В чем измеряется погрешность измерения: Погрешность измерений. Классификация

Содержание

Погрешность измерения | это… Что такое Погрешность измерения?

Сюда перенаправляется запрос «Относительная точность». На эту тему нужна отдельная статья.

Сюда перенаправляется запрос «Абсолютная точность». На эту тему нужна отдельная статья.

Погрешность измерения — оценка отклонения измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения.

Поскольку выяснить с абсолютной точностью истинное значение любой величины невозможно, то невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. (Это отклонение принято называть ошибкой измерения. В ряде источников, например, в Большой советской энциклопедии, термины ошибка измерения и погрешность измерения используются как синонимы, но согласно РМГ 29-99^[1] термин ошибка измерения не рекомендуется применять как менее удачный). Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов. На практике вместо истинного значения используют

действительное значение величины х_д, то есть значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него^[1]. Такое значение, обычно, вычисляется как среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому в измерениях необходимо указывать, какова их точность. Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений. Например, запись T=2,8±0,1 c. означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2,7 с. до 2,9 с. с некоторой оговорённой вероятностью (см. доверительный интервал, доверительная вероятность, стандартная ошибка).

В 2004 году на международном уровне был принят новый документ^[2], диктующий условия проведения измерений и установивший новые правила сличения государственных эталонов.

Понятие «погрешность» стало устаревать, вместо него было введено понятие «неопределённость измерений»^{[источник не указан 945 дней]}, однако ГОСТ Р 50.2.038-2004^[3] допускает использовать термин погрешность для документов, использующихся в России.

Содержание

1 Определение погрешности
2 Классификация погрешностей
- 2.1 По форме представления
- 2.2 По причине возникновения
- 2.3 По характеру проявления
- 2.4 По способу измерения
3 Погрешность измерения и принцип неопределенности Гейзенберга
4 См. также
5 Примечания
6 Литература
7 Ссылки

Определение погрешности

В зависимости от характеристик измеряемой величины для определения погрешности измерений используют различные методы.

Метод Корнфельда, заключается в выборе доверительного интервала в пределах от минимального до максимального результата измерений, и погрешность как половина разности между максимальным и минимальным результатом измерения:

Средняя квадратическая погрешность:

Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического:

Классификация погрешностей

По форме представления

Абсолютная погрешность — является оценкой абсолютной ошибки измерения. Величина этой погрешности зависит от способа её вычисления, который, в свою очередь, определяется распределением случайной величины . При этом неравенство: , где — истинное значение, а — измеренное значение, должно выполняться с некоторой вероятностью, близкой к 1. Если случайная величина распределена по нормальному закону, то обычно за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

Существует несколько способов записи величины вместе с её абсолютной погрешностью.

Обычно используется запись со знаком ±. Например, рекорд в беге на 100 метров, установленный в 1983 году, равен 9,930±0,005 с.
Для записи величин, измеренных с очень высокой точностью, используется другая запись: цифры, соответствующие погрешности последних цифр мантиссы, дописываются в скобках. Например, измеренное значение постоянной Больцмана равно 1,380 6488(13)×10⁻²³Дж/К, что также можно записать значительно длиннее как 1,380 6488×10⁻²³±0,000 0013×10⁻²³ Дж/К.

Относительная погрешность — погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или измеренному значению измеряемой величины (РМГ 29-99): , .

Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.

Приведённая погрешность — погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона. Вычисляется по формуле , где — нормирующее значение, которое зависит от типа шкалы измерительного прибора и определяется по его градуировке:

если шкала прибора односторонняя, то есть нижний предел измерений равен нулю, то определяется равным верхнему пределу измерений;
если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора.

Приведённая погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.

По причине возникновения

Инструментальные / приборные погрешности — погрешности, которые определяются погрешностями применяемых средств измерений и вызываются несовершенством принципа действия, неточностью градуировки шкалы, ненаглядностью прибора.
Методические погрешности — погрешности, обусловленные несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу методики.
Субъективные / операторные / личные погрешности — погрешности, обусловленные степенью внимательности, сосредоточенности, подготовленности и другими качествами оператора.

В технике применяют приборы для измерения лишь с определённой заранее заданной точностью — основной погрешностью, допускаемой в нормальных условиях эксплуатации для данного прибора.

Если прибор работает в условиях, отличных от нормальных, то возникает дополнительная погрешность, увеличивающая общую погрешность прибора. К дополнительным погрешностям относятся: температурная, вызванная отклонением температуры окружающей среды от нормальной, установочная, обусловленная отклонением положения прибора от нормального рабочего положения, и т.

п. За нормальную температуру окружающего воздуха принимают 20 °C, за нормальное атмосферное давление 101,325 кПа.

Обобщённой характеристикой средств измерения является класс точности, определяемый предельными значениями допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими параметрами, влияющими на точность средств измерения; значение параметров установлено стандартами на отдельные виды средств измерений. Класс точности средств измерений характеризует их точностные свойства, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью этих средств, так как точность зависит также от метода измерений и условий их выполнения. Измерительным приборам, пределы допускаемой основной погрешности которых заданы в виде приведённых основных (относительных) погрешностей, присваивают классы точности, выбираемые из ряда следующих чисел: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0)*10

n, где показатель степени n = 1; 0; −1; −2 и т. д.

По характеру проявления

Случайная погрешность — составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом в серии повторных измерений одной и той же величины, проведенных в одних и тех же условиях. В появлении таких погрешностей не наблюдается какой-либо закономерности, они обнаруживаются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого разброса получаемых результатов. Случайные погрешности неизбежны, неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения, однако их влияние как правило можно устранить статистической обработкой. Описание случайных погрешностей возможно только на основе теории случайных процессов и математической статистики.

Математически с.п. можно представить как непрерывную случайную величину симметричную относительно 0, реализующуюся в каждом измерении (белый шум).

Основным свойством с.п. является возможность уменьшения искажения искомой величины путем усреднения данных. Уточнение оценки искомой величины при увеличении количества измерений (повторных экспериментов) означает, что среднее случайной погрешности при увеличении объема данных стремится к 0 (закон больших чисел).

Часто случайные погрешности возникают из-за одновременного действия многих независимых причин, каждая из которых в отдельности слабо влияет на результат измерения. Очень часто полагают распределение случайной погрешности «нормальным» (ЦПТ), однако в реальности погрешности скорее ограничены, чем нормальны.

Случайные погрешности могут быть связаны с несовершенством приборов (трение в механических приборах и т. п.), тряской в городских условиях, с несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра тонкой проволоки, которая может иметь не совсем круглое сечение в результате несовершенства процесса изготовления).

Систематическая погрешность — погрешность, изменяющаяся во времени по определённому закону (частным случаем является постоянная погрешность, не изменяющаяся с течением времени). Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, калибровка и т. п.), неучтёнными экспериментатором.

Систематическую ошибку нельзя устранить повторными измерениями. С.о. устраняют либо с помощью поправок или «улучшением» эксперимента.

Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность — непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Она представляет собой нестационарный случайный процесс.

Грубая погрешность (промах) — погрешность, возникшая вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры (например, если экспериментатор неправильно прочёл номер деления на шкале прибора или если произошло замыкание в электрической цепи).

Надо отметить, что деление погрешностей на случайные и систематические достаточно условно. Например, ошибка округления при определненных условиях может носить характер как случайной так и систематической ошибки

По способу измерения

Погрешность прямых измерений — вычисляется по формуле

где : ; — стандартная ошибка среднего (выборочное СКО, деленное на корень из количества измерений ), а — квантиль распределения Стьюдента для числа степеней свободы и уровня значимости ; — абсолютная погрешность средства измерения (обычно это число равное половине цены деления измерительного прибора).

Погрешность косвенных воспроизводимых измерений — погрешность вычисляемой (не измеряемой непосредственно) величины:

Если , где — непосредственно измеряемые независимые величины, имеющие погрешность , тогда:

Погрешность косвенных невоспроизводимых измерений — вычисляется по принципу прямой погрешности, но вместо ставится значение полученное в процессе расчётов.

Принцип неопределенности Гейзенберга устанавливает предел точности одновременного определения пары наблюдаемых физических величин, характеризующих квантовую систему, описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля). Таким образом, в квантовой механике постулируется принципиальная невозможность одновременного определения с абсолютной точностью некоторых физических величин. Этот факт накладывает серьёзные ограничения на применимость понятия «истинное значение физической величины».

См. также

Измерение
Класс точности
Метрология
Методы электроаналитической химии
Отклонение от круглости
Мультипликативная погрешность

Примечания

↑ ¹ ² РМГ 29-99 Рекомендации по межгосударственной сертификации. Основные термины и определения.
↑ ISO/IEC Guide 2:2004. Standardization and related activities — General vocabulary
↑ ГОСТ Р 50.2.038-2004 Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей и неопределённости результата измерений

Литература

А. И. Якушев, Л. Н. Воронцов, Н. М. Федотов. Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения. 6-е изд., перераб. и доп.. — М.: Машиностроение, 1986. — 352 с.
Лабораторные занятия по физике. Учебное пособие / Гольдин Л. Л., Игошин Ф. Ф., Козел С. М. и др.; под ред. Гольдина Л. Л. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — 704 с.
Назаров Н. Г. Метрология. Основные понятия и математические модели. — М.: Высшая школа, 2002. — 348 с.

Ссылки

Погрешность и неопределённость
Новицкий П. В., Зограф И. А. Оценка погрешностей результатов измерений. — Л.: Энергоатомиздат, 1991.
РЕКОМЕНДАЦИЯ МОЗМ № 34. Классы точности средств измерений

что это такое, формула абсолютной и относительной погрешности в 2022 году

Статья обновлена 10.07.2022

Что такое погрешность измерения

Любой расчет состоит из истинного и вычисляемого значения. При этом всегда должны учитываться значения ошибки или погрешности. Погрешность — это расхождение между истинным значением и вычисляемым. В маркетинге выделяют следующие виды погрешностей.

Математическая погрешность. Она описывается алгебраической формулой и бывает абсолютной, относительной и приведенной. Абсолютная погрешность измерения — это разница между вычисляемым и истинным значением. Относительная погрешность вычисляется в процентном соотношении истинного значения и полученного. Вычисление погрешности приведенной схоже с относительной, указывается она также в процентах, но дает разницу между нормирующей шкалой и полученными данными, то есть между эталонными и полученными значениями.
Оценочная погрешность. В маркетинге она бывает случайной и систематической. Случайная погрешность возникает из-за любых факторов, которые случайным образом влияют на измерение переменной в выборке. Систематическая погрешность вызывается факторами, которые систематически влияют на измерение переменной в выборке.

Математическая погрешность: формула для каждого типа

Если определение погрешности можно провести точным путем, она считается математической. Зачем нужно вычисление этого значения в маркетинге?

Погрешности возникают настолько часто, что популярной практикой в исследованиях является включение значения погрешности в окончательные результаты. Для этого используются формулы. Математическая погрешность — это значение, которое отражает разницу между выборкой и фактическим результатом. Если при расчетах учитывалась погрешность, в тексте исследования указывается что-то вроде: «Абсолютная погрешность для этих данных составляет 3,25%». Погрешность можно вычислить с любыми цифрами: количество человек, участвующих в опросе, погрешность суммы, затраченной на маркетинговый бюджет, и так далее.

Формулы погрешностей вычисляются следующим образом.

Абсолютная погрешность измерений: формула

Формула дает разницу между измеренным и реальным значением.

Формула абсолютной погрешности

Относительная погрешность: формула

Формула использует значение абсолютной погрешности и вычисляется в процентах по отношению к фактическому значению.

Формула относительной погрешности

Приведенная погрешность: формула

Формула также использует значение абсолютной погрешности. В чем измеряется приведенная погрешность? Тоже в процентах, но в качестве «эталона» используется не реальное значение, а единица измерения любой нормирующей шкалы. Например, для обычной линейки это значение равно 1 мм.

Формула приведенной погрешности

Классификация оценочной погрешности

Определение погрешности в оценках — это всегда методическая погрешность, то есть допустимое значение ошибки, основанное на методах проведения исследования. Погрешность метода вызывает два типа погрешностей — случайные и систематические. Таблица погрешностей в графической форме покажет все возможные типы.

Классификация оценочной погрешности

Что такое случайная погрешность

Случайная погрешность бывает статической и динамической. Динамическая погрешность возникает, когда мы имеем дело с меняющимися значениями — например, количество человек в выборке при маркетинговом исследовании. Статическая погрешность описывает ошибки при вычислении неизменных величин — вроде количества вопросов в вопроснике. Все они относятся к случайным погрешностям.

Типичный пример возникновения случайной погрешности — настроение участников маркетингового опроса. Как известно, эмоциональный настрой человека всегда влияет на его производительность. В ходе тестирования одни люди могут быть в хорошем расположении духа, а другие — в «миноре». Если настроение влияет на их ответы по заданному критерию выборки, это может искусственно завышать или занижать наблюдаемые оценки. Например, в случае с истинным значением 1 случайная погрешность может дать как -0,8, так и +0,5 к этому числу. Очень часто это случается при оценке времени ответа, например.

Случайная погрешность добавляет изменчивости данным, но не оказывает постоянного влияния на всю выборку. Вместо этого она произвольно изменяет измеряемые значения в диапазоне. В маркетинговой практике считается, что все случайные погрешности в распределении перекрывают друг друга и практически не влияют на конечный результат. Поэтому случайная погрешность считается «шумом» и в расчет не принимается. Эту погрешность нельзя устранить совсем, но можно уменьшить, просто увеличив размер выборки.

Что такое систематическая погрешность

Систематическая погрешность существует в результатах исследования, если эти результаты показывают устойчивую тенденцию к отклонению от истинных значений. Иными словами, если полученные цифры постоянно выше или ниже расчетных, речь идет о том, что в данных имеется систематическая погрешность.

В маркетинговых исследованиях есть два основных типа систематической погрешности: погрешность выборки и погрешность измерения.

Погрешность выборки

Погрешность выборки возникает, когда выборка, используемая в исследовании, не репрезентативна для всей совокупности данных. Типы такой погрешности включают погрешность структуры, погрешность аудитории и погрешность отбора.

Погрешность структуры

Погрешность структуры возникает из-за использования неполной или неточной основы для выборки. Распространенным источником такой погрешности в рамках маркетинговых исследований является проведение какого-либо опроса по телефону на основе существующего телефонного справочника или базы данных абонентов. Многие данные там указаны неполно или неточно — например, если люди недавно переехали или изменили свой номер телефона. Также такие данные часто указывают неполную или неверную демографию.

Если в качестве основы для исследования взят телефонный справочник, оно подвержено погрешности структуры, так как не учитывает всех возможных респондентов.

Погрешность аудитории

Погрешность аудитории возникает, если исследователь не знает, как определить аудиторию для исследования. Пример — оценка результатов исследования, проведенного среди клиентов крупного банка. Доля ответов на анкету составила чуть менее 1%. Анализ профессий всех опрошенных показал, что процент пенсионеров среди них в 20 раз выше, чем в целом по городу. Если эта группа значительно различается по интересующим переменным, то результаты будут неверными из-за погрешности аудитории.

Погрешность отбора

Даже если маркетологи правильно определили структуру и аудиторию, они не застрахованы от погрешности отбора. Она возникает, когда процедуры отбора являются неполными, неправильными или не соблюдаются должным образом. Например, интервьюеры при полевом исследовании могут избегать людей, которые живут в муниципальных домах. Потому что, по их мнению, жители вряд ли согласятся пройти такой опрос. Если жители муниципальных домов отличаются от тех, кто проживает в домах бизнес-класса, в результаты опроса будет внесена погрешность отбора.

Как минимизировать погрешность выборки

Знайте свою аудиторию.
Знайте, кто покупает ваш продукт, использует его, работает с вами и так далее. Имея базовую социально-экономическую информацию, можно составить стабильную выборку целевой аудитории. Маркетинговые исследования часто касаются одной конкретной группы населения — например, пользователей Facebook или молодых мам.
Разделите аудиторию на группы.
Вместо случайной выборки разбейте аудиторию на группы в соответствии с их численностью в общей совокупности данных. Например, если люди с определенной демографией составляют 35% населения, убедитесь, что 35% респондентов исследования отвечают этому условию.
Увеличьте размер выборки.
Больший размер выборки приводит к более точному результату.

Погрешность измерения

Погрешность измерения представляет собой серьезную угрозу точности исследования. Она возникает, когда существует разница между искомой информацией — то есть истинным значением, и информацией, фактически полученной в процессе измерения. К таким погрешностям приводят различные недостатки процесса исследования. Погрешность измерения, в основном, вызывается человеческим фактором — например, формулировкой вопросника, ошибками ввода данных и необъективными выводами.

К погрешностям измерения приводят следующие виды ошибок.

Ошибка цели

Ошибка цели возникает, когда существует несоответствие между информацией, фактически необходимой для решения проблемы, и данными , которые собирает исследование. Например, компания Kellogg впустую потратила миллионы на разработку завтраков для снижения уровня холестерина. Реальный вопрос, который нужно было бы задать в исследовании, заключался в том, купят ли люди овсяные хлопья для решения своей проблемы. Ответ «Нет» обошелся бы компании дешевле.

Предвзятость ответов

Некоторые люди склонны отвечать на конкретный вопрос определенным образом. Тогда возникает предвзятость ответа. Предвзятость ответа может быть результатом умышленной фальсификации или неосознанного искажения фактов.

Умышленная фальсификация происходит, когда респонденты целенаправленно дают неверные ответы на вопросы. Есть много причин, по которым люди могут сознательно искажать информацию. Например, они хотят скрыть или хотят казаться лучше, чем есть на самом деле.

Бессознательное искажение информации происходит, когда респондент пытается быть правдивым, но дает неточный ответ. Этот тип предвзятости может возникать из-за формата вопроса, его содержания или по другим причинам.

Предвзятость интервьюера

Интервьюер оказывает влияние на респондента — сознательно или бессознательно. Одежда, возраст, пол, выражение лица, язык тела или тон голоса могут повлиять на ответы некоторых или всех респондентов.

Ошибка обработки

Примеры включают наводящие вопросы или элементы дизайна анкеты, которые затрудняют запись ответов или приводят к ошибкам в них.

Ошибка ввода

Это ошибки, возникающие при вводе информации. Например, документ может быть отсканирован неправильно, и его данные по ошибке перенесутся неверно. Или люди, заполняющие опросы на смартфоне или ноутбуке, могут нажимать не те клавиши.

Виды проводимых маркетинговых исследований различны, поэтому универсальных рецептов не существует. Мы дадим несколько общих советов, используемых для минимизации систематических погрешностей разного типа.

Как минимизировать погрешность измерения

Предварительно протестируйте.
Погрешностей обработки и предвзятости можно избежать, если проводить предварительные тесты вопросника до начала основных интервью.
Проводите выборку случайным образом.
Чтобы устранить предвзятость, при выборке респондентов можно включать каждого четвертого человека из общего списка.
Тренируйте команду интервьюеров и наблюдателей.
Отбор и обучение тех, кто проводит исследования, должен быть тщательным. Особое внимание нужно уделять соблюдению инструкций в ходе каждого исследования.
Всегда выполняйте проверку сделанных записей.
Чтобы исключить ошибки ввода, все данные, вводимые для компьютерного анализа, должны быть перепроверены как минимум дважды.

Мир без ошибок не может существовать. Но понимание факторов, влияющих на маркетинговые исследования и измеряемые погрешности, имеет важное значение для сбора качественных данных.

Подпишитесь на рассылку ROMI center: Получайте советы и лайфхаки, дайджесты интересных статей и новости об интернет-маркетинге и веб-аналитике:

Вы успешно подписались на рассылку. Адрес почты:

Читать также

Как увеличить продажи в несколько раз с помощью ROMI center?

Закажите презентацию с нашим экспертом. Он просканирует состояние вашего маркетинга, продаж и даст реальные рекомендации по её улучшению и повышению продаж с помощью решений от ROMI center.

Запланировать презентацию сервиса

Попробуйте наши сервисы:

Импорт рекламных расходов и доходов с продаж в Google Analytics
Настройте сквозную аналитику в Google Analytics и анализируйте эффективность рекламы, подключая Яндекс Директ, Facebook Ads, AmoCRM и другие источники данных за считанные минуты без программистов
Попробовать бесплатно
Импорт рекламных расходов и доходов с продаж в Яндекс Метрику
Настройте сквозную аналитику в Яндекс. Метрику и анализируйте эффективность рекламы, подключая Facebook Ads, AmoCRM и другие источники данных за считанные минуты без программистов
Попробовать бесплатно
Система сквозной аналитики для вашего бизнеса от ROMI center
Получайте максимум от рекламы, объединяя десятки маркетинговых показателей в удобном и понятном отчете. Отслеживайте окупаемость каждого рекламного канала и перестаньте сливать бюджет.
Попробовать бесплатно

Сквозная аналитика для Google Analytics позволит соединять рекламные каналы и доходы из CRM Получайте максимум от рекламы, объединяя десятки маркетинговых показателей в удобном и понятном отчете. Отслеживайте окупаемость каждого рекламного канала и перестаньте сливать бюджет.
Подробнее → Попробовать бесплатно
Сквозная аналитика для Яндекс. Метрики позволит соединять рекламные каналы и доходы из CRM Получайте максимум от рекламы, объединяя десятки маркетинговых показателей в удобном и понятном отчете. Отслеживайте окупаемость каждого рекламного канала и перестаньте сливать бюджет.
Подробнее → Попробовать бесплатно
Сквозная аналитика от ROMI позволит высчитывать ROMI для любой модели аттрибуции Получайте максимум от рекламы, объединяя десятки маркетинговых показателей в удобном и понятном отчете. Отслеживайте окупаемость каждого рекламного канала и перестаньте сливать бюджет.
Подробнее → Попробовать бесплатно

шкала, цена деления, виды измерений, абсолютная и относительная погрешность

Шкала измерительного прибора
Цена деления
Виды измерений
Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
Абсолютная погрешность серии измерений
Представление результатов эксперимента
Задачи

п.

1. Шкала измерительного прибора

Шкала – это показывающая часть измерительного прибора, состоящая из упорядоченного ряда отметок со связанной с ними нумерацией. Шкала может располагаться по окружности, дуге или прямой линии.

Примеры шкал различных приборов:

Манометр – прибор для измерения давления, круговая шкала

Вольтметр – прибор для измерения напряжения, дуговая шкала

Индикатор громкости звука, линейная шкала

п.2. Цена деления

Цена деления измерительного прибора равна числу единиц измеряемой величины между двумя ближайшими делениями шкалы. Как правило, цена деления указана на маркировке прибора.

Алгоритм определения цены деления
Шаг 1. Найти два ближайшие пронумерованные крупные деления шкалы. Пусть первое значение равно a, второе равно b, b > a.
Шаг 2. Посчитать количество мелких делений шкалы между ними. Пусть это количество равно n.
Шаг 3. Разделить разницу значений крупных делений шкалы на количество отрезков, которые образуются мелкими делениями: $$ \triangle=\frac{b-a}{n+1} $$ Найденное значение $\triangle$ и есть цена деления данного прибора.

Пример определения цены деления:

Определим цену деления основной шкалы секундомера.
Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале:a = 5 c
b = 10 cМежду ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления.

Цена деления: \begin{gather*} \triangle=\frac{b-a}{n+1}\\ \triangle=\frac{10-5}{24+1}=\frac15=0,2\ c \end{gather*}

п.3. Виды измерений

Вид измерений

Определение

Пример

Прямое измерение

Физическую величину измеряют с помощью прибора

Измерение длины бруска линейкой

Косвенное измерение

Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений

Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине

п.

4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность

Погрешность измерений – это отклонение измеренного значения величины от её истинного значения.

Составляющие погрешности измерений

Причины

Инструментальная погрешность

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Погрешность метода

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Погрешность теории (модели)

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Погрешность оператора

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Инструментальная погрешность измерений принимается равной половине цены деления прибора: $$ d=\frac{\triangle}{2} $$

Если величина $a_0$ — это истинное значение, а $\triangle a$ — погрешность измерения, результат измерений физической величины записывают в виде $a=a_0\pm\triangle a$.

Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины: $$ \triangle a=|a-a_0| $$

Отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению, выраженное в процентах, называют относительной погрешностью измерения: $$ \delta=\frac{\triangle a}{a_0}\cdot 100\text{%} $$

Относительная погрешность является мерой точности измерения: чем меньше относительная погрешность, тем измерение точнее. По абсолютной погрешности о точности измерения судить нельзя.
На практике абсолютную и относительную погрешности округляют до двух значащих цифр с избытком, т.е. всегда в сторону увеличения.

Значащие цифры – это все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.

Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.

В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:

определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
определение объема с помощью мензурки.

Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:

Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями.
Цена деления такой линейки: \begin{gather*} \triangle=\frac{b-a}{n+1}= \frac{1\ \text{см}}{1+1}=0,5\ \text{см} \end{gather*} Инструментальная погрешность: \begin{gather*} d=\frac{\triangle}{2}=\frac{0,5}{2}=0,25\ \text{см} \end{gather*} Истинное значение: $L_0=4\ \text{см}$
Результат измерений: $$ L=L_0\pm d=(4,00\pm 0,25)\ \text{см} $$ Относительная погрешность: $$ \delta=\frac{0,25}{4,00}\cdot 100\text{%}=6,25\text{%}\approx 6,3\text{%} $$

Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями.

Цена деления такой линейки: \begin{gather*} \triangle=\frac{b-a}{n+1}= \frac{1\ \text{см}}{9+1}=0,1\ \text{см} \end{gather*} Инструментальная погрешность: \begin{gather*} d=\frac{\triangle}{2}=\frac{0,1}{2}=0,05\ \text{см} \end{gather*} Истинное значение: $L_0=4,15\ \text{см}$
Результат измерений: $$ L=L_0\pm d=(4,15\pm 0,05)\ \text{см} $$ Относительная погрешность: $$ \delta=\frac{0,05}{4,15}\cdot 100\text{%}\approx 1,2\text{%} $$

Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.

п.5. Абсолютная погрешность серии измерений

Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).

Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.

Алгоритм определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений
Шаг 1. Проводим серию из $N$ измерений, в каждом из которых получаем значение величины $x_1,x_2,…,x_N$
Шаг 2. Истинное значение величины принимаем равным среднему арифметическому всех измерений: $$ x_0=x_{cp}=\frac{x_1+x_2+…+x_N}{N} $$ Шаг 3. Находим абсолютные отклонения от истинного значения для каждого измерения: $$ \triangle_1=|x_0-x_1|,\ \ \triangle_2=|x_0-x_2|,\ \ …,\ \ \triangle_N=|x_0-x_N| $$ Шаг 4. Находим среднее арифметическое всех абсолютных отклонений: $$ \triangle_{cp}=\frac{\triangle_1+\triangle_2+…+\triangle_N}{N} $$ Шаг 5. Сравниваем полученную величину $\triangle_{cp}$ c инструментальной погрешностью прибора d (половина цены деления). Большую из этих двух величин принимаем за абсолютную погрешность: $$ \triangle x=max\left\{\triangle_{cp}; d\right\} $$ Шаг 6. Записываем результат серии измерений: $x=x_0\pm\triangle x$.

Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.

Составим расчетную таблицу:

№ опыта	1	2	3	Сумма
Масса, г	99,8	101,2	100,3	301,3
Абсолютное отклонение, г	0,6	0,8	0,1	1,5

Сначала находим среднее значение всех измерений: \begin{gather*} m_0=\frac{99,8+101,2+100,3}{3}=\frac{301,3}{3}\approx 100,4\ \text{г} \end{gather*} Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности $m_0$ и измерения. \begin{gather*} \triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\\ \triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\\ \triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 \end{gather*} Находим среднее абсолютное отклонение: \begin{gather*} \triangle_{cp}=\frac{0,6+0,8+0,1}{3}=\frac{1,5}{3}=0,5\ \text{(г)} \end{gather*} Мы видим, что полученное значение $\triangle_{cp}$ больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: \begin{gather*} \triangle m=max\left\{\triangle_{cp}; d\right\}=max\left\{0,5; 0,05\right\}\ \text{(г)} \end{gather*} Записываем результат: \begin{gather*} m=m_0\pm\triangle m\\ m=(100,4\pm 0,5)\ \text{(г)} \end{gather*} Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): \begin{gather*} \delta_m=\frac{0,5}{100,4}\cdot 100\text{%}\approx 0,050\text{%} \end{gather*}

п.6. Представление результатов эксперимента

Результат измерения представляется в виде $$ a=a_0\pm\triangle a $$ где $a_0$ – истинное значение, $\triangle a$ – абсолютная погрешность измерения.

Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.

Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.

п.7. Задачи

Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно?

Составим таблицу для расчета цены деления:

№ мензурки	a, мл	b, мл	n	$\triangle=\frac{b-a}{n+1}$, мл
1	20	40	4	$\frac{40-20}{4+1}=4$
2	100	200	4	$\frac{200-100}{4+1}=20$
3	15	30	4	$\frac{30-15}{4+1}=3$
4	200	400	4	$\frac{400-200}{4+1}=40$

Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):

№ мензурки	Объем $V_0$, мл	Абсолютная погрешность $\triangle V=\frac{\triangle}{2}$, мл	Относительная погрешность $\delta_V=\frac{\triangle V}{V_0}\cdot 100\text{%}$
1	68	2	3,0%
2	280	10	3,6%
3	27	1,5	5,6%
4	480	20	4,2%

Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.

Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка

Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0\pm 0,1)\ \text{м},\ \ x_2=(4,0\pm 0,03)\ \text{м} $$ Какое из этих измерений точней и почему?

Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: \begin{gather*} \delta_1=\frac{0,1}{4,0}\cdot 100\text{%}=2,5\text{%}\\ \delta_2=\frac{0,03}{4,0}\cdot 100\text{%}=0,75\text{%} \end{gather*} Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: $\delta_2\lt \delta_1$, второе измерение точней.

Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ \triangle v_1=\frac{10}{2}=5\ (\text{км/ч}),\ \ \triangle v_2=\frac{1}{2}=0,5\ (\text{км/ч}) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54\pm 5)\ \text{км/ч},\ \ v_2=(72\pm 0,5)\ \text{км/ч} $$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_{10}+v_{20},\ \ v_0=54+72=125\ \text{км/ч} $$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ \triangle v=\triangle v_1+\triangle v_2,\ \ \triangle v=5+0,5=5,5\ \text{км/ч} $$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0\pm 5,5)\ \text{км/ч} $$ Относительная погрешность: $$ \delta_v=\frac{5,5}{126,0}\cdot 100\text{%}\approx 4,4\text{%} $$ Ответ: $v=(126,0\pm 5,5)\ \text{км/ч},\ \ \delta_v\approx 4,4\text{%}$

Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Инструментальная погрешность линейки $d=\frac{0,1}{2}=0,05\ \text{см}$
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20\pm 0,05)\ \text{см},\ \ b=(60,10\pm 0,05)\ \text{см} $$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): \begin{gather*} \delta_1=\frac{0,05}{90,20}\cdot 100\text{%}\approx 0,0554\text{%}\approx \uparrow 0,056\text{%}\\ \delta_2=\frac{0,05}{60,10}\cdot 100\text{%}\approx 0,0832\text{%}\approx \uparrow 0,084\text{%} \end{gather*} Площадь столешницы: $$ S=ab,\ \ S=90,2\cdot 60,1 = 5421,01\ \text{см}^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ \delta_S=\delta_a+\delta_b=0,056\text{%}+0,084\text{%}=0,140\text{%}=0,14\text{%} $$ Абсолютная погрешность: \begin{gather*} \triangle S=S\cdot \delta_S=5421,01\cdot 0,0014=7,59\approx 7,6\ \text{см}^2\\ S=(5421,0\pm 7,6)\ \text{см}^2 \end{gather*} Ответ: $S=(5421,0\pm 7,6)\ \text{см}^2,\ \ \delta_S\approx 0,14\text{%}$

В чем измеряется погрешность? — Ваша онлайн-энциклопедия

Содержание

— В чем измеряется погрешность измерений?
— Чему равна инструментальная погрешность?
— Как обозначается погрешность?
— Чем определяется погрешность результата измерения?
— Как называется погрешность величина которой не меняется от измерения к измерению?
— Как определяется относительная погрешность измерения?
— Чему равна инструментальная погрешность температуры?
— Что такое инструментальная погрешность измерения?
— Как найти полную погрешность?
— Как обозначается допустимая погрешность?
— Что такое погрешность и виды погрешностей?
— Что называется систематической погрешностью?
— Как определяется суммарная погрешность результата измерений?
— Как найти погрешность среднего значения?
— Как учитывается погрешность измерительного прибора?

Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах, в расчетах обозначается буквой – δ.

В чем измеряется погрешность измерений?

Относительная погрешность измерения – это погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному значению измеряемой величины. Обычно относительную погрешность выражают в процентах: δ = (∆X / Xд) * 100%.

Чему равна инструментальная погрешность?

Она равна разности между значением непрерывной функции и значением, получаемым в результате квантования.

Как обозначается погрешность?

2.1 Для обозначения какой-либо погрешности используют букву греческого алфавита «дельта» — Δ (прописная), δ (строчная). Прописной буквой Δ обозначают абсолютную погрешность измерения и строчной буквой δ — относительную погрешность измерения.

Чем определяется погрешность результата измерения?

error of a measurement) – отклонение результата измерения от истинного (действительного) значения измеряемой величины. … На практике используют действительное значение величины xД ,в результате чего погрешность измерения DxИЗМ определяют по формуле: DxИЗМ = xИЗМ — xД , где xИЗМ – измеренное значение величины.

Как называется погрешность величина которой не меняется от измерения к измерению?

Если абсолютная погрешность не зависит от значения измеряемой величины, то полоса определяется аддитивной погрешностью (а). Иногда аддитивную погрешность называют погрешностью нуля.

Как определяется относительная погрешность измерения?

Точность числа определяется его относительной погрешностью. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к самому числу. Относительную погрешность принято выражать в процентах, то есть, умножать полученное отношение на 100 %.

Чему равна инструментальная погрешность температуры?

Инструментальная погрешность должна быть указана в паспорте прибора (как правило, она равна цене деления прибора). Погрешность отсчёта обычно принимают равной половине цены деления. Относительная погрешность всего 1% показывает, что выбранная линейка для измерения ширины тетради является вполне подходящим прибором!

Что такое инструментальная погрешность измерения?

Инструментальными называют погрешности, причина которых заключается в свойствах применяемых средств измерений. Эти свойства могут вызывать погрешности различного характера.

Как найти полную погрешность?

7. Вычислить случайную абсолютную погрешность результата измерений: DAСЛ = tna×Sn. Здесь Dx, Dy, Dz — абсолютные погрешности приборов, измеряющих параметры x, y, z.

Как обозначается допустимая погрешность?

Предельно допустимая погрешность у весов обозначается величиной «e». Метрологически, такая величина называется «цена поверочного деления». Предельно допустимая погрешность должна быть не более определенной по нормативным документам.

Что такое погрешность и виды погрешностей?

Выделяют следующие виды погрешностей: Абсолютная погрешность – это значение, вычисляемое как разность между значением величины, полученным в процессе измерений, и настоящим (действительным) значением данной величины. Относительная погрешность – это число, отражающее степень точности измерения. …

Что называется систематической погрешностью?

Систематическая погрешность — cоставляющая погрешности результата измерения, остающаяся постоянной (или же закономерно изменяющейся) при повторных измерениях одной и той же величины.

Как определяется суммарная погрешность результата измерений?

Поиск: Суммарная погрешность измерения складывается под влиянием совокупности всех действующих факторов, в том числе внешних.

Как найти погрешность среднего значения?

есть простое правило: средняя квадратичная погрешность среднего арифметического равна средней квадратичной погрешности отдельного результата, делённой на корень квадратный из числа измерений: Из формулы ясно, что с увеличением числа измерений случайная погрешность среднего значения уменьшается.

Как учитывается погрешность измерительного прибора?

Из-за того, что в одном измерении точность оказывает влияние на погрешность, то учитывается среднее серии измерений. Погрешность измерительного прибора обычно задается двумя значениями: погрешностью показания и погрешностью по всей шкале. Эти две характеристики вместе определяют общую погрешность измерения.

Интересные материалы:

Какое образование получил М А Булгаков?
Какое образование у Ирины Волк?
Какое образование у Сергея Соседова?
Какое оливковое масло лучше производитель?
Какое открытие совершил Владимир Атласов?
Какое пиво самое крепкое?
Какое пиво варят в Беларуси?
Какое подсолнечное масло самое лучшее?
Какое политико территориальное устройство Беларуси?
Какое правонарушение является длящимся?

«ИССЛЕДОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРОВОДНИКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБАХ ВКЛЮЧЕНИЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ»

Авторы
Руководители
Файлы работы
Наградные документы

Обысов А. Е. 1

1МОУ СОШ №4

Пещеркина В.В. 1

1МОУ СОШ №4,

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

I.Введение

В школьном курсе физики при изучении раздела «Электричество» в ходе выполнения лабораторных работ возникает необходимость в измерении сопротивлений проводников и внутренних сопротивлений источников тока. Для этого используют амперметры и вольтметры из школьного оборудования.

Поскольку измерительные приборы – амперметры и вольтметры не являются идеальными, то встаёт вопрос о выборе схемы соединения приборов, позволяющей с минимальной погрешностью измерить сопротивления проводников и источников тока.

В данной исследовательской работе мы сначала теоретически анализируем погрешности измерений сопротивления проводника при использовании двух схем подключения измерительных приборов, а затем, используя их на практике, рассчитываем погрешности измерений и приходим к выводу о целесообразности использования той или иной схемы. Актуальность данной исследовательской работы заключается в том, что учащиеся могут воспользоваться её результатами при выборе схем во время выполнения лабораторных работ по электричеству. Данную исследовательскую работу можно использовать на уроках физики в качестве обучающего пособия при изучении темы «Электричество» в 8-м, 10-м и при повторении материала, а также при подготовке к ЕГЭ в 11-м классе.

Данную работу можно использовать как методический материал при обучении учащихся подсчёту погрешностей измерений.

При выполнении исследовательской работы автор использовал учебник «Электродинамика» для углублённого изучения физики под редакцией Г. Я. Мякишева, учебник Калашникова «Электричество» и «Физический практикум для классов с углублённым изучением физики» под редакцией Ю.И.Дика и О.Ф.Кабардина.

II.Теоретическая часть

2.1 Из закона Ома для участка цепи электрическое сопротивление проводника можно рассчитать R=U/I.

Для нахождения сопротивления R необходимо измерить приложенное к проводнику напряжение U и силу тока I в проводнике при этом напряжении.

Напряжение измеряется с помощью вольтметра, сила тока измеряется с помощью амперметра

Вольтметр включается параллельно участку цепи, на котором измеряется напряжение. Это напряжение Uиз равно показанию вольтметра.

Амперметр включается последовательно к участку цепи, в котором измеряется сила тока. Эта сила тока Iиз равна показанию амперметра.

Для измерения сопротивления проводника приведём две возможные электрические схемы соединения вольтметра V, амперметра A и исследуемого проводника (сопротивления) Rx.

Схема №1. На 1-ой схеме проводник и амперметр соединены последовательно.

Вольтметр измеряет и показывает сумму напряжения на проводнике Uх и напряжения на амперметре UА.

Амперметр измеряет и показывает силу тока IА, которая равна силе тока в проводнике Ix:IА = Ix

Из закона Ома R х = Uх / Iиз

Для схемы №1 напряжение на проводнике Uх =U из —UА

Напряжение на амперметре UА согласно закону Ома равноUА=IАRА=Iиз RА. Напряжение на проводнике равно разности между напряжением на вольтметре и напряжением на амперметре U х =U из–Iиз RА.

Тогда R х = Uх / Iиз = (U из–Iиз RА) : Iиз. Окончательно получаем R х = U из/ Iиз – RА.

Отношение U из/ Iиз является общим сопротивлением последовательно соединенных проводника и амперметра (сопротивлением, определенным по показаниям приборов):

Rиз = U из/ Iиз

Поэтому сопротивление проводника будет равно:R х = R из – R А

Это выражение следует из формулы общего сопротивления при последовательном соединении проводников

Отсюда следует, что ΔR =R из – R х = RА

Сопротивление Rиз, вычисленное по показаниям амперметра и

вольтметра по схеме №1, отличается от сопротивления проводника Rx на величину сопротивления амперметра. Сопротивление школьного амперметра по нашим измерениям не превышаетRА = 0,1 Ом

Мы определили сопротивление школьного амперметра опытным путём, используя электрическую цепь, собранную по схеме №3 . Резистор R нужен для ограничения тока через амперметр. Измерив силу тока и напряжение в этой цепи (IА и UА), получим RА = UА / IА =0.2/2.6=0,08 Ом ~ 0.1 Ом.

Относительное изменение сопротивления проводника Rx от сопротивления Rиз, определенного по показаниям амперметра и вольтметра, то есть относительная погрешность измерения равна:

ε_R= ΔR / R х = R А / (R из- R_A)

Очевидно, что отличие значения сопротивления R из , полученного на основе экспериментальных данных, от истинного значения сопротивления проводника R х ,тем меньше, чем меньше сопротивление амперметра R А и чем больше сопротивление проводника.

2.2 На схеме 2 проводник и вольтметр соединены параллельно.

Амперметр измеряет и показывает сумму сил токов через проводник Jx и через вольтметр Jv :Jиз = Jx + Jv

Вольтметр измеряет и показывает напряжение на проводнике: Uиз = Ux.

Из закона Ома сопротивление проводникаRх = Uх / Iх = Uиз / Iх

Сила тока в проводнике Jx = Jиз — Jv

Сила тока через вольтметр Iv согласно закону Ома Iv = Uv / Rv =Uиз / Rv

ТогдаIх = Iиз — Uиз / Rv . Сопротивление на резисторе Rх = Uиз: (Iиз — Uиз / Rv) =

Uиз Rv : (Iиз Rv — Uиз)

Сопротивление Rиз = Uиз / Iиз , т.е. определенное по показателям приборов, в этом случае является общим сопротивлением параллельно соединенных проводника и вольтметра. Поэтому сопротивление проводника будет равно

Rx = Rиз: (1 — Rиз / Rv)

(Это выражение следует и из формулы общего сопротивления при параллельном соединении проводников).

Сопротивление Rиз, вычисленное по показаниям амперметра и вольтметра, отличатся от сопротивления проводника Rx в этом случае на величину ∆R = Rx – Rиз =Rх: (1 + Rv / Rx)

Относительное отличие сопротивления проводника Rx от сопротивления Rиз, определенного по показаниям амперметра и вольтметра, то есть относительная погрешность измерения равна: ε = ∆R / Rx = Rx : (Rv + Rx)

Видно, что отличие значения сопротивления Rиз, полученного на основе экспериментальных данных от истинного значения Rx тем меньше, чем больше сопротивление вольтметра Rv и чем меньше сопротивление проводника Rx.

Проведённые нами измерения сопротивления школьного вольтметра дали результат

Rv = 800 Ом.

Очевидно, что погрешность данного метода зависит не только от класса точности выбранных электроизмерительных приборов и пределов их измерений, но и от влияния тока, прошедшего через вольтметр, так как I_A = I_R + I_V .

Током через вольтметр Iv можно пренебречь, если собственное сопротивление R_V велико по сравнению с сопротивлением резистора: R_V >> R_X.

Допустимость использования выражения Rиз = Uиз / Iиз легко проверить на опыте: если при отключении вольтметра в схеме №2 показания амперметра не изменятся, то влиянием вольтметра можно пренебречь.

Если при отключении вольтметра показания амперметра существенно меняются, то необходимо учесть сопротивление вольтметра. Обычно оно указано на шкале прибора или в его паспорте. На школьных вольтметрах Лаборатории L – микро такой информации нет.

Мы определяли сопротивление вольтметра опытным путём, используя электрическую схему №4

Измерив значения I_v и U_v в этой цепи, мы рассчитали R_v:

R_v = U_v / I_v = 4В / 0,5 мА = 800 Ом .

III. Практическая (исследовательская) часть

3.1 Собрали электрическую цепь по схеме №1.

Поочерёдно подключая резисторы R1 и R2 , снятли показания измерительных приборов – амперметра и вольтметра. Необходимые расчёты произвели по формуле:

Rиз1 = U из/ Iиз = 4,60В/0,42А= 11,00 Ом

R х1 = R из1 – R А = 11,00 Ом – 0,10 Ом = 10,90 Ом

Rиз2 = U из/ Iиз = 3,90В/0,58А= 6,70 Ом

R х2 = R из2 – R А = 6,70 Ом – 0,10 Ом = 6,60 Ом

3. 2 Значения измеренных и расчётных величин внесли в таблицу.

3.3 Собрали электрическую цепь по схеме №2. Поочерёдно подключая резисторы R1 и R2 , сняли показания измерительных приборов – амперметра и вольтметра. Необходимые расчёты произвели по представленным формулам.

Rиз1 = Uиз / Iиз = 4,0В/0,37А=10,80 Ом

Rx1 = Rиз: (1 — Rиз / Rv) = 10,8 : (1 – 10,8 / 800) = 10,95 Ом

Rиз2 = Uиз / Iиз = 4.3В/0,70А=6,14 Ом

Rx2 = Rиз: (1 — Rиз / Rv) = 6,14 : (1 – 6,14 / 800) =6,19 Ом

3.4 Значения измеренных и расчётных величин внесли в таблицу.

№

схемы

Uиз,А

Jиз, А

Rиз, Ом

Rx, Ом

∆R, Ом

∆R/Rср, Ом

4,60

0,42

11,00

10,90

0,10

1,0%

4,0

0,37

10,80

10,95

0,13

1,3%

Среднее значение сопротивления R1 , измеренное в 1-ой и 2-ой схемах и рассчитанное как среднее арифметическое, равно

R1= 10,90 Ом

Относительная погрешность измерения сопротивления R1 составила по 1-ой схеме 1%,

а по 2-ой схеме 1,3 %.

№

схемы

Uиз,А

Jиз, А

Rиз, Ом

Rx, Ом

∆R, Ом

∆R/Rср, Ом

3,9

0,58

6,70

6,60

0,10

1,6 %

4,3

0,70

6,14

6,19

0,05

0,9%

Среднее значение сопротивления R2 измеренное в 1-ой и 2-ой схемах и рассчитанное как среднее арифметическое, равно

R2= 6,42 Ом

Относительная погрешность измерения сопротивления R2 составила по 1-ой схеме 1,6%,

а по 2-ой схеме 0,9 %.

До сих пор мы оценивали систематическую погрешность, обусловленную способом включения вольтметра.

Оценим теперь инструментальную погрешность используемых приборов. Класс точности приборов 2,5. Это значит, что максимальная инструментальная погрешность составляет 2,5% от предела измерения по шкале.

Основная погрешность вольтметра имеет границу по верхней шкале ΔV=2,5×6В/100=0,15В.

Относительная погрешность измерения напряжения не превосходит при определении R1 по обеим схемам

ε_v=(0,15В/4,0В) × 100%=3.75 %,

Относительная погрешность измерения напряжения не превосходит при определении R2 по обеим схемам

ε_v=(0,15В/3,9В) × 100%=3.85 %

Аналогично определяем погрешность измерения силы тока.

ΔI=2,5×3А/100=0,075А

Относительная погрешность измерения силы тока не превосходит при определении R1 по обеим схемам

ε_I=(0,075А/0,37А) × 100%=20,3 %,

Относительная погрешность измерения силы тока не превосходит при определении R2 по обеим схемам

ε_I=(0,075А/0,58А) × 100%=13,0 %

Итак, общая граница относительной погрешности измерения сопротивления R1 по 1 схеме равна

ε = 1,0% + 3,75% + 20. 3% = 25,05%,

Общая граница относительной погрешности измерения сопротивления R1по2 схеме равна

ε = 1,3% + 3,75% + 20,3% = 25,35%.

Общая граница относительной погрешности измерения сопротивления R2 по 1 схеме равна

ε = 1,6% + 3,85% + 13,0% = 18,45%,

Общая граница относительной погрешности измерения сопротивления R2 по 2 схеме равна

ε = 0,9% + 3,85% + 13,0% = 17,75%.

IV. Выводы

4.1 Систематическая погрешность, обусловленная способом включения вольтметра и амперметра, для школьных приборов оказалась существенно меньше, чем погрешности используемых приборов.

4.2 Сопротивления резисторов и источников тока из оборудования школьной физической лаборатории подобраны таким образом, что они во много раз превосходят сопротивление амперметра (R1 , R2 >> RА = 0,1 Ом)

Поэтому погрешности измерения сопротивлений по 1-ой схеме не превышают 1,6%

4. 3 Сопротивления резисторов и источников тока из оборудования школьной физической лаборатории подобраны таким образом, что сопротивление вольтметра во много раз превосходит величины измеряемых сопротивлений

(R1 , R2

Просмотров работы: 6038

погрешности измерений

Содержание

Вперед

2.2. Погрешности измерений

Ни одно измерение не выполняется идеально точно, всегда по различным причинам существует погрешность, т.е. отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Причиной погрешности может стать несовершенство методики измерения, используемых средств измерений, органов чувств человека-оператора, а также влияние внешних условий.

Все погрешности, не связанные с грубыми ошибками (промахами, возникающими вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры), имеют случайную и систематическую составляющие. Случайные погрешности изменяют величину и знак при повторных измерениях одной и той же величины. Значение случайной погрешности измерения невозможно предвидеть и, следовательно, исключить. Для уменьшения их влияния проводят несколько измерений величины и берут среднее арифметическое из полученных значений.

Систематические погрешности остаются постоянными по величине и знаку или закономерно изменяются при повторных измерениях одной и той же величины. Систематические погрешности разделяются на методические (несовершенство метода измерений; в том числе влияние средств измерения на объект, свойство которого измеряется), инструментальные (зависящие от погрешности применяемых средств измерений), внешние (обусловленные влиянием условий проведения измерений) и субъективные (обусловленные индивидуальными особенностями оператора).

Различают абсолютную и относительную погрешность измерения.

Под абсолютной погрешностью измерения понимают разность между полученным в ходе измерения и истинным значением физической величины:

(2.1)

Без сравнения с измеряемой величиной абсолютная погрешность ничего не говорит о качестве измерения. Одна и та же погрешность в 1 мм при измерении длины комнаты не играет роли, при измерении длины тетради уже может быть существенна, а при измерении диаметра проволоки совершенно недопустима.

Поэтому вводят относительную погрешность, показывающую, какую часть абсолютная погрешность составляет от истинного значения измеряемой величины. Относительная погрешность представляет собой отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины:

(2. 2)

Относительная погрешность обычно выражается в процентах.

Результат измерения величины принято записывать в виде:

x_изм_{±
Dх,
d=…%.}

При записи абсолютной погрешности ее величину округляют до двух значащих цифр, если первая их них является единицей, и до одной значащей цифры во всех остальных случаях. При записи измеренного значения величины последней должна указываться цифра того десятичного разряда, который использован при указании погрешности.

Из формул (2.1) и (2.2) следует, что для нахождения погрешностей измерений необходимо знать истинное значение измеряемой величины. Поэтому этими формулами можно пользоваться только в тех редких случаях, когда проводятся измерения констант, значения которых заранее известны. Цель же измерений, как правило, состоит в том, чтобы найти не известное значение физической величины. Поэтому на практике погрешности измерений не вычисляются, а оцениваются.

В частности, относительную погрешность находят как отношение абсолютной погрешности не к истинному, а к измеренному значению величины:

(2.3)

Способы оценки абсолютной погрешности разные для прямых и косвенных измерений.

Максимальную абсолютную погрешность при прямых измерениях находят как сумму абсолютной инструментальной погрешности и абсолютной погрешности отсчета: Dх=Dх_приб + Dх_отсч(2.4)

Погрешность отсчета является случайной и устраняется при многократных измерениях. Если же проводится одно измерение, она обычно принимается равной половине цены деления шкалы измерительного прибора.

Обратимся теперь к анализу погрешностей средств измерения. В зависимости от условий применения средств измерения различают основную и дополнительную погрешности. Основная погрешность – это погрешность средств измерений, используемых при нормальных условиях; дополнительная погрешность – это погрешность средств измерений, возникающая в результате отклонения значения одной или более влияющих величин от нормального значения.

Способ задания пределов допускаемой основной абсолютной погрешности измерительных средств определяется зависимостью погрешности от значения измеряемой величины. Если абсолютная погрешность измерительного прибора не зависит от измеряемой величины, то погрешность называется аддитивной и ее предел может быть выражен одним числом:

Dх_макс_приб = ± а (2.5)

Зона погрешности в этом случае ограничена двумя прямыми линиями, параллельными оси абсцисс (рис.2.1а). Источники аддитивной погрешности – трение в опорах, неточность отсчета, дрейф, наводки, вибрации и другие факторы. От этой погрешности зависит наименьшее значение величины, которое может быть измерено прибором.

Если погрешность прибора зависит от измеряемой величины, то она называется мультипликативной и предел допускаемой абсолютной погрешности выражается формулой Dх_макс_приб = ± (а + вх), (2.6)

где в – постоянная величина, вх – предельное значение мультипликативной погрешности, а – предельное значение аддитивной погрешности.

Таким образом, мультипликативная погрешность прямо пропорциональна значению измеряемой величины х. Источники мультипликативной погрешности – действие влияющих величин на параметры элементов и узлов средств измерений. Зона погрешности при наличии аддитивной и мультипликативной составляющей показана на рисунке 2.1 б.

Инструментальная погрешность электроизмерительных приборов определяется их классом точности. Класс точности (максимальная приведенная погрешность) – это отношение максимальной абсолютной погрешности прибора к пределу измерения величины (полному значению шкалы). Его, как и относительную погрешность, выражают в процентах. Класс точности показывает, сколько процентов максимальная инструментальная погрешность составляет от всей шкалы прибора:

(2.7)

ГОСТом установлено 8 классов точности измерительных приборов: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Зная класс точности прибора и предельное значение измеряемой величины, можно определить абсолютную и относительную инструментальную погрешность измерения:

(2.8)

(2. 9)

Из формулы (2.9) видно, что чем ближе значение измеряемой величины к пределу измерения, тем меньше относительная инструментальная погрешность.

У приборов, аддитивная составляющая погрешности которых преобладает над мультипликативной, класс точности выражается одним числом. К таким приборам относится большинство аналоговых стрелочных приборов. Относительная инструментальная погрешность в этом случае находится просто по формуле (2.9).

Класс точности средств измерения, у которых аддитивная и мультипликативная составляющие основной погрешности соизмеримы, обозначается двумя числами, разделенными косой чертой: c/d. Причем класс точности должен удовлетворять условию c/d>l. К приборам, класс точности которых выражается дробью, относятся цифровые показывающие приборы. Их максимальная относительная погрешность определяется по формуле:

(2. 10)

Для сравнения погрешностей измерения цифровых и стрелочных измерительных приборов постройте самостоятельно график зависимости относительной погрешности измерения постоянного напряжения от его величины приборами АВО-63 и Щ4313 на пределе 2В.

Класс точности или максимальная инструментальная погрешность приборов обычно приводится в его паспорте. Для менее точных приборов, если в паспорте ничего не указано, максимальная инструментальная погрешность принимается равной половине цены или цене деления шкалы.

Для прямых измерений сначала оценивается абсолютная погрешность, а затем относительная. При оценке погрешности косвенных измерений величины поступают следующим образом. Сначала находят абсолютные погрешности величин, полученных в ходе прямых измерений. Затем вычисляют относительную погрешность исследуемой величины, пользуясь для этого одной из формул, приведенных в таблице «расчет погрешностей». Формула относительной погрешности зависит от того, по какой формуле находят значение измеряемой величины. И только после этого находят абсолютную погрешность измеряемой величины, выражая ее из формулы (2.3).

Определение ошибки измерения

Ошибка измерения в образовании в целом относится либо к (1) разнице между результатами теста и фактическими знаниями и способностями учащегося, либо (2) к ошибкам, допущенным при сборе и вычислении данных- основанные на отчетах, цифрах и статистических данных, касающихся школ и учащихся.

Поскольку некоторая степень ошибки измерения неизбежна при тестировании и представлении данных, исследователи в области образования, статистики, специалисты по данным и разработчики тестов часто публично признают, что данные об успеваемости, такие как процент выпускников средней школы или уровень зачисления в колледжи, не являются абсолютно надежными. (они могут даже сообщать о «пределе погрешности» для данной статистики или результата) или что результаты тестов не всегда точно отражают то, что учащиеся знают или могут делать, т. приобретение знаний и навыков.

Ошибки измерения при тестировании могут быть вызваны целым рядом факторов, например психическим и эмоциональным состоянием учащегося в период тестирования или условиями, в которых проводился тест. Например, учащиеся могли быть необычно уставшими, голодными или эмоционально подавленными, или такие отвлекающие факторы, как громкие звуки, назойливые сверстники или технические проблемы, могли отрицательно сказаться на выполнении теста. Часто считается, что результаты тестов для маленьких детей особенно подвержены ошибкам измерения, учитывая, что маленькие дети, как правило, имеют более короткую продолжительность концентрации внимания, и они могут быть не в состоянии полностью понять важность теста и отнестись к нему серьезно. Кроме того, маленькие дети одного и того же хронологического возраста или уровня обучения могут находиться на очень разных стадиях социального, когнитивного и эмоционального развития, и если у маленького ребенка наблюдается быстрый всплеск развития, результаты тестов могут быстро устареть и, следовательно, быть недостоверными.

Ниже приведен репрезентативный список нескольких дополнительных факторов и проблем, которые могут привести к ошибке измерения при тестировании:

Неоднозначно сформулированные вопросы или неточные ответы.
Тестовые задания, вопросы и задачи могут не относиться к материалу, который учащиеся фактически преподавали.
Уровни производительности и предельные баллы, например те, которые считаются «проходными» или «уровнями» в конкретном тесте, могут быть ошибочными, плохо откалиброванными или искажающими.
Процесс подсчета очков может быть плохо разработан, и как люди, так и компьютерные системы подсчета очков могут ошибаться.
Администраторы тестов могут давать учащимся неправильные указания, помогать учащимся списывать или не создавать спокойных и благоприятных условий для прохождения теста.
Данные результатов теста могут быть записаны и представлены неточно.

Ошибки измерения при представлении данных и статистики в области образования распространены и в большей или меньшей степени ожидаемы и неизбежны. В то время как человеческая ошибка может привести к неточным отчетам, системы данных и процессы по своей природе ограничены, т. е. просто невозможно создать идеальные системы данных или безупречно собирать данные, особенно по мере роста масштабов и масштабов систем. Национальные или общегосударственные системы данных — например, системы, управляемые государственными учреждениями для отслеживания важных образовательных данных, таких как количество выпускников средних школ, — особенно подвержены ошибкам измерения, учитывая огромные сложности, связанные со сбором данных из тысяч школ об успеваемости сотен учащихся. тысячи или миллионы студентов. По этой причине большинство крупномасштабных данных об образовании открыто квалифицируются как оценочные.

Ниже приведен репрезентативный список нескольких дополнительных факторов и проблем, которые могут привести к ошибкам измерения в образовательных данных:

Несовершенные, неточные или неправильно организованные процессы сбора данных, приводящие к неправильным отчетам, записям, цифрам и статистике .
Отсутствие четких и понятных правил, руководящих принципов и стандартов для процессов сбора данных и отчетности или двусмысленные руководящие принципы, которые приводят к неправильному толкованию и ошибкам.
Небольшие размеры выборки — например, в сельских школах, в которых может быть небольшое количество учащихся и мало учащихся из числа меньшинств, — которые могут исказить восприятие успеваемости за определенные периоды времени, выпускные классы или группы учащихся.
Различные процессы сбора данных и представления данных, такие как уникальные системы сбора данных и требования, разработанные государствами, могут привести к искаженным сравнениям или несовместимости систем, что приведет к ошибкам.
Высокие показатели перевода в школьные системы и из них, например детей временных работников, затрудняют точное отслеживание статуса зачисления учащихся.
Отсутствие соответствующей подготовки, опыта или технических знаний в области надлежащих процедур сбора данных и отчетности у лиц, ответственных за сбор и отчетность данных на уровне школы, округа и штата.
Преднамеренное введение в заблуждение об успеваемости учащихся и зачислении, например, те, которые могут сопровождать тестирование с высокими ставками.

Реформа

Хотя некоторая степень ошибки измерения является и, возможно, всегда будет неизбежной, многие преподаватели, школы, школьные округа, государственные учреждения и разработчики тестов предпринимают шаги для уменьшения ошибки измерения как при тестировании, так и при составлении отчетов.

При тестировании ошибка измерения обычно считается относительно незначительной проблемой для тестирования с низкими ставками, т. Е. Когда результаты тестирования не используются для принятия важных решений об учениках, учителях или школах. Однако по мере того, как ставки, связанные с эффективностью тестирования, растут, ошибка измерения становится более серьезной проблемой, поскольку результаты тестирования могут вызвать различные последствия. Ошибка измерения — одна из причин, по которой многие разработчики тестов и эксперты по тестированию не рекомендуют использовать один результат теста для принятия важных образовательных решений. Например, Стандарты образовательного и психологического тестирования — набор предлагаемых руководств, совместно разработанных Американской ассоциацией исследований в области образования, Американской психологической ассоциацией и Национальным советом по измерению в образовании — рекомендуют, чтобы «в начальном или среднем образовании решение или характеристика, которая окажет большое влияние на тестируемого, не должна автоматически строиться на основе одного балла за тест».

Ниже приведены несколько репрезентативных стратегий, которые преподаватели и разработчики тестов могут использовать для уменьшения ошибок измерения при тестировании:

Разработчики тестов могут тщательно просматривать вопросы на предмет предвзятости и справедливости теста, а также удалять или пересматривать элементы, которые могут неблагоприятно повлиять на результаты тестирования. студенты разных рас, культурных групп или полов.
Разработчики тестов могут проводить пилотные тесты, чтобы получить отзывы об уровнях сложности, ясности формулировок и предвзятости, а затем пересматривать тесты перед их проведением.
Чтобы уменьшить ошибки при оценке человеком вопросов, которые не могут быть оценены компьютером, таких как вопросы с открытым ответом и эссе, два или более оценщиков могут оценивать каждый элемент или эссе. Если они не согласны, вопрос может быть передан дополнительным оценщикам.
Школы могут ужесточить меры безопасности, чтобы предотвратить мошенничество со стороны тех, кто проводит и сдает тесты.
Разработчики политики могут снизить или устранить последствия результатов тестов, чтобы свести к минимуму завышение оценок и снизить мотивацию к манипулированию результатами.
Вместо того, чтобы полагаться на один потенциально неточный показатель, школы могут получить более полную информацию, используя несколько методов для оценки достижений учащихся и успеваемости.

При сборе данных об образовании и отчетности ошибка измерения также может стать серьезной проблемой, особенно когда на уровень финансирования школы, штрафы или восприятие успеваемости влияют общедоступные данные, такие как, например, процент отсева или процент выпускников. По этим и другим причинам повышение качества и точности систем данных, процессов сбора и требований к отчетности становится растущим приоритетом для школ, политиков и государственных учреждений, а также различных организаций и инициатив, таких как Кампания за качество данных. и Общие стандарты данных об образовании работают над улучшением качества, согласованности и надежности данных об образовании.

Ниже приведены несколько репрезентативных стратегий, которые преподаватели и эксперты по данным могут использовать для уменьшения погрешности измерения при представлении данных:

«Уникальные идентификаторы учащихся», такие как коды, отслеживание отдельных учащихся и повышение надежности данных по мере их перехода из класса в класс или из школы в школу.
Могут быть разработаны общие стандарты сбора данных и отчетности для повышения надежности данных и обеспечения возможности сравнения результатов в разных школах и штатах.
Для повышения точности отчетов можно использовать избыточные процессы — несколько систем и людей, проверяющих наличие ошибок.
Тем, кто занимается сбором и расчетом данных, могут быть предоставлены более четкие инструкции и лучшее обучение.
Усовершенствованные технологии и использование совместимых или интероперабельных систем могут повысить качество данных и обмен данными между различными школами, организациями и штатами.

Глоссарий образовательной реформы Great Schools Partnership находится под лицензией Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

Глава 4. Ошибка измерения и погрешность

Другие главы в Эпидемиология для непосвященных

Эпидемиологические исследования измеряют характеристики населения. Интересующим параметром может быть уровень заболеваемости, распространенность воздействия или, что чаще, некоторая мера связи между воздействием и заболеванием. Поскольку исследования проводятся на людях и имеют все сопутствующие практические и этические ограничения, они почти всегда подвержены предвзятости.

Смещение выбора

Смещение выбора возникает, когда изучаемые субъекты не являются репрезентативными для целевой группы, в отношении которой должны быть сделаны выводы. Предположим, исследователь хочет оценить распространенность чрезмерного употребления алкоголя (более 21 единицы в неделю) среди взрослых жителей города. Он может попытаться сделать это, выбрав случайную выборку из всех взрослых, зарегистрированных у местных врачей общей практики, и отправив им по почте вопросник об их привычках к алкоголю. При таком дизайне одним из источников ошибки будет исключение из выборки жителей, не состоящих на учете у врача. Эти исключенные субъекты могут иметь разные модели употребления алкоголя по сравнению с включенными в исследование. Кроме того, не все испытуемые, отобранные для исследования, обязательно заполнят и вернут анкеты, а у тех, кто не ответил, могут быть иные привычки употребления алкоголя, чем у тех, кто потрудился ответить. Оба этих недостатка являются потенциальными источниками систематической ошибки отбора. При определении выборки для исследования всегда следует учитывать возможность систематической ошибки отбора. Кроме того, если ответы неполные, необходимо оценить масштаб предвзятости. Проблемы неполного ответа на опросы рассматриваются далее в 9.0007

Информационная погрешность

Другой основной класс систематической ошибки возникает из-за ошибок в измерении воздействия или болезни. В исследовании по оценке относительного риска врожденных пороков развития, связанных с воздействием на мать органических растворителей, таких как уайт-спирит, матерей детей с пороками развития опрашивали об их контакте с такими веществами во время беременности, и их ответы сравнивали с ответами матерей контрольной группы с нормальным дети. При таком дизайне существовала опасность, что «случайные» матери, которые были очень заинтересованы в том, чтобы выяснить, почему их дети родились с отклонениями, могли вспомнить прошлое воздействие более полно, чем контрольная группа. Если это так, то результатом будет предвзятость с тенденцией к преувеличению оценок риска.

В другом исследовании изучался риск развития остеоартрита тазобедренного сустава в зависимости от физической активности на работе. Случаи были выявлены в записях о поступлении в больницу для замены тазобедренного сустава. Здесь была возможность предвзятости, потому что испытуемые с физически тяжелой работой могли быть более инвалидами из-за данного уровня артрита и, следовательно, с большей готовностью обращались за лечением.

Систематическая ошибка обычно не может быть полностью исключена из эпидемиологических исследований. Таким образом, цель должна состоять в том, чтобы свести его к минимуму, выявить те предубеждения, которых нельзя избежать, оценить их потенциальное влияние и принять это во внимание при интерпретации результатов. Девизом эпидемиолога вполне могло быть «грязные руки, но чистый разум» (manus sordidae, mens pura).

Ошибка измерения

Как указывалось выше, ошибки в измерении воздействия или заболевания могут быть важным источником систематической ошибки в эпидемиологических исследованиях, поэтому при проведении исследований важно оценивать качество измерений. Идеальный метод опроса является действительным (то есть он точно измеряет то, что должен измерять). Иногда имеется надежный стандарт, по которому можно оценить достоверность метода обследования. Например, достоверность сфигмоманометра можно измерить, сравнив его показания с внутриартериальным давлением, а достоверность маммографического диагноза рака молочной железы можно проверить (с согласия женщины) с помощью биопсии. Однако чаще всего нет надежного эталонного стандарта. Достоверность опросника для диагностики стенокардии не может быть полностью известна: клиническое мнение экспертов различается, и даже коронарные артериограммы могут быть нормальными в истинных случаях или аномальными у бессимптомных людей. Патолог может описать изменения при вскрытии, но они мало что могут сказать о симптомах или функциональном состоянии пациента. Измерения болезней в жизни часто не могут быть полностью подтверждены.

Таким образом, на практике действительность может оцениваться косвенно. Обычно используются два подхода. Технику, которая была упрощена и стандартизирована, чтобы сделать ее пригодной для использования в обследованиях, можно сравнить с наилучшей общепринятой клинической оценкой. Самостоятельно заполняемый психиатрический вопросник, например, можно сравнить с мнением большинства психиатрической комиссии. В качестве альтернативы измерение может быть подтверждено его способностью предсказывать будущее заболевание. Однако валидация по предсказательной способности может потребовать изучения многих предметов.

Анализ достоверности

Когда метод опроса или тест используются для дихотомии субъектов (например, как случаи или не случаи, выявленные или не выявленные), его достоверность анализируется путем классификации субъектов как положительных или отрицательных, сначала методом опроса. а во-вторых, по стандартному эталонному тесту. Полученные результаты затем могут быть выражены в таблице непредвиденных обстоятельств, как показано ниже.

Таблица 4. 1 Сравнение обзорного теста с эталонным тестом
Survey test result	Reference test result		Totals
Survey test result	Positive	Negative	Totals
Positive	True positives correctly identified = (a)	Ложноположительные результаты = (b)	Всего положительных результатов теста = (a + b)
Отрицательный результат	Ложноотрицательный результат = (c)	Правильно идентифицированный истинно отрицательный результат = (d)	Всего отрицательных результатов теста = (c + d)
Всего	Всего истинно положительных результатов = (a + c)	Всего истинно отрицательных результатов = (b + d)	Итого = (a + b + c + d)

Из этой таблицы можно вывести четыре важных статистических показателя:

Чувствительность – чувствительный тест выявляет большую часть истинных случаев, и это качество измеряется здесь как a/a + c.

Специфичность. Специфический тест дает мало ложноположительных результатов, и это качество измеряется как d/b + d.

Систематическая ошибка. Для эпидемиологических показателей особенно важно, чтобы тест давал правильное общее количество случаев. Это измеряется отношением общего числа положительных результатов опроса и эталонных тестов, или (а + b)/(а + с).

Прогностическое значение — доля положительных результатов теста, которые действительно являются положительными. Это важно при скрининге и будет обсуждаться далее в главе 10.

Следует отметить, что как систематическая ошибка, так и прогностическая ценность зависят от относительной частоты истинно положительных и измеряемого заболевания или воздействия).

Чувствительный или специфический? Вопрос выбора

Если критерии положительного результата теста строгие, ложноположительных результатов будет немного, но тест будет нечувствительным. И наоборот, если критерии смягчены, ложноотрицательных результатов будет меньше, но тест будет менее специфичным. При обследовании рака молочной железы альтернативные диагностические критерии сравнивали с результатами эталонного теста (биопсии). Клиническая пальпация врачом дала наименьшее количество ложноположительных результатов (специфичность 93%), но пропустила половину случаев (чувствительность 50%). Критерии диагностики «случая» затем были смягчены, чтобы включить все положительные результаты, выявленные при пальпации врачом, медсестрой или рентгеновской маммографии: несколько случаев были пропущены (9).чувствительность 4%), но специфичность упала до 86%.

Путем выбора правильного теста и точек отсечки можно получить баланс чувствительности и специфичности, который лучше всего подходит для конкретного исследования. В опросе для установления распространенности это может быть, когда ложноположительные результаты уравновешивают ложноотрицательные. В исследовании по сравнению показателей в разных популяциях абсолютные показатели менее важны, основная задача состоит в том, чтобы избежать систематической погрешности в сравнениях: вполне может быть предпочтительнее конкретный тест, даже ценой некоторой потери чувствительности.

Повторяемость

Когда нет удовлетворительного стандарта, по которому можно было бы оценить достоверность метода измерения, часто полезно изучить его воспроизводимость. Стабильные результаты не обязательно означают, что методика действительна: лабораторный тест может постоянно давать ложноположительные результаты, или очень повторяемый психиатрический опросник может быть нечувствительным показателем, например, «стресс». Однако плохая повторяемость указывает либо на плохую достоверность, либо на то, что измеряемая характеристика меняется со временем. В любом из этих случаев результаты следует интерпретировать с осторожностью.

Повторяемость можно проверить среди наблюдателей (т. е. один и тот же наблюдатель выполняет измерение в двух разных случаях), а также между наблюдателями (сравнивая измерения, сделанные разными наблюдателями на одном и том же объекте или образце). Оценка повторяемости может быть встроена в исследование — выборка людей, проходящих повторное обследование, или выборка рентгенограмм, образцов крови и т. д., которые тестируются в двух повторностях. Даже небольшая выборка ценна при условии, что (1) она репрезентативна и (2) повторные тесты действительно независимы. Если тестирование проводится «в автономном режиме» (возможно, как часть пилотного исследования), то необходимо уделять особое внимание тому, чтобы испытуемые, наблюдатели и рабочие условия адекватно репрезентативны для основного исследования. Гораздо проще проверить воспроизводимость, когда материал можно транспортировать и хранить, например образцы глубокозамороженной плазмы, гистологические срезы, всевозможные записи и фотографии. Однако такие тесты могут исключить важный источник вариаций наблюдателей, а именно методы получения образцов и записей.

Причины различий в повторных измерениях

Независимые повторные измерения у одних и тех же испытуемых обычно отличаются больше, чем самые мрачные ожидания. Чтобы интерпретировать результаты и искать средства, полезно разделить общую изменчивость на четыре компонента:

Вариация в пределах наблюдателя – Обнаружение собственного непостоянства может быть травмирующим; это подчеркивает отсутствие четких критериев измерения и интерпретации, особенно в отношении серой зоны между «нормальным» и «ненормальным». Оно во многом случайно, то есть непредсказуемо по направлению.

Изменчивость между наблюдателями. Включает первый компонент (нестабильность отдельных наблюдателей), но добавляет к нему дополнительный и систематический компонент из-за индивидуальных различий в методах и критериях. К сожалению, это может быть большим по сравнению с реальной разницей между группами, которую предполагается выявить. Этой проблемы можно избежать, либо используя одного наблюдателя, либо, если материал можно транспортировать, направив его весь на централизованное исследование. В качестве альтернативы систематическая ошибка в опросе может быть нейтрализована случайным распределением субъектов среди наблюдателей. Каждый наблюдатель должен быть идентифицирован кодовым номером в протоколе съемки; тогда анализ результатов наблюдателем укажет на любые серьезные проблемы и, возможно, позволит внести некоторую статистическую поправку на систематическую ошибку.

Случайное отклонение субъекта. При многократном измерении у одного и того же человека физиологические переменные, такие как артериальное давление, демонстрируют примерно нормальное распределение относительно среднего значения субъекта. Тем не менее, опросы обычно ограничиваются одним измерением, и неточность не будет замечена, если не будет изучена степень предметной изменчивости. Случайные вариации субъектов имеют некоторые важные последствия для скрининга, а также в клинической практике, когда вызываются люди с экстремальными начальными значениями. Благодаря статистической причуде эта группа затем, кажется, улучшается, потому что в ее состав входят некоторые, чье среднее значение нормальное, но которые случайно имели более высокие значения при первом обследовании: в среднем их последующие значения обязательно имеют тенденцию к падению (регрессия к среднему). Величина этого эффекта зависит от количества случайных вариаций субъекта. Неверной интерпретации можно избежать путем повторных обследований для установления адекватного базового уровня или (в интервенционном исследовании) путем включения контрольной группы.

Предвзятое (систематическое) изменение предмета. На артериальное давление большое влияние оказывает температура в комнате для осмотра, а также менее стандартизированные эмоциональные факторы. Обследования по выявлению диабета обнаруживают гораздо более высокую распространенность во второй половине дня, чем утром; а стандартный вопросник по бронхиту, возможно, дает больше положительных ответов зимой, чем летом. Таким образом, условия и время расследования могут иметь большое влияние на истинное состояние человека и на его или ее реакцию. Насколько это возможно, исследования должны быть спланированы так, чтобы контролировать это, например, путем тестирования на диабет в одно и то же время дня. В качестве альтернативы можно измерить и учесть в анализе такую переменную, как комнатная температура.

Анализ воспроизводимости

Повторяемость измерений непрерывных числовых переменных, таких как артериальное давление, можно обобщить с помощью стандартного отклонения повторных измерений или их коэффициента вариации (среднее стандартное отклонение). Когда были сделаны пары измерений либо одним и тем же наблюдателем в двух разных случаях, либо двумя разными наблюдателями, диаграмма рассеяния удобно покажет степень и характер вариации наблюдателя.

Для качественных признаков, таких как клинические симптомы и признаки, результаты сначала представляются в виде таблицы непредвиденных обстоятельств:

Table 4.2 Comparison of results obtained by two observers
		Observer 1
		Positive	Negative
Observer 2	Positive	a	b
	Отрицательный	c	d

Общий уровень согласия может быть представлен пропорцией суммы в ячейках a и d. К сожалению, эта мера больше зависит от распространенности состояния, чем от повторяемости метода. Это потому, что на практике легко договориться о прямом отрицании; разногласия зависят от преобладания сложных пограничных случаев. Поэтому повторяемость обычно обобщается статистикой, которая измеряет уровень согласия сверх того, что можно было бы ожидать от распространенности признака.

Главы

Глава 1. Что такое эпидемиология?
Глава 2. Количественная оценка заболеваемости в популяциях
Глава 3. Сравнение показателей заболеваемости
Глава 4. Ошибка измерения и погрешность
Глава 5. Планирование и проведение исследования
Глава 6. Экологические исследования
Глава 7. Продольные исследования
Глава 8. Исследования случай-контроль и перекрестные исследования
Глава 9. Экспериментальные исследования
Глава 10. Скрининг
Глава 11. Вспышки заболеваний
Глава 12. Чтение эпидемиологических отчетов
Глава 13. Дополнительная литература

Что такое ошибка измерения? Определение и типы ошибок измерения

Определение: Погрешность измерения определяется как разница между истинным или фактическим значением и измеренным значением. Истинное значение — это среднее значение бесконечного числа измерений, а измеренное значение — это точное значение.

Типы ошибок измерения

Ошибка может возникать из разных источников и обычно подразделяется на следующие типы. Эти типы

Грубые ошибки
Систематические ошибки
Случайные ошибки

Их типы подробно описаны ниже.

1. Грубые ошибки

Грубые ошибки возникают из-за человеческих ошибок. Например, человек, использующий приборы, получает неправильные показания или может записывать неверные данные. Такой тип ошибки относится к грубой ошибке. Грубой ошибки можно избежать, только тщательно взяв показания.

Например. Экспериментатор считывает значение 31,5°C, в то время как фактическое значение составляет 21,5°C. Это происходит из-за недосмотров. Экспериментатор берет неправильное показание и из-за чего возникает ошибка в измерении.

Такой тип ошибки очень распространен при измерении. Полное устранение такой ошибки невозможно. Некоторые грубые ошибки легко обнаруживаются экспериментатором, но некоторые из них найти трудно. Два метода могут удалить грубую ошибку.

Грубую ошибку можно устранить двумя способами. Эти методы

Чтение следует принимать очень внимательно.
Необходимо снять два или более показаний измеряемой величины. Показания снимаются другим экспериментатором и в другой момент для устранения ошибки.

2. Систематические ошибки

Систематические ошибки в основном подразделяются на три категории.

Инструментальные ошибки
Ошибки окружающей среды
Ошибки наблюдения

2 (i) Инструментальные ошибки

Эти ошибки в основном возникают по трем основным причинам.

(a) Внутренние недостатки инструментов – Такие типы ошибок встроены в инструменты из-за их механической конструкции. Они могут быть связаны с изготовлением, калибровкой или эксплуатацией устройства. Эти ошибки могут привести к слишком низкому или слишком высокому значению ошибки.

Например – Если в приборе используется слабая пружина, то он дает высокое значение измеряемой величины. Ошибка возникает в приборе из-за потерь на трение или гистерезиса.

(b) Неправильное использование прибора – Ошибка в приборе возникает по вине оператора. Хороший инструмент, использованный неразумным образом, может дать огромный результат.

Например, неправильное использование прибора может привести к невозможности установки нуля приборов, плохой начальной настройке, использованию проводов со слишком большим сопротивлением. Эти неправильные действия могут не привести к необратимому повреждению прибора, но, тем не менее, они вызывают ошибки.

(c) Эффект загрузки — Это наиболее распространенный тип ошибки, вызванный прибором при проведении измерений. Например, когда вольтметр подключен к цепи с высоким сопротивлением, он дает ошибочные показания, а когда он подключен к цепи с низким сопротивлением, он дает достоверные показания. Это означает, что вольтметр оказывает нагрузочное воздействие на цепь.

Ошибка, вызванная эффектом нагрузки, может быть устранена путем разумного использования счетчиков. Например, при измерении малого сопротивления методом амперметра-вольтметра следует использовать вольтметр, имеющий очень большое значение сопротивления.

2 (ii) Ошибки, связанные с окружающей средой

Эти ошибки связаны с внешним состоянием измерительных устройств. Такие типы ошибок в основном возникают из-за воздействия температуры, давления, влажности, пыли, вибрации или из-за магнитного или электростатического поля. Корректирующие меры, применяемые для устранения или уменьшения этих нежелательных эффектов, следующие:

Должны быть приняты меры для поддержания условий как можно более постоянными.
Использование снаряжения, свободного от этих эффектов.
Используя методы, которые устраняют эффект этих помех.
Путем применения рассчитанных поправок.

2 (iii) Ошибки наблюдения

Такие типы ошибок происходят из-за неправильного наблюдения за показаниями. Существует множество источников ошибок наблюдения. Например, стрелка вольтметра сбрасывается немного выше поверхности шкалы. Таким образом, возникает ошибка (из-за параллакса), если только линия обзора наблюдателя не находится точно над указателем. Для минимизации погрешности параллакса высокоточные измерители снабжены зеркальными шкалами.

3. Случайные ошибки

Ошибка, вызванная внезапным изменением атмосферных условий, такая ошибка называется случайной ошибкой. Эти типы ошибок остаются даже после устранения систематической ошибки. Следовательно, такой тип ошибки также называется остаточной ошибкой.

Errors in Measurement — GeeksforGeeks

Все экспериментальные исследования построены на измерении. Многие великие научные достижения были бы невозможны без постоянно повышающихся стандартов точности измерений. Количества измеряются с использованием международных измерений и являются абсолютно точными по сравнению с другими. Измерение производится так же, как это делают продавцы овощей: путем сравнения неизвестного количества веса с известным количеством веса. Любой расчет содержит уровень неопределенности, который называется ошибкой. Эта ошибка может возникнуть во время процедуры или даже в результате сбоя в эксперименте. В результате ни один подход не может иметь 100% точный расчет.

Целью каждого эксперимента является максимально точное определение физической величины. Однако каждое измерение состоит из некоторой ошибки, которая может возникнуть из-за наблюдателя, используемого инструмента или того и другого. Ошибки могут также закрадываться из-за небольших изменений условий эксперимента или из-за различных факторов, присущих эксперименту. Измеренное значение величины несколько отличается от ее истинного значения из-за наличия таких погрешностей.

Ошибка

Как экспериментальные исследования, так и технологии основаны на измерениях. Любое измерение, выполненное с помощью любого измерительного прибора, дает определенную степень неопределенности. Эта неопределенность называется ошибка . Разница между реальным значением и оценочным значением величины называется ошибкой измерения. Ошибка может быть положительной или отрицательной.

Отклонение измеренной величины от фактической величины или истинного значения называется ошибкой .
E = A _м – A _t
где E – ошибка, A _м – измеренная величина, а A _t – истинное значение.

Различные типы ошибок

Ошибки в основном трех типов:

1. Систематические или постоянные ошибки:

Тип ошибки, которая всегда влияет на результаты эксперимента в одном и том же направлении, т. результат всегда выше или всегда ниже истинного значения, называется систематической ошибкой. На самом деле все инструментальные ошибки носят систематический характер. Если градуировка шкалы измерителя неверна или если измерения проводятся со шкалой при температуре, отличной от той, при которой она была откалибрована, будет внесена систематическая погрешность.

Итак, систематические погрешности бывают следующих видов:
(i) Инструментальные погрешности , примерами которых являются погрешность нуля винтового калибра, штангенциркуля, концевая погрешность измерительного моста и т. д.
(ii ) Личные ошибки по вине наблюдателя.
(iii) Ошибка из-за внешних причин, из-за изменений температуры, давления, скорости, высоты и т. д.
(iv) Ошибка из-за несовершенства.

Систематические ошибки обычно являются определяющими. Таким образом, они могут быть устранены путем принятия надлежащих мер предосторожности или могут быть исправлены. Однако, когда источник таких ошибок не может быть правильно идентифицирован, эксперимент повторяется другими методами.

2. Случайные или случайные ошибки: Результаты нескольких измерений одной и той же величины одним и тем же наблюдателем в одинаковых условиях не обнаруживают в общем точного совпадения, но отличаются друг от друга на небольшую величину. Инструмент может быть очень хорошим и чувствительным, наблюдатель может быть очень осторожным, но такие небольшие различия в результатах обычно имеют место. Невозможно проследить определенную причину таких ошибок; их источники неизвестны и неконтролируемы. Поэтому такие ошибки носят чисто случайный характер и называются случайными или случайными ошибками. Ошибка, возникающая случайно и причины которой неизвестны и неопределенны, называется 9.0003 случайная ошибка.

3. Грубые ошибки: Это крупные ошибки, возникающие из-за небрежности или чрезмерной поспешности наблюдателя, которые также называются ошибками. В качестве примера можно привести неправильную запись некоторых данных. Так что ошибки явно не подчиняются закону и их можно избежать только при постоянной бдительности и внимательном наблюдении со стороны наблюдателя.

Погрешности наблюдений приборами и степень точности

Во всех измерениях, даже после минимизации систематической и случайной погрешности, остаются погрешности наблюдений, присущие изготовлению используемого прибора. Шкала измерительного прибора делится изготовителем только до ее предела достоверности и не далее. Мы уже знаем, что наименьший выходной сигнал, который мы можем четко определить с помощью прибора, называется его наименьшее количество .
Это дает наибольшую возможную ошибку, которая может возникнуть при измерениях этим прибором. Таким образом, во всех измерениях достижимая степень точности ограничена наименьшим количеством различных используемых инструментов. Например, шкала метра обычно имеет градуировку в миллиметрах. Следовательно, наибольшая погрешность, которую можно допустить при измерении длины такой шкалой, составляет 1 мм.
Таким образом, результат измерения длины стержня должен быть выражен как Длина стержня 22,4 ± 0,2 см. Это научный метод записи показаний с пределами погрешности. Это означает, что длина стержня находится между 22,6 см и 22,2 см. Ошибки известны как ошибки наблюдения или допустимые ошибки .
Следовательно, в общем случае, если измеренное значение величины равно x, а пределы погрешности равны ∆x, то показание должно быть записано как x ± ∆x, что означает, что значение величины находится между x+ ∆x и x-∆r.

Пропорциональная ошибка и процентная ошибка

Отношение ошибки наблюдения к наблюдаемому показанию называется пропорциональной ошибкой. Если пропорциональная ошибка умножается на 100 или выражается в процентах, то она называется процентная ошибка . Пропорциональная ошибка также называется относительной ошибкой или f рациональной ошибкой .

Формула для расчета пропорциональной ошибки дается,
Пропорциональная ошибка = (ошибка / наблюдаемое чтение)
или
Процент ошибка = (Ошибка / наблюдаемое чтение) × 100%

9000 3

Комбинация или распространение ошибок

Как правило, эксперимент в физике включает ряд измерений, выполненных с помощью различных инструментов. Окончательный результат затем рассчитывается путем выполнения различных математических операций. Погрешность конечного результата зависит от погрешностей отдельных измерений и от характера необходимых математических операций. Поэтому мы должны знать правила того, как ошибки комбинируются в различных математических операциях.

1. Сложение и вычитание: В этих операциях ошибки объединяются в соответствии со следующим правилом: При сложении или вычитании двух величин чистая ошибка в результате эксперимента представляет собой сумму ошибок, связанных с этими величинами.

Таким образом, если наблюдаемые значения двух величин равны x ± Δx и y ± Δy, а их сумма или разность равна z ± Δz, то ошибка Δz в значении z определяется выражением Δz = Δ.x + Δy.

например, Пусть длины двух стержней, измеренные по метровой шкале, равны 22:4 ± 0,2 см и 20,2 ± 0,2 см соответственно.
Тогда разница в их длине (22,4 – 20,2) или 2,2 см.
Но каждое показание ошибочно на 0,2 см. следовательно, наибольшая возможная ошибка в разнице составляет 0,4 см.
Так и пишем, разница их длин 2,2±0,4см.

2. Умножение и деление: В этих операциях соответствующее правило определяется как:

Когда две величины умножаются или делятся, пропорциональная ошибка в результате равна сумме пропорциональных ошибок этих величин.

Итак, если z = xy или, z = (x/y), то согласно этому правилу

(Δz/z) = (Δx/x) + (Δy/y)

3. Полномочия количеств: Когда количество возводится в степень n, пропорциональная ошибка в конечном результате в n раз превышает пропорциональную ошибку этого количества.

IF, z = x ^N

, затем в соответствии с этим правилом

(ΔZ/z) = N (Δx/x)

и if, z = (x ⁿ y ^стр. /w ^q )

Тогда можно доказать, что:

(Δz/z) = n (Δx/x)+p(Δy/y)+q(Δw/w)

Пропорциональная ошибка z = m × (пропорциональная ошибка x) + p × (пропорциональная ошибка y) + q × (пропорциональная ошибка w).

Примеры задач

Задача 1: Если все измерения в эксперименте выполняются до одинакового числа раз, то из-за какого измерения возникает максимальная ошибка?

Решение:

Максимальная ошибка возникает из-за измерения величины, которая появляется в формуле с максимальной степенью. Если все величины в формуле имеют одинаковые степени, то максимальная погрешность возникает из-за измерения величины, величина которой наименьшая.

Задача 2. Если длина карандаша равна (4,16 ± 0,01) см. Что это значит?

Решение:

Это означает, что истинное значение длины карандаша вряд ли будет меньше 4,15 см или больше 4,17 см.

Задача 3. Два сопротивления R ₁ =(100±5) Ом и R ₂ =(200±10) Ом соединены последовательно. Найдите эквивалентное сопротивление последовательного соединения.

Решение:

С тех пор известно, что,
Эквивалентное сопротивление = R = R ₁ +R ₂
Указано, что сопротивление:
R ₁ = (Сопротивление:
R ₁ = (сопротивление:
R ₁ = (сопротивление:
R ₁ = (сопротивление:
R ₁
100 ± 5)
R ₂ = (200 ± 10)
Следовательно,
R = (100 ± 5) + (200 ± 10)
= (300 ± 15) Ом V = (20 ± 0,2) В. Каков будет заряд Q на конденсаторе?
Решение:
Q = CV
= 2,0 × 10 ^-6 × 20 C
,5 = 4,0 × 704
Пропорциональная ошибка в C = (ΔC/C)
0007
процентная ошибка в C = (0,1/2) × 100
= 5 %
Пропорциональная ошибка в v = (ΔV/V)
= (0,2/20)
Процентная ошибка в V = (0,2/20 ) × 100
= 1%
Заряд на конденсаторе,
(ΔQ/Q) = (ΔC/C) + (ΔV/V)
Процентная ошибка в Q = 5% + 1%
= 6%
Заряд = 4,0×10 ^-5 ± 6% Кулон
= (4,0±0,24)×10 ^-5 Кулон
м при равномерной скорости 10 м/с рассчитывается по уравнению F = mv ² /r. Если точность измерения m, v и r составляет 0,5 кг, 0,02 м/с и 0,01 м соответственно, определите процентную погрешность силы.
Решение:
Известно, что 0,01
(ΔV/V) = (0,02/10)
= 0,002
(ΔR/R) = (0,01/4)
= 0,0025
SO, (ΔF/F) = 0,01 + 2 (0,002 ) + (0,0025)
= 0,0165
Таким образом, процентная ошибка в силе = (0,0165) × 100 %
= 1,65 %
Задача 6. Сопротивление R = V/I, где V = (200 ± 5) В и I = (20 ± 0,2) А. Найдите процентную ошибку R.
Решение:
пропорциональная ошибка в v = (ΔV/v)
= (5/200)
процентная ошибка в v = (5/200) × 100%
= 2,5%
Пропорциональная ошибка в i = (ΔI/i )
= (0,2/20)
процентная ошибка в i = (0,2/20) × 100%
= 1%
Таким образом, процентная ошибка в r = 2,5%+1%
= 3,5%
Проблема 7: масса. измеряют длину одной стороны куба и вычисляют его плотность. Если процентные ошибки измерения массы и длины составляют соответственно 1% и 2%, то какова процентная ошибка измерения плотности?
Решение:
Если масса куба равна m, а длина одной его стороны равна l, то его плотность
d = m/l³
Итак, (Δd/d) = (Δm /м) + 3 (ΔL/L)
Таким образом, процентная ошибка в плотности = (1 + 3 × 2)%
= 7%

Ошибка измерения в эпидемиологии | Отдел профилактики рака
В эпидемиологии интересующие нас переменные часто измеряются с ошибкой. Это верно не только для переменных, о которых сообщают сами люди, таких как образ жизни, но также и для переменных, полученных в результате лабораторных тестов, таких как уровень холестерина в сыворотке. 9*$ с учетом $X$ и $Z\text{.}$
Альтернативно, ошибка в измеренном воздействии может быть дифференциальной , что означает, что степень или направление ошибки связаны с результатом. С дифференциальными ошибками бороться сложнее, но в проспективных исследованиях может быть разумно предположить, что ошибка не является дифференциальной. Однако дифференциальная ошибка может возникать в исследованиях случай-контроль, включающих самоотчеты о воздействии под видом систематической ошибки припоминания.
Ошибки также могут возникать при измерении результатов. Например, при сравнении сообщаемых результатов в группах с различным социально-экономическим статусом (СЭС) важно знать, одинаковы ли тип и уровень искажения информации в каждой группе СЭС. Если неверная отчетность одинакова в каждой группе, то ошибка не является дифференциальной. Если ошибка в измеренном исходе различается в зависимости от группы СЭС, то ошибка является дифференциальной, и в сравнение вносится погрешность. Влияние ошибки измерения в переменной результата недостаточно изучено по сравнению с ошибкой в воздействии, но растет признание их потенциального воздействия. 9*\text{,}$ описывается моделью ошибки измерения . В эпидемиологической работе обычно встречаются три модели (хотя существует множество вариаций). Это классическая модель ошибки измерения , линейная модель ошибки измерения и модель ошибки измерения Berkson .
Классическая модель ошибки измерения проста, описывает измерение, которое не имеет систематической погрешности , но значения которого подвержены {*}}=X+e$$
, где $e$ — случайная величина с нулевым средним значением, не зависящая от $X$ ( Carroll et al, 2006 : Chapter 1). Такие ошибки допускают часто, хотя и не всегда, в лабораторных и объективных клинических измерениях, например, при измерении холестерина в сыворотке ( Law et al, 1994 ) или артериального давления ( MacMahon et al, 1990 ). *$ для корреляции ( 9*\text{,}$ — это оценка, полученная из уравнения прогнозирования на основе регрессионной модели. Влияние ошибки Берксона на результаты статистического анализа во многом отличается от воздействия классической ошибки и линейной ошибки измерения (, Carroll et al, 2006, , глава 1).
Валидационные исследования проводятся для оценки параметров модели ошибки измерения. Обычно они требуют измерения истинного значения переменной, известной как эталон. Если истинное значение установить невозможно, то измерение 9*$ удовлетворяет модели ошибки измерения Берксона, тогда она смещена на индивидуальном уровне, но не смещена на уровне популяции.
Исследования, включающие одно несмещенное измерение, но не включающие повторные эталонные измерения, все же могут предоставить полезную информацию, но не могут оценить все параметры модели ошибки измерения. Их иногда называют калибровочными исследованиями вместо проверочных исследований. *\text{,}$ у отдельных лиц, и тогда не требуется никаких измерений истинного значения, $X\text{,}$ . Исследование воспроизводимости нельзя использовать для оценки систематической погрешности, которая предполагается в других моделях, таких как модель линейной ошибки измерения, потому что одна и та же систематическая погрешность будет присутствовать в каждом повторном измерении.
Проверочное исследование может быть частью эпидемиологического исследования. Например, подгруппу участников когортного исследования можно попросить предоставить не только подверженное ошибкам измерение воздействия, но и истинное значение путем сбора дополнительных данных. В этом случае исследование называется исследованием с внутренней проверкой .
Валидационные исследования, которые проводятся на группе лиц, не участвующих в основном исследовании, называются внешними валидационными исследованиями . Внешние валидационные исследования менее надежны, чем внутренние, для определения параметров модели ошибки измерения, поскольку оценка включает допущение переносимости между группой участников валидационного исследования и группой, участвующей в основном исследовании. *\text{,}$ имеет классическую ошибку измерения в одном исследовании, то это вполне может быть верно в другом исследовании, и дисперсия случайных ошибок может быть одинаковой в двух исследованиях. исследования. Однако важно знать, что дисперсия истинного воздействия, $X\text{,}$, может сильно различаться между двумя исследованиями, и последствия такой разницы необходимо тщательно учитывать. 9*$, полученный в результате внешнего проверочного исследования, будет иметь наклон $\text{var}(X)/(\text{var}(X) + \text{var}(e))$, где $\text{var}( X)$ — дисперсия $X$ в популяции валидационного исследования. Однако, если бы дисперсия $X$ основной исследуемой совокупности была другой, то этот наклон уравнения калибровки, полученный в ходе проверочного исследования, будет непригоден для применения корректировки к выводам основной исследуемой совокупности.
Многие экспозиции меняются со временем. Например, загрязнение воздуха, которому подвергается человек, меняется в течение дня и изо дня в день. Биологические показатели, такие как уровень холестерина в сыворотке крови, также меняются в течение дня и изо дня в день. Изучение взаимосвязей между такими воздействиями и результатом усложняется из-за этих изменений с течением времени. Для исходов, на которые, как считается, влияет длительное воздействие, эпидемиологи изучили взаимосвязь исхода с обычное воздействие , определяя его как среднее долгосрочное воздействие .
Поскольку измерения воздействия на человека редко собираются в течение длительного периода времени, долгосрочное среднее значение почти всегда неизвестно, и тогда необходимо использовать конечное количество краткосрочных измерений (часто только одно!), которые доступны. оценить экспозицию. Следовательно, даже когда измерение мгновенного воздействия является точным, среднее значение таких измерений все же следует рассматривать как подверженное ошибкам измерение обычного воздействия.
Иногда предполагается, что точные (или достаточно точные) мгновенные измерения, которые производятся на индивидууме, случайным образом варьируются в зависимости от обычного воздействия на индивидуума, и когда они проводятся достаточно далеко друг от друга во времени, отклонения считаются независимыми. В этом случае классическая модель ошибки измерения используется для описания взаимосвязи между измерением мгновенного воздействия и обычного воздействия.
В ситуациях, когда серийные измерения воздействия доступны для всех участников через регулярные промежутки времени во время последующего наблюдения, и интерес представляет взаимосвязь между воздействием и более поздним результатом, некоторые исследователи выступают за учет время экспозиции в этом отношении.
В оригинальной работе McMahon et al (1990) использовали серийные измерения кровяного давления и холестерина, как если бы они были повторными измерениями лежащего в основе ненаблюдаемого истинного среднего значения, и эти измерения соответствовали классической модели ошибки измерения. На этом основании они применили поправку на погрешность измерения к оценкам относительного риска инсульта и ишемической болезни сердца. Позже Frost and White (2005) отметили, что этот подход игнорирует взаимосвязь во времени между этими показателями и риском заболевания. Wang et al (2016) предложили метод, аналогичный методу Фроста и Уайта. Наиболее подходящий способ работы с серийными измерениями, подверженными ошибкам, в продольных условиях еще полностью не решен, хотя Boshuizen et al (2007) представляют метод, который имеет большие перспективы.
Ошибка измерения часто может влиять на результаты научных исследований. Характер и величина воздействия будут зависеть от типа ошибки (как определено моделью ошибки измерения), размера ошибки (особенно, но не всегда, от отношения дисперсии ошибки к дисперсии истинного воздействия), и количество, которое предназначено для оценки. Если модель ошибки измерения и ее параметры известны или могут быть оценены на основе исследований по валидации, то эти воздействия могут быть определены количественно.
Влияние на исследования, оценивающие связь воздействия с исходом, когда воздействие измерено с ошибкой и экспозиция измеряется с ошибкой, могут возникнуть две проблемы:
Смещение в целевой оценке . Это смещение иногда, но не всегда, направлено к нулевому значению и в таком случае называется ослаблением или разбавлением.

Потеря статистической мощности для обнаружения эффекта воздействия . Это означает, что из-за ошибки измерения исследователь подвергается большей опасности не найти важной взаимосвязи между воздействием и результатом.
В простых ситуациях, когда имеется только одно воздействие, которое измеряется с классической или линейной ошибкой измерения, коэффициент ослабления или коэффициент разбавления регрессии является мультипликативным коэффициентом, на который коэффициент регрессии, связывающий воздействие с исходом, ослабляется благодаря измерению ошибка в переменной экспозиции. Если модель ошибки измерения — Берксон, то в оцениваемом параметре риска нет систематической ошибки. 9*)}=\frac{ \text{cov}(Y,X+e)} }{ \text{var}(X+e)} =\frac{ \text{cov}(Y,X)} }{ \text {var}(X)+ \text{var} (e)} = \frac{ \text{var}(X) }{ \text{var}(X+e)} \frac{ \text{cov}( Y,X) }{ \text{var}(X)} = \lambda \beta_X$$
, где $\lambda = \frac{ \text{var}(X)} {\text{var}(X) + \text{var} (e)}$ лежит между 0 и 1 и называется коэффициентом затухания ( Carroll et al, 2006 ), коэффициентом затухания ( Freedman et al, 2011a ) или коэффициентом разбавления регрессии ( МакМахон и др. , 19 лет2_X \text{var}(X)+ \text{var} (e)}.$$
Тем не менее, почти во всех приложениях $\alpha_X$ положительно, так что отрицательные значения $\lambda$ практически неизвестны. Кроме того, в большинстве приложений $\text{var}(a_0) + \text{var} (e)$ достаточно велико, чтобы $\lambda$ было меньше 1, даже если $\alpha_X$ меньше 1. Однако , $\lambda$ может быть больше 1, что происходит, когда $\alpha_X$ положительно, но меньше 1, а $\text{var}(a_0) + \text{var} (e)$ меньше $\alpha_X (1 -\alpha_X) \text{var} (X) \text{.}$ 9*$$
, где $h$ — функция связи, то приведенные выше результаты могут быть неточными, но приблизительно верны. Для логистической регрессии аппроксимация хороша, если $\beta_X$ не слишком велико, а доля событий невелика. Вообще говоря, результаты и методы, которые являются точными для моделей результатов линейной регрессии, обычно обеспечивают хорошие приближения для моделей обобщенных линейных результатов ( Carroll et al, 2006 , стр. 79).
Помимо ослабления оценочного коэффициента, связывающего $X$ и $Y$, ошибка измерения также делает оценку менее точной по сравнению с ее ожидаемым значением, и, следовательно, снижается статистическая мощность определения того, отличается ли она от нуля. В тех же самых простых ситуациях степень потери статистической мощности определяется 92_{X}$ оказывается равным коэффициенту затухания, $\lambda\text{.}$. ключевые отношения гораздо труднее обнаружить.
Когда имеется более одного воздействия, измеренного с ошибкой, и необходимо оценить их одновременную связь с результатом, тогда другие параметры, помимо коэффициентов ослабления, определяют величину смещения. Эти другие факторы называются 9*_2}$, с остаточным искажением, возникающим из-за терма $\Lambda_{21} \beta_{X_1}\text{.}$ Таким образом, оценочные коэффициенты в этой модели могут быть больше или меньше истинного целевого значения в довольно непредсказуемый образ. Недиагональные члены $\Lambda$, $\Lambda_{12}$ и $\Lambda_{21}\text{,}$, определяющие величину остаточного смешения, были названы коэффициентами загрязнения ( Freedman et al. др., 2011а ).
Влияние на исследования, оценивающие распределение воздействия среди населения, когда воздействие измеряется с ошибкой
В исследованиях по наблюдению или мониторингу ошибка измерения может повлиять на оценку среднего значения и процентилей распределения воздействия.
Когда модель ошибки измерения является классической , оценочное среднее является несмещенным, но оценочные процентили смещены, при этом нижних процентиля занижены и верхних процентилей завышены .
Когда модель ошибки измерения является линейной , как расчетное среднее, так и расчетные процентили смещены, а направление смещения будет зависеть от параметров модели ошибки измерения.
Реже, , когда используется модель ошибки измерения Berkson , оценочное среднее значение является несмещенным, а оценочные процентили смещены, при этом нижних процентиля завышаются и верхних процентилей занижаются .
Влияние на исследования, в которых результат измеряется с ошибкой
В некоторых исследованиях интерес представляет вмешательство или эксперимент с намерением изменить интересующий результат, и этот результат измеряется с ошибкой. 9*$ — это Berkson , оценки связи между $X$ и исходом необъективны. Вспоминая, что ошибка Берксона в измеренном воздействии не приводит к смещению в расчетных коэффициентах регрессии, можно увидеть, что влияние классической ошибки и ошибки Берксона на переменную результата является обратным их влиянию на переменную воздействия.
ПРИМЕЧАНИЕ: В приведенных выше примерах мы предполагаем, что экспозиция измерена правильно. Если бы также была ошибка измерения экспозиции, это вызвало бы погрешность описанного выше типа.
Существует множество статистических методов для устранения систематической ошибки в оценках, вызванной ошибкой измерения. Однако для использования этих методов необходима информация о модели ошибки измерения. Как правило, такие знания приходят из проверочных исследований.
ПРИМЕЧАНИЕ: Хотя упомянутые здесь методы направлены на полное устранение систематической ошибки, важно понимать, что на практике они основаны на предположениях о модели ошибки измерения, которые не всегда можно полностью проверить. В той мере, в какой они отклоняются от этих предположений, эти методы могут не достичь цели устранения всех погрешностей. Поэтому более реалистично думать, что они уменьшают, а не устраняют систематическую ошибку из-за ошибки измерения. В экстремальных обстоятельствах, когда форма модели ошибки измерения явно неправильно определена (например, когда ошибка измерения является берксоновской, но указана как классическая), то применение метода ошибки измерения может фактически сделать оценки более смещенными, чем применение типичного нескорректированного анализа. за погрешность измерения. Важно проверить форму модели ошибки измерения с использованием данных валидационных исследований.
Методы исследований, оценивающих связь воздействия с исходом, когда воздействие измерено с ошибкой
Методы корректировки ошибки измерения в этиологических исследованиях включают калибровку регрессии, экстраполяцию моделирования, использование инструментальных переменных, методы оценки функции, вероятность методы, моментная реконструкция, множественное вменение и байесовские методы. В этом учебнике основное внимание уделяется регрессионной калибровке, наиболее часто используемому методу .
Основная идея регрессионной калибровки заключается в следующем: Поскольку экспозиция измеряется с ошибкой, ее истинное значение на самом деле неизвестно. Таким образом, в регрессии исхода воздействия заменяется это неизвестное значение воздействия его ожиданием, обусловленным его измеренным значением, и другими предикторами .
Формула для этого условного ожидания известна как калибровочное уравнение . Проверочные исследования обычно проводятся для определения модели погрешности измерения, но результаты проверочных исследований также можно использовать для определения уравнения калибровки. В некоторых случаях уравнение является линейным, например, когда истинное воздействие, измеренное воздействие и другие предикторы нормально распределены. Часто в качестве приближения предполагается, что уравнение калибровки является линейным, и тогда метод почти точно совпадает с методом 9. 0003 калибровка линейной регрессии ( Rosner et al, 1990 ).
ПРИМЕЧАНИЕ: Значение условного ожидаемого воздействия для каждого человека является прогнозируемым значением и подходит для использования в регрессионной калибровке. Однако это не то же самое, что реальное воздействие на человека, и требуется осторожность при использовании этого прогнозируемого значения для других целей. Например, неправильно использовать эти значения для построения распределения значений экспозиции среди населения. Неправильно также использовать значения для классификации людей по разным подгруппам воздействия, а затем оценивать относительные риски для какого-либо исхода между этими подгруппами. Такие процедуры дают необъективные оценки.
Калибровка регрессии дает согласованных (асимптотически несмещенных) оценок коэффициентов регрессии, когда (а) отношение результат-воздействие представляет собой линейную или логарифмически-линейную регрессию и (б) форма уравнения калибровки указана правильно. Для логистической регрессии и других обобщенных моделей линейной регрессии они почти непротиворечивы, когда эффекты малы или ошибка измерения мала (, Carroll et al, 2006 ; глава 4). Когда результатом является время до события, а модель «результат-воздействие» представляет собой модель пропорционального риска, то калибровку лучше всего проводить отдельно для каждого набора рисков (9).0003 Clayton D (1992) , Xie et al (2001) ).
Большинство версий регрессионной калибровки не восстанавливают статистическую мощность, потерянную из-за ошибки измерения прибора. Исключением является версия регрессионной калибровки, известная как расширенная регрессионная калибровка , в которой в уравнение калибровки включены дополнительные предикторы, известные как инструментальные переменные , которые повышают точность, с которой можно предсказать неизвестное воздействие. 9*).$$
Другие случаи и более сложные модели исходов см. *\text{.}$ На практике такие знания встречаются редко, поэтому включаются все элементы $Z$.

Любые другие переменные $S$, о которых известно, что они не зависят от $Y$ и зависят от $X$ и $Z$, могут быть включены в $V$ ( Kipnis et al, 2009 ). Такие переменные иногда называют инструментальными переменными , но их использование здесь сильно отличается от того, как обычно используются инструментальные переменные.

Все остальные переменные, связанные с $Y$ и зависящие от $X$ и $Z$, не должны включаться в $V\text{.}$
Когда инструментальные переменные $S$ включены в уравнение калибровки, эта версия регрессионной калибровки называется расширенной регрессионной калибровкой. Примеры его использования см. в Freedman et al (2011b) , где к уравнению калибровки добавлен диетический биомаркер, и Carroll et al (2012) , где добавлен дополнительный инструмент самоотчета. Знание и доступность инструментальных переменных в настоящее время редкость (хотя мы поощряем разработку исследований, включающих измерение, которое может служить $S\text{),}$, поэтому обычно $V = Z\text{,}$ искажающие факторы в результате модель.
Методы исследований по оценке распределения экспозиции среди населения, когда экспозиция измерена с ошибкой
Методы уменьшения смещения при оценке процентилей распределения включают метод Национального института рака (NCI), метод множественных источников ( MSM), метод Университета штата Айова (ISU) и метод Статистической программы для оценки воздействия пищевых продуктов (SPADE). Все они были разработаны специально для данных о питании и описаны в этом учебнике в разделе 2 «Ошибки измерения в исследованиях питания».
Методы исследований, в которых результат измеряется с ошибкой
Относительно мало написано о методах уменьшения результирующей систематической ошибки; см. подходы, описанные в Buonaccorsi (1991) , Carroll et al, 2006 : 15.4 и Keogh et al (2016) .
Объяснение урока: Ошибка измерения | Nagwa
В этом объяснителе мы научимся определять и вычислять абсолютные и относительные погрешности измеренных значений.
При измерении значения важно знать, насколько точным является измерение. При определении такой точности значение должно быть сравнено с некоторым другим значением, которое считается правильным, принятое значение .
Принятое значение , также называемое фактическим значением, представляет собой измеренное значение, полученное безошибочным процессом измерения. Это то, с чем сравниваются все другие измеренные значения. Принятые значения обычно являются константами, такими как гравитационное константа или заряд электрона.
Ошибка измерения — это когда измерение значения отличается от принятого значения. Если мы знаем, что масса блок сыра весит 1 кг, а весы говорят, что это 1,2 кг, это пример погрешности измерения.
Каким бы ни был источник ошибки, есть два разных способа ее количественной оценки. Давайте сначала посмотрим на абсолютная ошибка .
Абсолютная погрешность — это абсолютная разница между принятым значением и измеренным значением. Когда выражается как уравнение, оно выглядит следующим образом: absoluteerroracceptedvaluemeasuredvalue=|−|.
Линии в правой части уравнения показывают, что разница представляет собой абсолютное значение . Абсолютное значение заботится только о величине числа, то есть оно всегда будет положительным, даже если измеренное значение больше чем принятое значение.
Для сыра принятое значение составляет 1 кг, а измеренное значение составляет 1,2 кг. Подстановка этих значений в уравнение дает |1−1,2|=0,2.kgkgkg
Таким образом, хотя 1−1,2 приводит к отрицательным 0,2, поскольку это абсолютное значение, оно становится положительным. Сыр имеет абсолютную погрешность 0,2 кг.
Давайте посмотрим на пример.
Пример 1: Расчет абсолютной погрешности измерения принятого значения
В эксперименте измеряется ускорение свободного падения на поверхности Земли, равное 9,90 м/с ² . Найдите абсолютную погрешность измерения используя принятое значение 9,81 м/с ² .
Ответ
Найти абсолютную погрешность значения измерения 9,90 м/с ² , мы должны найти разницу между ним и принятым значением 9,81 м/с ² , как показано в уравнении для абсолютной ошибки. Отзывать что уравнение для абсолютной ошибки absoluteerroracceptedvaluemeasuredvalue=|−|.
Принятое значение 9,81 м/с ² , измеренное значение 9,90 м/с ² , поэтому подставляя их в уравнение для абсолютного ошибка дает ||9,81/−9,90/||=0,09/.msmsms
Абсолютная ошибка является абсолютным значением, поэтому она всегда будет положительной, даже если 9,81–9,90 дает отрицательное число. абсолютная ошибка, таким образом, составляет 0,09 м/с ² .
Абсолютная погрешность не всегда помогает определить точность измерения. Скажи, что у нас есть колоссальный сырное колесо с принятым значением массы 1‎ ‎000 кг. Когда сырное колесо поставлено на весы, его измеренная масса составляет 1‎ ‎‎000,2 кг.
Используя эти значения, мы видим, что при подстановке их в уравнение для абсолютной ошибки |1000−1000,2|=0,2,кгкгкг мы имеем такое же значение абсолютной ошибки для колоссальной 1‎ ‎‎кг сырное колесо, как у нас было для значительно меньшего 1-килограммового блока сыр. 0,2 кг имеет большее значение для меньших масс, чем для больших. и есть способ выразить это, относительная ошибка .
Относительная ошибка — это способ отображения ошибки, пропорциональной принятому значению. Его находят, беря абсолютную ошибки и делением ее на принятое значение 𝑟=Δ𝑥𝑥, где 𝑟 — относительная ошибка, Δ𝑥 — абсолютная ошибка, а 𝑥 является принятым значением.
Колоссальное колесо сыра и блок имеют одинаковое значение абсолютной ошибки, 0,2 кг. Поскольку колоссальное колесо сыра имеет гораздо большую общепринятую ценность, мы должны ожидать, что относительная ошибка будет меньше, чем один блок сыра. Относительная ошибка для колеса 0,21000=0,0002,кгкг и относительная ошибка для блока 0,21=0,2 кгкг
Обратите внимание, что, поскольку единицы измерения одинаковы как для числителя, так и для знаменателя уравнения, они сокращаются, что делает относительная ошибка безразмерная.
Давайте посмотрим на несколько примеров.
Пример 2: Расчет абсолютной погрешности из относительной погрешности
Если относительная погрешность измерения площади 320 м ² была 0,03, рассчитайте абсолютную ошибку для этого измерения.
Ответ
Изначально нам даны два значения: относительная ошибка 0,03 и принятое значение 320 м ² . Нам нужно найти абсолютную ошибку, что мы можем сделать, посмотрев в уравнении для относительной ошибки. Напомним, что уравнение для относительной ошибки имеет вид 𝑟=Δ𝑥𝑥, где 𝑟 — относительная ошибка, Δ𝑥 — абсолютная ошибка, а 𝑥 — принятое значение.
Чтобы выделить абсолютную ошибку Δ𝑥, нам нужно мыслить алгебраически. Умножим обе части уравнения по принятому значению, 𝑥𝑟×𝑥=Δ𝑥𝑥×𝑥, что отменяет принятое значение в правой части уравнения, давая 𝑟×𝑥=Δ𝑥.
Теперь, используя это модифицированное уравнение, мы можем подставить заданные значения. Относительная ошибка 0,03, принятое значение 320 м ² : 0,03×320=9,6 мм
Относительная ошибка безразмерна, поэтому умножение наследует единицы м ² . Таким образом, наше значение абсолютной ошибки равно 9,6 м ² .
Пример 3. Определение измерения с наибольшей точностью
Какое из следующих измерений времени является наиболее точным?
3,4±0,1 с
5,2±0,01 с
7,3±0,2 с
4,1±0,2 с
Ответ
ошибка. Чтобы определить, какое измерение времени является наиболее точным, нам потребуется найти относительную погрешность, так как измерение который имеет наименьшую относительную ошибку , является наиболее точным. Напомним, что уравнение относительной ошибки представляет собой абсолютную ошибку выше принятого значения, 𝑟=Δ𝑥𝑥.
В этой задаче абсолютная ошибка — это число после ±, а принятое значение — перед ним. Давайте рассмотрим каждый потенциальный ответ по отдельности, начиная с A: 0.13.4=0.029.ss
Следовательно, относительная ошибка для B равна 0,015,2=0,002, сс относительная ошибка для C равна 0,27,3=0,027,сс а относительная ошибка для D равна 0.24.1=0.049.ss
Из них мы видим, что ответ B имеет наименьшую относительную ошибку, всего 0,002. Мы могли бы также определить это, посмотрев при абсолютных ошибках для каждого варианта: гораздо меньшие абсолютные ошибки также давали бы меньшие относительные ошибки.
Относительная погрешность часто выражается с помощью небольшого изменения в процентах.
Относительная погрешность в процентах — относительная погрешность, выраженная в процентах, которая рассчитывается путем умножения значения на 100%: 𝑟×100%=𝑟,% где 𝑟% — относительная ошибка в процентах.
Оглядываясь назад на сыр, меньший кусок сыра имел относительную ошибку 0,2. Таким образом, относительная ошибка в процентах равна 0,2×100%=20%, таким образом, блок сыра имеет процентную относительную погрешность 20%, или измерение было ошибочным на 20%.
Колоссальное колесо сыра имеет гораздо меньшую относительную погрешность в процентах: 0,0002×100%=0,02%.
Эта большая пропорциональная разница в процентной ошибке для небольших блоков сыра означает, что ошибки в измерения будут складываться намного быстрее. Если, например, перед вами стоит задача измерить 1‎ ‎000 кг сыра, выбрав единственное колоссальное колесо 1‎ ‎000 кг дает точность 0,02%. Если бы вместо этого вы выбрали 1‎ ‎блоков меньшего размера, относительная ошибка в процентах использовала бы гораздо более высокие 20%.
Чтобы получить фактическое значение количества сыра в килограммах относительная ошибка в процентах приведет к, разделите относительную ошибку в процентах на 100%, чтобы преобразовать обратно к относительной ошибке. Сравнивая их, колоссальное колесо 1000×0,02%100%=0,2 кгкг в то время как меньший блок сыра 1000×20%100%=200.kgkg
Итак, хотя масса колоссального колеса изменится всего на 0,2 кг, если вместо этого использовать стопку из 1‎ ‎блоков сыра меньшего размера, их масса будет отличаться на полную 200 кг. Приведение где-нибудь между 800 и 1‎ ‎200 кг сыра, когда вы должны были есть 1‎ ‎000 кг — большая ошибка.
Поскольку относительная погрешность основана на абсолютной погрешности и принятом значении, уравнение для процентной относительной погрешности, 𝑟% записывается как 𝑟=Δ𝑥𝑥×100%,% где Δ𝑥 — абсолютная ошибка, а 𝑥 — принятое значение.
Давайте рассмотрим несколько примеров с использованием процентной относительной ошибки.
Пример 4: Расчет относительной погрешности измерения принятого значения
В эксперименте скорость звуковых волн на Земле на уровне моря при температуре 21∘С 333 м/с. Найдите относительную погрешность измерения в процентах. используя принятое значение 344 м/с. Дайте свой ответ одному десятичное место.
Ответ
В этой задаче данные значения являются измеренным значением 333 м/с и принятое значение 344 м/с. Напомним относительную ошибку в процентах уравнение 𝑟=Δ𝑥𝑥×100%,% где Δ𝑥 — абсолютная ошибка, а 𝑥 — принятое значение.
Необходима абсолютная погрешность, которая находится по разнице между измеренным и принятым значениями: 344/−333/=11/.msmsms
Затем вычисляется относительная ошибка путем деления абсолютной ошибки на 11 м/с, по принятому значению 344 м/с: Δ𝑥𝑥=11/344/11/344/=0,03197…,msmsmsms делая относительную ошибку 0,03197…. В конечном итоге ответ должен быть с точностью до одного десятичного знака, но это не округляется до конца задачи для максимальной точности. Чтобы получить относительную ошибку в процентах, это значение затем умножить на 100%: 0,03197…×100%=3,197…%.
Теперь, когда ответ в окончательной форме, его можно округлить до одного десятичного знака, что сделает относительную ошибку в процентах. 3,2%.
Пример 5. Определение значения по его абсолютной и относительной погрешности
Относительная и абсолютная погрешности измерения массы некоторого ящика оказываются равными 1,6% и 0,4 кг соответственно. Вычислите фактическое значение массы.
Ответ
Фактическое значение является принятым значением, и его можно найти с помощью расширенного уравнения для процентной относительной ошибки Δ𝑥𝑥×100%=𝑟,% где Δ𝑥 — абсолютная ошибка, а 𝑥 — принятое значение.
Принятое значение 𝑥 необходимо выделить, что можно сделать алгебраически. Начнем с умножая обе части на принятое значение: Δ𝑥𝑥×100%×𝑥=𝑟×𝑥.%
Это приводит к тому, что принятые значения слева отменяются, оставляя позади Δ𝑥×100%=𝑟×𝑥.%
Затем обе части можно разделить на процент относительной ошибки, чтобы получить Δ𝑥×100%𝑟=𝑟×𝑥𝑟,%%% устранение относительной ошибки в процентах справа, что формирует уравнение с изолированным принятым значением: Δ𝑥×100%𝑟=𝑥.