже нашли максимальное значение 2,5 см и минимальное значение 1,5 см. Таким образом, диапазон возможных измерений составляет 2,5−1,5=1 см·см·см. Половина диапазона составляет 0,5×1,5=0,5 см/см.

Таким образом, погрешность измерения длины объекта составляет ±0,5 см.

Разрешение прибора — это источник погрешности, относящийся к каждому производимому нами измерению, но это не единственный источник погрешности. Другой формой неопределенности, с которой мы регулярно сталкиваемся, является случайная неопределенность из-за изменений измеряемой величины.

Например, мы пытаемся измерить длину металлической трубы. Металл расширяется, когда он теплый, и сжимается, когда он холодный, поэтому мы можем получить разные измерения в зависимости от температуры в день, когда мы проводим измерение.

Способ уменьшения случайной неопределенности заключается в выполнении множества повторных измерений. Затем мы можем взять среднее значение набора значений в качестве наилучшей оценки истинного значения. Чтобы оценить неопределенность этого измерения, мы можем указать диапазон зарегистрированных значений, и неопределенность снова составит половину диапазона вероятных значений, так что случайнаянеопределенностьмаксимальноезначениеминимальноезначение=-2.

Мы увидим это на практике в следующем примере.

Пример 3. Понимание случайной неопределенности

Измеряется длина металлической трубы, и длина немного различается для разных измерений. Измерения приведены в таблице.

7 Длина 0,6

Размеры 1 2 3 4 5
100,3 100,2 100,2 100,2

  1. Найдите среднюю длину трубы.
  2. Найдите неопределенность длины трубы из-за изменения ее длины.
  3. Длина труб измеряется с точностью до 0,1 см. Является ли неопределенность длины трубы из-за точности измерений больше, меньше или равна неопределенности из-за изменений длины?

Ответ

Часть 1

У нас есть металлическая труба, длину которой мы пытаемся измерить. В таблице мы видим пять измерений, которые показывают, что длина меняется между измерениями. Первая часть вопроса требует от нас найти среднюю длину трубы. Для этого нам нужно вспомнить, что средняя сумма измеренийколичество измерений=.

В этом случае количество измерений равно 5, поэтому мы можем подставить это и сами измерения, и мы найдем среднее значениеcmcmcmcmcmcm=100,6+100,3+100,2+100,2+100,25=100,3.

Значит, средняя длина трубы 100,3 см.

Часть 2

Неопределенность в этом измерении представляет собой случайную неопределенность из-за изменений длины. Мы можем найти эту неопределенность, взяв случайнаянеопределенностьмаксимальноезначениеминимальноезначение=-2.

Здесь максимальное измеренное значение равно 100,6 см, а минимальное значение равно 100,2 см, поэтому имеем случайнаянеопределенностьсмсмсмсм=100,6−100,22=0,42=0,2.

Таким образом, погрешность длины трубы из-за изменения ее длины составляет ±0,2 см.

Часть 3

Наконец, нам говорят, что разрешение инструмента, используемого для измерения трубы, составляет 0,1 см. Напомним, что погрешность из-за разрешения равна половине разрешения прибора. Таким образом, неопределенность, связанная с точностью измерения, равна Разрешение по неопределенностисмсм=2=0,12=0,05.

Итак, мы имеем случайную погрешность из-за изменения длины ±0,2 см и неопределенность из-за точности измерения ±0,05 см. Таким образом, неопределенность, связанная с точностью измерения, составляет меньше , чем неопределенность из-за изменения длины.

Другой тип неопределенности, с которым мы можем столкнуться, это систематическая неопределенность . Это происходит, когда в плане эксперимента есть какой-то недостаток: возможно, кривая линейка, неправильно откалиброванная шкала или повторяющаяся ошибка при считывании измерения. Систематические погрешности приводят к тому, что измерения постоянно считываются как слишком высокие или слишком низкие. В отличие от случайных неопределенностей, мы не можем уменьшить систематические эффекты, проводя повторные измерения, поскольку ошибка присутствует в каждом измерении. Лучший способ уменьшить систематические погрешности — провести измерение известной величины и убедиться, что мы получили ожидаемый результат.

Когда мы определяем измерение как некоторое значение ± некоторая неопределенность, это известно как абсолютная неопределенность . Мы также можем выразить неопределенность как неопределенность процентов .

Для расчета процентной неопределенности мы используем процентная неопределенностьабсолютнаянеопределенностьизмеренноезначение=×100%.

Для нашего измерения 5±0,5 см мы рассчитали бы процентную погрешность как процентная неопределенностьсмсм=0,55×100%=10%.

Если бы мы измерили длину 50 см для другого объекта с помощью той же линейки, мы получили бы ту же абсолютную погрешность ±0,5 см. Процент неопределенности в этом случае будет процентная неопределенностьсмсм=0,550×100%=1%.

Таким образом, два измерения с одинаковой абсолютной погрешностью могут иметь разные процентные погрешности. Процентная неопределенность полезна, чтобы увидеть, насколько значительна неопределенность. В приведенном здесь примере у нас было два измерения с одинаковой абсолютной погрешностью ± 0,5 см, но с разными измеренными длинами 5 см и 50 см. Неопределенность гораздо более значительна при измерении меньших длин, и мы можем увидеть это более четко, если посмотрим на процентные погрешности 10 % и 1 %.

Давайте рассмотрим пример преобразования абсолютной неопределенности в процентную.

Пример 4: Преобразование абсолютной погрешности в процентную

Найдите разницу в процентной неопределенности двух следующих измерений: 10±0,5 с и 5±0,1 с.

Ответ

В этом примере нам даны два измерения с их абсолютными погрешностями, и нас просят найти разницу в процентах погрешностей.

Чтобы найти процент неопределенности каждой величины, нам нужно вспомнить, что процентная неопределенностьабсолютнаянеопределенностьизмеренноезначение=×100%.

Для первой величины мы имеем измеренное значение 10 с и абсолютную неопределенность ±0,5 с, что дает процентная неопределенность ss=0,510×100%=5%.

И для второго измерения у нас есть измеренное значение 5 с и абсолютная неопределенность 0,1 с, поэтому процентная неопределенность ss=0,15×100%=2%.

Чтобы найти разницу в процентной неопределенности, мы берем первый результат минус второй результат, поэтому разница в процентах неопределенности = 5%−2%=3%.

Вернувшись к нашим двум линейкам, мы смогли получить два измерения длины объекта: измерение 5 см от линейки, размеченной в сантиметрах, и измерение 5,3 см от линейки, размеченной в миллиметрах.

Один из способов взглянуть на эти два измерения состоит в том, что мы можем сказать, что в измерении 5,3 см содержится больше информации, чем в измерении 5 см. Это потому, что он имеет более значащих цифр .

Значащие цифры — это цифры, несущие значение. В этом случае размер 5,3 см имеет две значащие цифры, тогда как размер 5 см имеет только одну значащую цифру.

Количество значащих цифр в измеренной величине указывает разрешающую способность прибора, используемого для измерения. Здесь размер 5,3 см имеет более значащие цифры, поэтому мы знаем, что он был измерен с помощью инструмента с более высоким разрешением, чем тот, который использовался для измерения 5 см.

При подсчете значащих цифр в количестве мы не включаем начальные или конечные нули, которые используются в качестве заполнителей. Например, мы можем записать длину объекта, который мы измерили выше, как 0,053 м. Здесь ведущие нули являются заполнителями, поэтому они не влияют на количество значащих цифр, которое по-прежнему равно двум. Представление значения в разных единицах не меняет количество значащих цифр.

Точно так же у нас может быть карта, на которой шкала может быть прочитана с точностью до 1‎ ‎000 м и на которой мы измеряем расстояние в 5‎ ‎‎м. Это значение имеет только одну значащую цифру, так как мы не включаем конечные нули. Мы могли бы также записать это значение как 5 км, измеренное с точностью до 1 км. Здесь тоже есть одна значащая цифра.

Обратите внимание, что конечные нули не всегда являются заполнителями. Если бы масштаб на карте имел достаточно высокое разрешение, чтобы мы могли прочитать его с точностью до метра, мы все равно могли бы получить измерение в 5‎ ‎‎ м, но здесь значение имеет четыре значащих цифры. Важно учитывать разрешающую способность прибора, используемого для измерения, при подсчете количества значащих цифр значения.

Если нам дано значение 5‎ ‎000 м, нам могут сказать, что оно выражено с точностью до четырех значащих цифр, или, что то же самое, что прибор, используемый для измерения, имеет разрешение 1 м. Это говорит нам о том, что истинное значение находится между 4‎ ‎999,5 м и 5 000,5 м, тогда как значение 5 000 м, представленное с одной значащей цифрой, подразумевает истинное значение где-то между 4 500 м и 5 500 м.

Нули в конце после запятой (например, последний ноль в 0,0530 м) всегда являются значащими, поэтому 0,0530 м имеет 3 значащих цифры. Если значение записано таким образом, мы знаем, что измерение было выполнено с разрешением 0,0001 м.

Когда мы делаем вычисления, мы должны обязательно записывать нули после запятой только в том случае, если они значащие.

Как следует из этого примера, количество значащих цифр в кавычках значения может сказать нам о разрешении измерения и диапазоне вероятных истинных значений.

В следующем примере мы потренируемся считать количество значащих цифр в измеряемых величинах.

Пример 5: Понимание значащих цифр

Цифровые весы с разрешением 1 миллиграмм измеряют массы, указанные в таблице.

9 0,2429 9 1,401

Измерение 1 2 3 4 5
Масса (г) 0,080 10,084 12,440

  1. Сколько значащих цифр в первое измерение?
  2. Сколько значащих цифр во втором измерении?
  3. Сколько значащих цифр в третьем измерении?
  4. Сколько значащих цифр в четвертом измерении?
  5. Сколько значащих цифр в пятом измерении?

Ответ

В этом примере у нас есть цифровые весы, разрешение которых составляет 1 миллиграмм, и нас просят определить количество значащих цифр в каждом из пяти различных измерений, сделанных с помощью весов.

Первое, на что следует обратить внимание, это то, что измерения массы указаны в граммах, а разрешение весов указано как 1 миллиграмм. Напомним, что 1=1000гмг, поэтому 1=11000=0,001мггг. Таким образом, цифровые весы с разрешением 1 миллиграмм могут измерять массу с точностью до 0,001 г.

Часть 1

Глядя на первое измерение, мы видим, что оно записано как 0,080 г. Первые две цифры являются ведущими нулями, которые являются заполнителями и, следовательно, не учитываются при подсчете числа значащих цифр. Однако последний ноль имеет значение, потому что мы всегда включаем конечные нули после запятой. В этом случае мы также знаем, что шкала имеет достаточно высокое разрешение, чтобы точно записать эту цифру. Таким образом, количество значащих цифр в первом измерении равно 9.0095 два .

Часть 2

Во втором измерении 0,242 г мы можем игнорировать начальный нуль, и тогда у нас останется три значащих цифр.

Часть 3

Третье измерение: 1,401 г. Мы не можем игнорировать нули, которые находятся между ненулевыми цифрами, поэтому количество значащих цифр здесь равно четырем .

Часть 4

Аналогично, в четвертом измерении 10,084 г нам нужно посчитать все цифры до и после запятой, чтобы в сумме получилось пять значащих цифр.

Часть 5

Наконец, в пятом измерении 12,440 г мы включаем все цифры, включая ноль, потому что это нуль в конце после запятой. Таким образом, это измерение имеет пять значащих цифр.

Как показано здесь, один и тот же прибор может выполнять измерения с разным количеством значащих цифр в зависимости от размера измеряемой величины. Если измерение намного больше, чем разрешение прибора, мы можем записать измерение с более значащими цифрами.

Поскольку в физике мы никогда не сможем провести абсолютно точное измерение, важно ли понимать, как работать со значащими цифрами, чтобы иметь возможность заявлять измерения с соответствующим уровнем точности?

Мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда нам нужно использовать две измеренные величины для расчета третьего производного значения. Например, мы можем захотеть узнать скорость автомобиля. Для расчета скорости воспользуемся формулой скоростьрасстояниевремя=.

Расстояние, пройденное автомобилем, может быть тем, которое мы измерили выше, как 5 300 м с точностью до двух значащих цифр. Чтобы записать время, за которое автомобиль преодолел это расстояние, мы использовали цифровой таймер с разрешением 0,1 с, который фиксирует время как 166,7 с. Это измерение имеет четыре значащие цифры.

Мы можем рассчитать скорость как speeddistancetimems==5300166.7=31.79…/.

Здесь мы объединили две величины, одна из которых имеет две значащие цифры, а другая четыре. Когда мы вычисляем скорость, мы всегда приводим результат к наименьшему числу значащих цифр величин, которые мы использовали в расчете. В данном случае это две значащие цифры. Поэтому нам нужно привести этот результат к двум значащим цифрам. Мы делаем это, беря первые две цифры (31), а затем смотрим на следующую цифру. Если оно равно 4 или меньше, мы округляем в меньшую сторону и оставляем первые две цифры такими, какие они есть. Если оно равно 5 и выше, округляем последнюю цифру на единицу в большую сторону. В данном случае следующая цифра 7, поэтому округляем в большую сторону. Это делает окончательное значение скорость mдвум значащим цифрам = 32/.

Важно отметить, что количество значащих цифр не обязательно равно количеству знаков после запятой. Значение времени, которое мы использовали выше, 166,7 с, имеет четыре значащих цифры, но только один десятичный знак. Значение 0,05 м имеет два десятичных знака, но только одну значащую цифру.

Определение: значащие цифры

Количество значащих цифр в измеряемой величине представляет собой количество цифр, несущих значение. Это исключает начальные и конечные нули, когда они используются в качестве заполнителей.

При объединении двух или более значений с разным количеством значащих цифр результат всегда следует указывать с наименьшим числом значащих цифр любой из составляющих величин.

Теперь рассмотрим пару примеров работы со значащими цифрами.

Пример 6: Работа со значащими цифрами

Стороны прямоугольной плитки измеряются с точностью до сантиметра, и они равны 6 см и 8 см. Округлив до того же числа значащих цифр, до которого были измерены длины сторон, какова площадь плитки?

Ответ

Здесь нам нужно вычислить площадь прямоугольника по измеренным длинам двух его сторон.

Напомним, что для нахождения площади прямоугольника нужно умножить длины двух сторон. Итак, учитывая длины сторон 6 см и 8 см, имеем areacmcmcm=6×8=48.

Теперь нас просят привести результат к тому же количеству значащих цифр, до которого были измерены длины сторон. Длины обеих сторон даны с 1 значащей цифрой, поэтому и ответ следует давать с 1 значащей цифрой. Для этого сохраняем первую цифру (40 см 2 ), а затем посмотрите на второй, чтобы решить, нужно ли округлять в большую или меньшую сторону. В данном случае вторая цифра равна 8, поэтому мы хотим округлить. Это дает нам окончательный ответ areacmtosignificantfigure=501.

Пример 7: Комбинирование измерений с разным количеством значащих цифр

Расстояние 115 метров измеряется с точностью до метра. Дистанция пробегается за время 12 секунд, измеряемое с точностью до секунды. Округлив до соответствующего числа значащих цифр, какова была средняя скорость бега?

Ответ

В этом примере нам нужно рассчитать скорость бегуна, учитывая расстояние и время. Во-первых, вспомните, что скоростьрасстояниевремя=.

Подставляя значения в вопрос, находим скоростьmsms=11512=9,58̇3/.

Теперь нам нужно определить подходящее количество значащих цифр для округления результата. Мы начали с расстояния 115 м, которое имеет 3 значащих цифры, и времени 12 с, которое имеет 2 значащих цифры. При объединении значений с разным количеством значащих цифр результат всегда указывается с помощью 9.0111 минимум количество значащих цифр величин, используемых для его расчета. В этом случае время имеет младшую значащую цифру 2, поэтому мы должны указать результирующую скорость с точностью до 2 значащих цифр.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *