Сила лобового сопротивления формула: Лобовое сопротивление (аэродинамика) | это… Что такое Лобовое сопротивление (аэродинамика)?

Лобовое сопротивление (аэродинамика) | это… Что такое Лобовое сопротивление (аэродинамика)?

Четыре силы, действующие на самолёт

Лобовое сопротивление — сила, препятствующая движению тел в жидкостях и газах. Лобовое сопротивления складывается из двух типов сил: сил касательного (тангенциального) трения, направленных вдоль поверхности тела, и сил давления, направленных по нормали к поверхности. Сила сопротивления является диссипативной силой и всегда направлена против вектора скорости тела в среде. Наряду с подъёмной силой является составляющей полной аэродинамической силы.

Сила лобового сопротивления обычно представляется в виде суммы двух составляющих: сопротивления при нулевой подъёмной силе и индуктивного сопротивления. Каждая составляющая характеризуется своим собственным безразмерным коэффициентом сопротивления и определённой зависимостью от скорости движения.

Лобовое сопротивление может способствовать как обледенению летательных аппаратов (при низких температурах воздуха), так и вызывать нагревание лобовых поверхностей ЛА при сверхзвуковых скоростях ударной ионизацией.

Поток и форма препятствия	Профильное сопротивление	Сопротивление обшивки
	0%	100%
	~10%	~90%
	~90%	~10%
	100%	0%

Траектории трёх объектов (угол запуска — 70°, Distance — расстояние, Height — высота). Чёрный объект не испытывает никакого сопротивления и движется по параболе, на голубой объект действует Закон Стокса, на зеленый объект — закон вязкости Ньютона

Содержание 1 Сопротивление при нулевой подъёмной силе 2 Индуктивное сопротивление 3 Суммарное сопротивление 4 См. также 5 Ссылки

Сопротивление при нулевой подъёмной силе

Эта составляющая сопротивления не зависит от величины создаваемой подъёмной силы и складывается из профильного сопротивления крыла, сопротивления элементов конструкции самолёта, не вносящих вклад в подъёмную силу, и волнового сопротивления.

Последнее является существенным при движении с около- и сверхзвуковой скоростью, и вызвано образованием ударной волны, уносящей значительную долю энергии движения. Волновое сопротивление возникает при достижении самолётом скорости, соответствующей критическому числу Маха, когда часть потока, обтекающего крыло самолёта, приобретает сверхзвуковую скорость. Критическое число М тем больше, чем больше угол стреловидности крыла, чем более заострена передняя кромка крыла и чем оно тоньше.

Сила сопротивления направлена против скорости движения, её величина пропорциональна характерной площади S, плотности среды ρ и квадрату скорости V:

C_x0 — безразмерный аэродинамический коэффициент сопротивления, получается из критериев подобия, например, чисел Рейнольдса и Фруда в аэродинамике.

Определение характерной площади зависит от формы тела:

• в простейшем случае (шар) — площадь поперечного сечения;
• для крыльев и оперения — площадь крыла/оперения в плане;
• для пропеллеров и несущих винтов вертолётов — либо площадь лопастей, либо ометаемая площадь винта;
• для продолговатых тел вращения ориентированных вдоль потока (фюзеляж, оболочка дирижабля) — приведённая волюметрическая площадь, равная V^2/3, где V — объём тела.

Мощность, требуемая для преодоления данной составляющей силы лобового сопротивления, пропорциональна кубу скорости.

Индуктивное сопротивление

Индуктивное сопротивление (англ. lift-induced drag) — это следствие образования подъёмной силы на крыле конечного размаха. Несимметричное обтекание крыла приводит к тому, что поток воздуха сбегает с крыла под углом к набегающему на крыло потоку (т. н. скос потока). Таким образом, во время движения крыла происходит постоянное ускорение массы набегающего воздуха в направлении, перпендикулярном направлению полёта, и направленном вниз. Это ускорение во-первых сопровождается образованием подъёмной силы, а во-вторых — приводит к необходимости сообщать ускоряющемуся потоку кинетическую энергию. Количество кинетической энергии, необходимое для сообщения потоку скорости, перпендикулярной направлению полёта, и будет определять величину индуктивного сопротивления.

На величину индуктивного сопротивления оказывает влияние не только величина подъёмной силы, но и её распределение по размаху крыла. Минимальное значение индуктивного сопротивления достигается при эллиптическом распределении подъёмной силы по размаху. При проектировании крыла этого добиваются следующими методами:

• выбором рациональной формы крыла в плане;
• применением геометрической и аэродинамической крутки;
• установкой вспомогательных поверхностей — вертикальных законцовок крыла.

Индуктивное сопротивление пропорционально квадрату подъёмной силы Y, и обратно пропорционально площади крыла S, его удлинению λ, плотности среды ρ и квадрату скорости V:

Таким образом, индуктивное сопротивление вносит существенный вклад при полёте на малой скорости (и, как следствие, на больших углах атаки). Оно также увеличивается при увеличении веса самолёта.

Суммарное сопротивление

Является суммой всех видов сил сопротивления:

X = X₀ + X_i

Так как сопротивление при нулевой подъёмной силе X₀ пропорционально квадрату скорости, а индуктивное 

X_i — обратно пропорционально квадрату скорости, то они вносят разный вклад при разных скоростях. С ростом скорости, X₀ растёт, а X_i — падает, и график зависимости суммарного сопротивления X от скорости («кривая потребной тяги») имеет минимум в точке пересечения кривых X₀ и X_i, при которой обе силы сопротивления равны по величине. При этой скорости самолёт обладает наименьшим сопротивлением при заданной подъёмной силе (равной весу), а значит наивысшим аэродинамическим качеством.

Мощность, требуемая для преодоления силы паразитного сопротивления, пропорциональна кубу скорости, а мощность, требуемая для преодоления индуктивного сопротивления, обратно-пропорциональна скорости, поэтому суммарная мощность тоже имеет нелинейную зависимость от скорости. При некоторой скорости мощность (а значит и расход топлива) становится минимальной — это скорость

наибольшей продолжительности полёта (барражирования). Скорость, при которой достигается минимум отношения мощности (расхода топлива) к скорости полёта, является скоростью максимальной дальности полёта или крейсерской скоростью.

См. также

• Эффект Бартини

Ссылки

• Аэродинамическое сопротивление — статья из Большой советской энциклопедии
• Аэродинамическое сопротивление — статья из Физической энциклопедии
• Юрьев Б. Н. Экспериментальная аэродинамика. Часть II Индуктивное сопротивление, НКОП СССР, 1938, 275 с.

Силы, действующие на самолёт

Подъёмная сила • Вес • Тяга • Лобовое сопротивление

 

Лобовое сопротивление (аэродинамика) | это… Что такое Лобовое сопротивление (аэродинамика)?

Четыре силы, действующие на самолёт

Лобовое сопротивление — сила, препятствующая движению тел в жидкостях и газах. Лобовое сопротивления складывается из двух типов сил: сил касательного (тангенциального) трения, направленных вдоль поверхности тела, и сил давления, направленных по нормали к поверхности. Сила сопротивления является диссипативной силой и всегда направлена против вектора скорости тела в среде. Наряду с подъёмной силой является составляющей полной аэродинамической силы.

Сила лобового сопротивления обычно представляется в виде суммы двух составляющих: сопротивления при нулевой подъёмной силе и индуктивного сопротивления. Каждая составляющая характеризуется своим собственным безразмерным коэффициентом сопротивления и определённой зависимостью от скорости движения.

Лобовое сопротивление может способствовать как обледенению летательных аппаратов (при низких температурах воздуха), так и вызывать нагревание лобовых поверхностей ЛА при сверхзвуковых скоростях ударной ионизацией.

Поток и форма препятствия	Профильное сопротивление	Сопротивление обшивки
	0%	100%
	~10%	~90%
	~90%	~10%
	100%	0%

Траектории трёх объектов (угол запуска — 70°, Distance — расстояние, Height — высота). Чёрный объект не испытывает никакого сопротивления и движется по параболе, на голубой объект действует Закон Стокса, на зеленый объект — закон вязкости Ньютона

Содержание 1 Сопротивление при нулевой подъёмной силе 2 Индуктивное сопротивление 3 Суммарное сопротивление 4 См. также 5 Ссылки

Сопротивление при нулевой подъёмной силе

Эта составляющая сопротивления не зависит от величины создаваемой подъёмной силы и складывается из профильного сопротивления крыла, сопротивления элементов конструкции самолёта, не вносящих вклад в подъёмную силу, и волнового сопротивления. Последнее является существенным при движении с около- и сверхзвуковой скоростью, и вызвано образованием ударной волны, уносящей значительную долю энергии движения. Волновое сопротивление возникает при достижении самолётом скорости, соответствующей критическому числу Маха, когда часть потока, обтекающего крыло самолёта, приобретает сверхзвуковую скорость. Критическое число М тем больше, чем больше угол стреловидности крыла, чем более заострена передняя кромка крыла и чем оно тоньше.

Сила сопротивления направлена против скорости движения, её величина пропорциональна характерной площади S, плотности среды ρ и квадрату скорости V:

C_x0 — безразмерный аэродинамический коэффициент сопротивления, получается из критериев подобия, например, чисел Рейнольдса и Фруда в аэродинамике.

Определение характерной площади зависит от формы тела:

• в простейшем случае (шар) — площадь поперечного сечения;
• для крыльев и оперения — площадь крыла/оперения в плане;
• для пропеллеров и несущих винтов вертолётов — либо площадь лопастей, либо ометаемая площадь винта;
• для продолговатых тел вращения ориентированных вдоль потока (фюзеляж, оболочка дирижабля) — приведённая волюметрическая площадь, равная V^2/3, где V — объём тела.

Мощность, требуемая для преодоления данной составляющей силы лобового сопротивления, пропорциональна кубу скорости.

Индуктивное сопротивление

Индуктивное сопротивление (англ. lift-induced drag) — это следствие образования подъёмной силы на крыле конечного размаха. Несимметричное обтекание крыла приводит к тому, что поток воздуха сбегает с крыла под углом к набегающему на крыло потоку (т. н. скос потока). Таким образом, во время движения крыла происходит постоянное ускорение массы набегающего воздуха в направлении, перпендикулярном направлению полёта, и направленном вниз. Это ускорение во-первых сопровождается образованием подъёмной силы, а во-вторых — приводит к необходимости сообщать ускоряющемуся потоку кинетическую энергию. Количество кинетической энергии, необходимое для сообщения потоку скорости, перпендикулярной направлению полёта, и будет определять величину индуктивного сопротивления.

На величину индуктивного сопротивления оказывает влияние не только величина подъёмной силы, но и её распределение по размаху крыла. Минимальное значение индуктивного сопротивления достигается при эллиптическом распределении подъёмной силы по размаху. При проектировании крыла этого добиваются следующими методами:

• выбором рациональной формы крыла в плане;
• применением геометрической и аэродинамической крутки;
• установкой вспомогательных поверхностей — вертикальных законцовок крыла.

Индуктивное сопротивление пропорционально квадрату подъёмной силы Y, и обратно пропорционально площади крыла S, его удлинению λ, плотности среды ρ и квадрату скорости V:

Таким образом, индуктивное сопротивление вносит существенный вклад при полёте на малой скорости (и, как следствие, на больших углах атаки). Оно также увеличивается при увеличении веса самолёта.

Суммарное сопротивление

Является суммой всех видов сил сопротивления:

X = X₀ + X_i

Так как сопротивление при нулевой подъёмной силе X₀ пропорционально квадрату скорости, а индуктивное X_i — обратно пропорционально квадрату скорости, то они вносят разный вклад при разных скоростях. С ростом скорости, X₀ растёт, а X_i — падает, и график зависимости суммарного сопротивления X от скорости («кривая потребной тяги») имеет минимум в точке пересечения кривых X₀ и X_i, при которой обе силы сопротивления равны по величине. При этой скорости самолёт обладает наименьшим сопротивлением при заданной подъёмной силе (равной весу), а значит наивысшим аэродинамическим качеством.

Мощность, требуемая для преодоления силы паразитного сопротивления, пропорциональна кубу скорости, а мощность, требуемая для преодоления индуктивного сопротивления, обратно-пропорциональна скорости, поэтому суммарная мощность тоже имеет нелинейную зависимость от скорости. При некоторой скорости мощность (а значит и расход топлива) становится минимальной — это скорость наибольшей продолжительности полёта (барражирования). Скорость, при которой достигается минимум отношения мощности (расхода топлива) к скорости полёта, является скоростью максимальной дальности полёта или крейсерской скоростью.

См. также

• Эффект Бартини

Ссылки

• Аэродинамическое сопротивление — статья из Большой советской энциклопедии
• Аэродинамическое сопротивление — статья из Физической энциклопедии
• Юрьев Б. Н. Экспериментальная аэродинамика. Часть II Индуктивное сопротивление, НКОП СССР, 1938, 275 с.

Силы, действующие на самолёт

Подъёмная сила • Вес • Тяга • Лобовое сопротивление

 

Уравнение сопротивления

Перетаскивание зависит от плотность воздуха, квадрат скорости, вязкость и сжимаемость воздуха, размер и форма тело и склонность тела к поток. В целом зависимость от формы тела, наклона, воздуха вязкость и сжимаемость очень сложны. Один из способов справиться со сложными зависимостями — охарактеризовать зависимость от одной переменной. Для перетаскивания эта переменная называется коэффициент аэродинамического сопротивления, обозначенный 92 Для данного воздуха условиях, форме и наклоне объекта, мы должны определить значение для Cd для определения сопротивления. Определение стоимости коэффициент лобового сопротивления сложнее, чем определение коэффициент подъемной силы из-за многократного источники сопротивления. Приведенный выше коэффициент лобового сопротивления включает форму компоненты сопротивления, сопротивления поверхностного трения и волнового сопротивления. Коэффициенты аэродинамического сопротивления почти всегда определяется опытным путем с помощью аэродинамическая труба. Обратите внимание, что площадь (A), заданная в уравнении сопротивления, представлена ​​как опорная область . Перетаскивание напрямую зависит от размера тела. Поскольку мы имеем дело с аэродинамическими сил зависимость может быть охарактеризована некоторой площадью. Но какой район выбираем? Если мы думаем, что сопротивление вызвано трения между воздухом и телом, логичным выбором было бы общая площадь поверхности тела. Если мы думаем о перетаскивании как о сопротивление потоку, более логичным выбором будет лобовое участок тела, перпендикулярный направлению потока. И наконец, если мы хотим сравнить с коэффициентом подъемной силы, мы должны используйте ту же площадь крыла, которая использовалась для получения коэффициента подъемной силы. Поскольку Коэффициент лобового сопротивления обычно определяют экспериментально путем измерения перетащите и область, а затем выполните деление, чтобы получить коэффициент, мы можем использовать любая область которую можно легко измерено. Если мы выберем площадь крыла, а не поперечное сечение площадь, вычисленный коэффициент будет иметь другое значение. Но сопротивление одинаково, а коэффициенты связаны отношением области. На практике коэффициенты аэродинамического сопротивления сообщаются на основе широкий выбор площадей объектов. В отчете инженер-испытатель должен укажите используемую площадь; при использовании данных читателю, возможно, придется преобразовать коэффициент лобового сопротивления, используя соотношение площадей. В приведенном выше уравнении плотность обозначается как греческая буква «ро». Мы не используем «d» для плотности так как «д» часто используется указать расстояние. Сочетание термины «плотность, умноженная на квадрат скорости, деленный на два» называется динамическое давление и появляется у Бернулли уравнение давления. Экскурсии с гидом Ракетная аэродинамика: Вязкостная аэродинамика: Деятельность: Связанные сайты: Rocket Index Rocket Home Руководство для начинающих Home

6.4 Сила лобового сопротивления и предельная скорость — Университетская физика, том 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Выразите силу сопротивления математически
• Описать применение силы сопротивления
• Определить конечную скорость
• Определить конечную скорость объекта по его массе

Другой интересной силой в повседневной жизни является сила сопротивления объекта, когда он движется в жидкости (газе или жидкости). Вы чувствуете силу сопротивления, когда проводите рукой по воде. Вы также можете почувствовать это, если пошевелите рукой во время сильного ветра. Чем быстрее вы двигаете рукой, тем труднее двигаться. Вы чувствуете меньшую силу сопротивления, когда наклоняете руку так, чтобы только сторона проходила через воздух — вы уменьшили площадь своей руки, обращенную в направлении движения.

Силы сопротивления

Как и трение, сила сопротивления всегда противодействует движению объекта. В отличие от простого трения, сила сопротивления пропорциональна некоторой функции скорости объекта в этой жидкости. Эта функциональность сложна и зависит от формы объекта, его размера, его скорости и жидкости, в которой он находится. Для большинства крупных объектов, таких как велосипедисты, автомобили и бейсбольные мячи, движущихся не слишком медленно, величина силы сопротивления FDFD пропорциональна квадрату скорости тела. Мы можем записать это соотношение математически как FD∝v2. FD∝v2. При учете других факторов эта связь становится

ФД=12CρAv2,ФД=12CρAv2,

6,5

, где C — коэффициент сопротивления, A — площадь объекта, обращенного к жидкости, а ρρ — плотность жидкости. (Напомним, что плотность — это масса на единицу объема.) Это уравнение также можно записать в более обобщенном виде: FD=bvn, FD=bvn, где b — константа, эквивалентная 0,5CρA.0,5CρA. Мы установили показатель степени n для этих уравнений равным 2, потому что, когда объект движется с высокой скоростью в воздухе, величина силы сопротивления пропорциональна квадрату скорости. Как мы увидим в механике жидкости, для малых частиц, движущихся в жидкости с малыми скоростями, показатель степени n равно 1.

Сила сопротивления

Сила сопротивления FDFD пропорциональна квадрату скорости объекта. Математически

FD=12CρAv2,FD=12CρAv2,

, где C — коэффициент сопротивления, A — площадь объекта, обращенного к жидкости, а ρρ — плотность жидкости.

Спортсмены, а также конструкторы автомобилей стремятся уменьшить силу сопротивления, чтобы сократить время гонки (рис. 6.29). Аэродинамическая форма автомобиля может уменьшить силу сопротивления и, таким образом, увеличить расход топлива автомобиля.

Рисунок 6,29 От гоночных автомобилей до гонщиков бобслея аэродинамическая форма имеет решающее значение для достижения максимальной скорости. Бобслей создан для скорости и имеет форму пули с коническими плавниками. (кредит: «Армия США»/Wikimedia Commons)

Значение коэффициента сопротивления C определяют опытным путем, обычно с применением аэродинамической трубы (рис. 6.30).

Рисунок 6.30 Исследователи НАСА тестируют модель самолета в аэродинамической трубе. (кредит: НАСА/Эймс)

Коэффициент лобового сопротивления может зависеть от скорости, но мы предполагаем, что здесь он является константой. В таблице 6.2 перечислены некоторые типичные коэффициенты сопротивления для различных объектов. Обратите внимание, что коэффициент сопротивления является безразмерной величиной. На шоссейных скоростях более 50% 50% мощности автомобиля используется для преодоления сопротивления воздуха. Наиболее экономичная крейсерская скорость составляет около 70–80 км / ч (около 45–50 миль / ч). По этой причине во время нефтяного кризиса 1970-х годов в Соединенных Штатах максимальная скорость на шоссе была установлена ​​на уровне около 9 км/ч.0 км/ч (55 миль/ч).

Объект	С
Аэродинамический профиль	0,05
Тойота Камри	0,28
Форд Фокус	0,32
Хонда Сивик	0,36
Феррари Тестаросса	0,37
пикап Dodge Ram	0,43
Сфера	0,45
Внедорожник Hummer h3	0,64
Парашютист (ноги вперед)	0,70
Велосипед	0,90
Парашютист (горизонтальный)	1,0
Круглая плоская пластина	1,12

Стол 6. 2 Типичные значения коэффициента лобового сопротивления C

В мире спорта ведутся масштабные исследования по минимизации сопротивления. Ямочки на мячах для гольфа переделываются, как и одежда, которую носят спортсмены. Велогонщики, а также некоторые пловцы и бегуны носят полные боди. Австралийка Кэти Фриман носила полный костюм на Олимпийских играх 2000 года в Сиднее и выиграла золотую медаль в беге на 400 метров. Многие пловцы на Олимпийских играх 2008 года в Пекине носили комбинезоны (спидометры); это могло бы иметь значение для побития многих мировых рекордов (рис. 6.31). Большинство элитных пловцов (и велосипедистов) бреют волосы на теле. Такие инновации могут сократить миллисекунды в гонке, иногда определяя разницу между золотой и серебряной медалью. Одним из следствий этого является то, что для поддержания целостности спорта необходимо постоянно разрабатывать тщательные и точные правила.

Рисунок 6.31 Боди-костюмы, такие как этот LZR Racer Suit, помогли установить множество мировых рекордов после их выпуска в 2008 году. Более гладкая «кожа» и большее усилие сжатия на теле пловца обеспечивают как минимум на 10 % 10 % меньше сопротивления. (кредит: НАСА/Кэти Барнсторфф)

Предельная скорость

Некоторые интересные ситуации, связанные со вторым законом Ньютона, возникают при рассмотрении воздействия сил сопротивления на движущийся объект. Например, рассмотрим парашютиста, падающего в воздухе под действием силы тяжести. На него действуют две силы: сила тяжести и сила сопротивления (без учета малой выталкивающей силы). Нисходящая сила тяжести остается постоянной независимо от скорости, с которой движется человек. Однако по мере увеличения скорости человека величина силы сопротивления увеличивается до тех пор, пока величина силы сопротивления не сравняется с силой гравитации, что приводит к нулевой чистой силе. Нулевая результирующая сила означает, что ускорения нет, как показывает второй закон Ньютона. В этот момент скорость человека остается постоянной, и мы говорим, что человек достиг своей конечной скорости (vT). (vT). Поскольку FDFD пропорционален квадрату скорости, более тяжелый парашютист должен двигаться быстрее, чтобы FDFD сравнялся с его весом. Давайте посмотрим, как это работает более количественно.

На предельной скорости,

Fnet=mg-FD=ma=0.Fnet=mg-FD=ma=0.

Таким образом,

мг=ФД.мг=ФД.

Используя уравнение для силы сопротивления, мы имеем

мг=12CρAvT2.мг=12CρAvT2.

Решая скорость, получаем

vT=2мгρCA.vT=2мгρCA.

Предположим, что плотность воздуха равна ρ=1,21 кг/м3. ρ=1,21 кг/м3. Парашютист весом 75 кг, спускающийся вниз головой вперед, имеет площадь поперечного сечения приблизительно A=0,18 м2, A=0,18 м2 и коэффициент сопротивления приблизительно C=0,70C=0,70. Мы находим, что

vT=2(75кг)(9,80м/с2)(1,21кг/м3)(0,70)(0,18м2)=98м/с=350км/ч.vT=2(75кг)(9,80м/с2)(1,21кг /м3)(0,70)(0,18м2)=98м/с=350км/ч.

Это означает, что парашютист массой 75 кг достигает конечной скорости около 350 км/ч, путешествуя головой вперед, сводя к минимуму площадь и сопротивление. В расправленном положении эта конечная скорость может уменьшиться примерно до 200 км/ч по мере увеличения площади. Эта конечная скорость становится намного меньше после раскрытия парашюта.

Пример 6.17

Предельная скорость парашютиста

Найдите конечную скорость парашютиста массой 85 кг, падающего с распростертым орлом. Предположим, что в положении орла ныряльщик имеет площадь поперечного сечения 0,70 м20,70 м2.

Стратегия

При конечной скорости Fnet=0.Fnet=0. Таким образом, сила сопротивления парашютиста должна равняться силе тяжести (весу человека). Используя уравнение силы сопротивления, находим mg=12ρCAv2.mg=12ρCAv2.

Раствор

Конечная скорость vTvT может быть записана как

vT=2мгρCA=2(85кг)(9,80м/с2)(1,21кг/м3)(1,0)(0,70м2)=44м/с.vT=2мгρCA=2(85кг)(9,80м/с2)(1,21 кг/м3)(1,0)(0,70м2)=44м/с.

Значение

Этот результат согласуется со значением для vTvT, упомянутым ранее. Парашютист весом 75 кг, идущий вперед ногами, имел конечную скорость vT=98 м/с. vT=98 м/с. Он весил меньше, но имел меньшую лобовую площадь и, следовательно, меньшее сопротивление воздуха.

Проверьте свое понимание 6.10

Найдите предельную скорость 50-килограммового парашютиста, падающего распростертым орлом.

Размер объекта, падающего в воздухе, представляет собой еще одно интересное применение сопротивления воздуха. Если вы упадете с 5-метровой ветки дерева, вы, скорее всего, поранитесь — возможно, сломаете кость. Однако маленькая белка делает это все время, не причиняя себе вреда. Вы не достигаете конечной скорости на таком коротком расстоянии, а белка достигает.

Следующая интересная цитата о размере животного и конечной скорости взята из 1928 эссе британского биолога Дж. Б. С. Холдейна под названием «О правильном размере».

«Для мышей и любых мелких животных [гравитация] практически не представляет опасности. Вы можете бросить мышь в шахту длиной в тысячу ярдов; и, достигнув дна, он получает легкий толчок и уходит, при условии, что земля достаточно мягкая. Крыса убита, человек разбит, а лошадь забрызгана. Ибо сопротивление воздуха движению пропорционально поверхности движущегося объекта. Разделите длину, ширину и высоту животного на десять; его вес уменьшен в тысячную, а поверхность только в сотые. Таким образом, сопротивление падению маленького животного относительно в десять раз больше, чем движущая сила».

Приведенная выше квадратичная зависимость сопротивления воздуха от скорости не выполняется, если объект очень мал, движется очень медленно или находится в более плотной среде, чем воздух. Тогда мы находим, что сила сопротивления прямо пропорциональна скорости. Эта зависимость определяется законом Стокса.

Закон Стокса

Для сферического объекта, падающего в среду, сила сопротивления равна

Fs=6πrηv,Fs=6πrηv,

6,6

, где r — радиус объекта, ηη — вязкость жидкости, а v — скорость объекта.

Хорошими примерами закона Стокса являются микроорганизмы, пыльца и частицы пыли. Поскольку каждый из этих объектов очень мал, мы обнаруживаем, что многие из этих объектов движутся без посторонней помощи только с постоянной (конечной) скоростью. Конечная скорость для бактерий (размером около 1 мкм) (1 мкм) может составлять около 2 мкм/с. 2 мкм/с. Чтобы двигаться с большей скоростью, многие бактерии плавают с помощью жгутиков (органелл в форме маленьких хвостов), которые приводятся в действие небольшими двигателями, встроенными в клетку.

Осадок в озере может двигаться с большей конечной скоростью (около 5 мкм/с), 5 мкм/с, поэтому может пройти несколько дней, прежде чем он достигнет дна озера после отложения на поверхности.

Если мы сравним животных, живущих на суше, с животными, живущими в воде, то увидим, как сопротивление повлияло на эволюцию. Рыбы, дельфины и даже массивные киты имеют обтекаемую форму, чтобы уменьшить силы сопротивления. Птицы имеют обтекаемую форму, а мигрирующие виды, которые летают на большие расстояния, часто имеют особые черты, такие как длинная шея. Стаи птиц летят в форме наконечника копья, образуя обтекаемую форму (рис. 6.32). У людей одним из важных примеров упорядочения является форма сперматозоидов, которые должны эффективно использовать энергию.

Рисунок 6.32 Гуси летят V-образным строем во время своих длительных миграционных путешествий. Эта форма снижает сопротивление и потребление энергии для отдельных птиц, а также позволяет им лучше общаться. (кредит: модификация работы «Julo»/Wikimedia Commons)

Интерактивный

В демонстрационных лекциях мы проводим измерения силы сопротивления различных объектов. Объекты помещаются в однородный воздушный поток, создаваемый вентилятором. Вычислите коэффициент сопротивления.

Расчет сил трения, зависящих от скорости

Когда тело скользит по поверхности, сила трения на нем приблизительно постоянна и определяется выражением µkN.µkN. К сожалению, сила трения на тело, движущееся через жидкость или газ, не ведет себя так просто. Эта сила сопротивления обычно является сложной функцией скорости тела. Однако для тела, движущегося по прямой с умеренной скоростью через жидкость, например воду, сила трения часто может быть приблизительно равна

fR=-bv, fR=-bv,

, где b — постоянная, значение которой зависит от размеров и формы тела и свойств жидкости, а v — скорость тела. Две ситуации, для которых сила трения может быть представлена ​​этим уравнением, — это моторная лодка, движущаяся по воде, и небольшой объект, медленно падающий через жидкость.

Рассмотрим объект, падающий в жидкость. Диаграмма свободного тела этого объекта с положительным направлением вниз показана на рис. 6.33. Второй закон Ньютона в вертикальном направлении дает дифференциальное уравнение

мг-бв=мдвдт, мг-бв=мдвдт,

, где мы записали ускорение как dv/dt.dv/dt. По мере увеличения против сила трения – bv увеличивается до тех пор, пока не совпадет с мг . В этот момент ускорение отсутствует, и скорость остается постоянной на уровне конечной скорости vT.vT. Из предыдущего уравнения

мг-бвТ=0, мг-бвТ=0,

так

vT=mgb.vT=mgb.

Рисунок 6.33 Схема свободного тела объекта, падающего через резистивную среду.

Мы можем найти скорость объекта, интегрируя дифференциальное уравнение для v . Во-первых, мы переставляем члены в этом уравнении, чтобы получить

dvg-(b/m)v=dt.dvg-(b/m)v=dt.

Предполагая, что v=0att=0,v=0att=0, интегрирование этого уравнения дает

∫0vdv′g−(b/m)v′=∫0tdt′,∫0vdv′g−(b/m)v′=∫0tdt′,

или

-mbln(g-bmv’)|0v=t’|0t,-mbln(g-bmv’)|0v=t’|0t,

, где v’andt’v’andt’ — фиктивные переменные интегрирования. В заданных пределах находим

-mb[ln(g-bmv)-lng]=t.-mb[ln(g-bmv)-lng]=t.

Поскольку lnA−lnB=ln(A/B),lnA−lnB=ln(A/B) и ln(A/B)=ximpliesex=A/B, ln(A/B)=ximpliesex=A/B , получаем

g-(bv/m)g=e-bt/m,g-(bv/m)g=e-bt/m,

и

v=mgb(1-e-bt/м). v=mgb(1-e-bt/м).

Обратите внимание, что при t→∞,v→mg/b=vT,t→∞,v→mg/b=vT, что является конечной скоростью.

Позиция в любое время может быть найдена путем интегрирования уравнения для v . С v=dy/dt, v=dy/dt,

dy=mgb(1−e−bt/m)dt.dy=mgb(1−e−bt/m)dt.

Предполагая, что y = 0, когда = 0, y = 0, когда = 0,

∫0ydy’=mgb∫0t(1-e-bt’/m)dt’, ∫0ydy’=mgb∫0t(1-e-bt’/m)dt’,

, который интегрируется в

y=mgbt+m2gb2(e−bt/m−1).y=mgbt+m2gb2(e−bt/m−1).

Пример 6.18

Влияние силы сопротивления на моторную лодку

Моторная лодка движется по озеру со скоростью v0v0, когда ее мотор внезапно замерзает и останавливается. Затем лодка замедляется под действием силы трения fR=−bv.fR=−bv. а) Каковы скорость и положение лодки как функции времени? б) Если за 10 с скорость лодки уменьшается с 4,0 до 1,0 м/с, какой путь она пройдет до остановки?

Решение

1. При остановленном двигателе единственная горизонтальная сила, действующая на лодку, равна fR=−bv,fR=−bv, поэтому из второго закона Ньютона

   мдвдт=-бв, мдвдт=-бв,

   который мы можем записать как

   dvv=-bmdt. dvv=-bmdt.

   Интегрируя это уравнение между нулевым моментом времени, когда скорость равна v0v0, и временем t , когда скорость равна vv, мы имеем

   ∫0vdv′v′=−bm∫0tdt′.∫0vdv′v′=−bm∫0tdt′.

   Таким образом,

   lnvv0=-bmt,lnvv0=-bmt,

   что, поскольку lnA=ximpliesex=A,lnA=ximpliesex=A, мы можем записать это как

   v=v0e-bt/m.v=v0e-bt/m.

   Теперь из определения скорости

   dxdt=v0e-bt/м, dxdt=v0e-bt/м,

   так что у нас есть

   dx=v0e-bt/mdt.dx=v0e-bt/mdt.

   С начальным положением ноль имеем

   ∫0xdx’=v0∫0te-bt’/mdt’, ∫0xdx’=v0∫0te-bt’/mdt’,

   и

   x=-mv0be-bt’/m|0t=mv0b(1-e-bt/m).x=-mv0be-bt’/m|0t=mv0b(1-e-bt/m).

   С увеличением времени e−bt/m→0,e−bt/m→0, и положение лодки приближается к предельному значению

   хмакс=mv0b.xмакс=mv0b.

   Хотя это говорит нам о том, что лодке требуется бесконечное количество времени, чтобы достичь xmax,xmax, лодка эффективно останавливается через разумное время. Например, при t=10м/б, t=10м/б имеем

   v=v0e-10≃4,5×10-5v0,v=v0e-10≃4,5×10-5v0,

   тогда как у нас также есть

   x=xmax(1−e−10)≃0,99995xmax. x=xmax(1−e−10)≃0,99995xmax.

   Таким образом, скорость и положение лодки практически достигли своих конечных значений.
2. При v0=4,0 м/sv0=4,0 м/с и v=1,0 м/с, v=1,0 м/с получаем 1,0 м/с=(4,0 м/с)e−(b/м)(10 с ), 1,0 м/с = (4,0 м/с) e−(b/m)(10 с), поэтому

   ln0.25=-ln4.0=-bm(10s),ln0.25=-ln4.0=-bm(10s),

   и

   bm=110ln4.0s-1=0.14s-1.bm=110ln4.0s-1=0.14s-1.

   Теперь предельное положение лодки

   xmax=mv0b=4,0 м/с0,14с-1=29м.xmax=mv0b=4,0м/с0,14с-1=29м.

Значение

В обоих предыдущих примерах мы нашли «предельные» значения. Конечная скорость такая же, как и предельная скорость, то есть скорость падающего объекта по прошествии (относительно) длительного времени. Точно так же предельное расстояние лодки — это расстояние, которое лодка пройдет по прошествии большого количества времени. Из-за свойств экспоненциального затухания время, необходимое для достижения любого из этих значений, на самом деле не слишком велико (конечно, не бесконечное количество времени!), но они быстро находятся, если довести предел до бесконечности.